9 noviembre, 20172 junio, 2020 Cesar Reyes aplicaciones de cálculo diferencial, blog

Ángulo de corte. Tercera parte. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema 3. Hallar el ángulo de corte de $y = {\log}_{2} (2-x)$ y $y = x - 1$ .

Imagen15 — Figura 2.3.1 Representación gráfica de las funciones «y = log_2 (2-x)» y «y=x-1»

Solución. Graficando las funciones, se observa que el único punto de corte es (1,0).

Después, derivando la primera función:

$\displaystyle y = {\log}_{2} (2-x) = \frac{\ln{(2-x)}}{\ln{2}} = \frac{1}{\ln{2}} \ln{(2-x)}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln{2}} \frac{d}{dx} \left[ \ln{(2-x)} \right] = \left(\frac{1}{\ln{2}} \right) (- \frac{1}{2-x}) = \frac{1}{\ln{2}} (\frac{1}{x-2})$

Y la segunda función:

$y = x - 1$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x-1) = 1$

Los valores de las derivadas son:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln{2}} (\frac{1}{x-2})$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{P(1,0)} = \frac{1}{\ln{2}} (\frac{1}{1-2}) = - \frac{1}{\ln{2}}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 1$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{P(1,0)} = 1$

Imagen16 — Figura 2.3.2 Representación gráfica de los valores de las derivadas interpretados como rectas tangentes en el punto P(1,0)

La primera dirección es:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{1}} = \frac{dy}{dx}{|}_{P(1,0)} = 1$

$\tan{{\alpha}_{1}} = {m}_{{tan}_{1}}$

${\alpha}_{1} = \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}$

${\alpha}_{1} = \arctan{(1)}$

${\alpha}_{1} = 45$ °

Y la segunda dirección es:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{2}} = \frac{dy}{dx}{|}_{P(1,0)} = - \frac{1}{\ln{2}}$

$\tan{{\alpha}_{2}} = {m}_{{tan}_{2}}$

${\alpha}_{2} = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})}$

$\displaystyle {\alpha}_{2} = \arctan{(- \frac{1}{\ln{2}})}$

$\displaystyle {\alpha}_{2} = 180 + \arctan{(-\frac{1}{\ln{2}})}$

${\alpha}_{2} = 180 - 55.272$ °

${\alpha}_{2} = 124.728$ °

Usando el primer método, el ángulo de corte es:

$\theta = {\alpha}_{2} - {\alpha}_{1}$

$\theta = 124.728 - 45$ °

$\therefore \theta = 79.728$ °

Por lo tanto, las curvas forman un ángulo de corte de 79.728°.

Imagen17 — Figura 2.3.3 Representación gráfica de las direcciones de ambas pendientes.

Publicado por Cesar Reyes

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