9 noviembre, 20172 junio, 2020 Cesar Reyes aplicaciones de cálculo diferencial, blog

Ángulo de corte. Cuarta parte. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema 4. Hallar uno de los ángulos de corte de ${y}^{2} = x + 1$ y ${x}^{2} + {y}^{2} = 13$ .

Imagen18 — Figura 2.4.1 Representación gráfica de las funciones «y^2=x+1» y «x^2+y^2=13».

Solución. Se analiza si existen puntos de corte en las curvas:

$x^2 + y^2 = 13$

$x^2 + x + 1 = 13$

$x^2 + x - 12 = 0$

$(x + 4)(x - 3) = 0$

Existen dos valores de “x” y son x=-4 y x=3, por lo que, se buscará el valor de “y” en las funciones dadas.

Pero primero, se despejan las dos funciones, la variable “y”. Para la primera función

$x^2 + y^2 = 13$

$y^2 = 13 - x^2$

$\displaystyle y = \pm \sqrt{13 - x^2}$

Para la segunda función.

$y^2 = x + 1$

$\displaystyle y = \pm \sqrt{x+1}$

Imagen19 — Tabla 2.4.1 Evaluación de las funciones dadas por el problema tomando los valores de «x» obtenidos.

Para x=-4, la función no está definida para este valor, por lo que resta, los dos puntos de corte a tomar son (3,2) y (3,-2).

Derivando la primera función (tomando sólo la parte positiva)

$\displaystyle y = \sqrt{13 - x^2}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\sqrt{13 - x^2})$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{13 - x^2}}$

Y la segunda función:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\sqrt{x+1})$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{x+1}}$

Las derivadas tendrán los siguientes valores:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{13 - x^2}}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{P(3,2)} = \frac{-3}{\sqrt{13 - {(-3)}^{2}}} = - \frac{3}{2}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{x+1}}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{P(3,2)} = \frac{1}{2 \sqrt{3+1}} = \frac{1}{4}$

Imagen20 — Figura 2.4.2 Representación gráfica de los valores de las derivadas interpretados como rectas tangentes en el punto (3,2).

La primera pendiente y dirección es:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{1}} = \frac{dy}{dx}{|}_{P(3,2)} = \frac{1}{4}$

$\tan{{\alpha}_{1}} = {m}_{{tan}_{1}}$

${\alpha}_{1} = \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}$

${\alpha}_{1} = \arctan{(\frac{1}{4})}$

${\alpha}_{1} = 14.036$ °

Y la segunda pendiente y dirección es:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{2}} = \frac{dy}{dx}{|}_{P(3,2)} = - \frac{3}{2}$

$\tan{{\alpha}_{2}} = {m}_{{tan}_{2}}$

${\alpha}_{2} = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})}$

${\alpha}_{2} = \arctan{(- \frac{3}{2})}$

${\alpha}_{2} = 180 + \arctan{(- \frac{3}{2})}$

${\alpha}_{2} = 180 - 56.31$ °

${\alpha}_{2} = 123.69$ °

Imagen21 — Figura 2.4.3 Representación gráfica de las direcciones de ambas pendientes en el punto (3,2).

Usando el primer método

$\theta = {\alpha}_{2} - {\alpha}_{1}$

$\theta = 123.69 - 14.036$ °

$\therefore \theta = 109.654$ °

Imagen22 — Figura 2.4.4 Representación gráfica del ángulo de corte en el punto de corte (3,2).

Aunque también puede obtenerse aplicando, una vez más, ángulos suplementarios.

$\theta = 109.654$ °

${\theta}_{1} = 180 - 109.654$ °

$\therefore {\theta}_{1} = 70.346$ °

Imagen23 — Figura 2.4.5 Representación gráfica del ángulo de corte expresando la parte suplementaria.

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web. Ver todas las entradas de Cesar Reyes

Deja un comentario Cancelar la respuesta

Este sitio utiliza Akismet para reducir el spam. Conoce cómo se procesan los datos de tus comentarios.