Solución de inecuaciones de segundo grado por el método de separación de punto. Cálculo diferencial.

Introducción.

Este tema muestra algunos ejemplos de como resolver inecuaciones de segundo grado; se toma en cuenta que la variable «x» representa la incógnita. Se debe tomar en cuenta las propiedades de las inecuaciones.

Problemas resueltos.

Problema 1. Resolver la siguiente inecuación:

${x}^{2} \ge 9$

Solución. De la siguiente inecuación

${x}^{2} \ge 9$

El miembro izquierdo se quedan todos los términos y el miembro del lado derecho quedará cero, además, de respetar el símbolo de la desigualdad:

${x}^{2}-9 \ge 0$

Luego, se factoriza el término cuadrático:

$(x+3)(x-3) \ge 0$

Del primer término

$x+3 \ge 0 \quad \quad \quad x-3 \ge 0$

Del segundo término

$x \ge -3 \quad \quad \quad x \ge 3$

Estos dos resultados representan el intervalo en donde el símbolo “mayor o igual que” representa la existencia de, para el primer término, valores mayores o iguales que “-3” y, para el segundo término, valores mayores o iguales que “3”. Por lo que sus intervalos son tres, entonces:

$(-\infty,-3) \quad \quad (-3,3) \quad \quad (3,\infty)$

El siguiente paso es llevar a cabo los puntos de prueba en cada intervalo.

Diapositiva3 — *Figura 1.4.1. Representando las regiones de cada intervalo obtenido de la solución del problema 1.*

Diapositiva4 — *Figura 1.4.2. Realizando los puntos de prueba en cada intervalo.*

Diapositiva5 — *Figura 1.4.3. Analizando los intervalos y tomando consideraciones.*

La inecuación tiene un símbolo que está hacia la derecha, por lo que en la representación gráfica solo se toman las regiones A y C. Por lo tanto, la notación intervalo es:

$A \cup C$

$(-\infty,-3] \cup [3,\infty)$

Recordando que la región A unifica a la región C. Y la notación conjunto es:

$\left\{x|x6 \right\}$

Problema 2. Resolver la siguiente inecuación:

${x}^{2}<20$

Solución. De la siguiente inecuación:

${x}^{2}<20$

El miembro izquierdo se quedan todos los términos y el miembro del lado derecho quedará cero, además, de respetar el símbolo de la desigualdad:

${x}^{2}-x-20<0$

Factorizando la ecuación de segundo grado:

$(x-5)(x+4)<0$

Del primer término

$x-5<0 \quad \quad \quad x+4<0$

Del segundo término

$x<5 \quad \quad \quad x<-4$

Estos dos resultados representan el intervalo en donde el símbolo “menor que” representa la existencia, para el primer término, valores menores que “5” y, del segundo término, valores menores que “-4”. Por lo que sus intervalos son tres y son:

$(-\infty,-4) \quad \quad (-4,5) \quad \quad (5,infty)$

El siguiente paso es llevar a cabo los puntos de prueba en cada intervalo.

Diapositiva8 — *Figura 1.4.4. Representando las regiones de cada intervalo obtenido de la solución del problema 2.*

Diapositiva9 — *Figura 1.4.5. Realizando los puntos de prueba en cada intervalo.*

Diapositiva10 — *Figura 1.4.6. Analizando el comportamiento de los puntos de prueba y tomando consideraciones.*

La inecuación tiene un símbolo que está hacia la izquierda, por lo que en la representación gráfica solo se toma la región B. Por lo tanto, la notación intervalo es:

$B=(-4, 5)$

Recordando que B es la región B. Y la notación conjunto es:

$\left\{x|-4 <x<5 \right\}$

Referencias bibliográficas.

Aguilar Márquez, A., Bravo Vázquez, F. V., Gallegos Ruiz, H. A., Cerón Villegas, M., & Reyes Figueroa, R. (2009). Matemáticas simplificadas. México: Pearson Educación.
Gil Sevilla, J. L., & Díaz Téllez, R. (2013). Cálculo diferencial para cursos enfoque por competencias. México: Pearson Educación.
Mitacc, M., & Toro Mota, L. (2009). Tópicos de cálculo. Volumen 1. Perú: Thales S. R. L.
Swokowski, E. W. (1989). Cálculo con geometría analítica. México: Panamericana.
Thomas, J. G. (2006). Cálculo. Una variable. México: Pearson Educación.
Zill, D. G. (1999). Cálculo con geometría analítica. México.
Zill, D. G., & Wright, W. S. (2010). Matemáticas 1. Cálculo diferencial. México: Mc Graw Hill Interamericana.

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Problemas resueltos.

Referencias bibliográficas.

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