Ángulo de corte. Sexta parte. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema 6. Hallar el ángulo de corte de la curva $y = e^x$ con la recta $y = 4x + 1$ .

Imagen33 — *Figura 2.6.1 Representación gráfica de las funciones «y = e^x» y «y = 4x + 1».*

Solución. Derivando las funciones, en la primera función

$y = e^x$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (e^x)$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = e^x$

En la segunda función

$y = 4x + 1$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (4x + 1)$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 4$

Graficando las funciones brindadas por el problema, se observa que existen dos puntos de corte: A(0,1) y B(desconocido).

En el punto A(0,1), las derivadas tendrán los siguientes valores. En la primera derivada:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = e^x$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{A(0,1)} = e^0 = 1$

Y en la segunda derivada:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 4$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{A(0,1)} = 4$

Imagen34 — *Figura 2.6.2 Representación gráfica de los valores de las derivadas interpretadas como rectas tangentes para el punto A(0,1).*

La primera pendiente y dirección tendrán los siguientes valores:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{1}} = \frac{dy}{dx}{|}_{A(0,1)} = 1$

$\tan{{\alpha}_{1}} = {m}_{{tan}_{1}}$

${\alpha}_{1} = \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}$

${\alpha}_{1} = \arctan{(1)}$

${\alpha}_{1} = 45$ °

Y la segunda pendiente y dirección tendrán los siguientes valores:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{2}} = \frac{dy}{dx}{|}_{A(0,1)} = 4$

$\tan{{\alpha}_{2}} = {m}_{{tan}_{2}}$

${\alpha}_{2} = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})}$

${\alpha}_{2} = \arctan{(4)}$

${\alpha}_{2} = 75.964$ °

Del primer método:

$\theta = {\alpha}_{2} - {\alpha}_{1}$

$\theta = 75.964 - 45$ °

$\therefore \theta = 30.964$ °

O también, utilizando el segundo método:

$\displaystyle \theta = \arctan{(\frac{{m}_{{tan}_{2}} - {m}_{{tan}_{1}}}{1 + ({m}_{{tan}_{2}})({m}_{{tan}_{1}})})}$

$\displaystyle \theta = \arctan{\left[ \frac{4-1}{1+(1)(4)} \right]} = \arctan{(\frac{3}{1+4})}$

$\displaystyle \therefore \theta = \arctan{(\frac{3}{5})} = 30.964$ °

Por lo tanto, en el punto A(0,1), las curvas forman un ángulo de 30.964°

Imagen35 — *Figura 2.6.3 Representación gráfica de las direcciones de ambas derivadas en el punto A(0,1).*

Para encontrar el otro punto de corte que se muestra en las gráficas, se utiliza el método de Newton – Raphson, donde igualando las funciones dadas por el problema:

$y = 4x + 1$

$e^x = 4x + 1$

$e^x - 4x - 1 = 0$

Entonces la nueva “y” será:

$e^x - 4x - 1 = 0$

$y = e^x - 4x - 1$

Y con una tolerancia de 0.01.

Por medio de una tabulación, busca si la función presenta cambios de signo (raíz) tomando solo valores positivos en el dominio a partir del 1.

Imagen36 — *Tabla 2.6.1 Tabulación de la nueva función a partir de los valores positivos de «x».*

El método de Newton – Raphson es un método abierto, por lo que usando la siguiente fórmula, se obtiene el primer punto de iteración.

$\displaystyle {x}_{0} = \frac{b+a}{2}$

$\displaystyle {x}_{0} = \frac{3+2}{2} = \frac{5}{2}$

${x}_{0} = 2.5$

Luego, derivando la nueva función con respecto a la variable independiente:

$y = e^x - 4x - 1$

$f(x) = e^x - 4x - 1$

${f}^{'} (x) = e^x - 4$

Ahora, utilizando la fórmula para este método:

$\displaystyle {x}_{1} = {x}_{0} - \frac{f({x}_{0})}{{f}^{'} ({x}_{0})}$

Y sustituyendo:

$\displaystyle {x}_{1} = 2.5 - \frac{f(2.5)}{{f}^{'} (2.5)} = 2.5 - \left[ \frac{{e}^{2.5} - 4(2.5) - 1}{{e}^{2.5} - 4} \right]$

$\displaystyle {x}_{1} = 2.5 - \left( \frac{1.182}{8.182} \right) = 2.5 - 0.144$

${x}_{1} = 2.356$

Utilizando la fórmula del error:

${E}_{1} = |{x}_{1} - {x}_{0}|$

${E}_{1} = |2.356 - 2.5| = |-0.144|$

${E}_{1} = 0.144$

${E}_{1} > 0.01$

Como este error es mayor que la tolerancia, se sigue el procedimiento hasta que el error sea menor o igual que 0.01. Con ${x}_{1} = 2.356$ :

$\displaystyle {x}_{2} = {x}_{1} - \frac{f({x}_{1})}{{f}^{'} ({x}_{1})}$

$\displaystyle {x}_{2} = 2.356 - \frac{f(2.356)}{{f}^{'} (2.356)} = 2.356 - \left[ \frac{{e}^{2.356} - 4(2.356) - 1}{{e}^{2.356} - 4} \right]$

$\displaystyle {x}_{2} = 2.356 - 0.125 = 2.356 - 0.125$

${x}_{2} = 2.231$

Utilizando la fórmula del error:

${E}_{2} = |{x}_{2} - {x}_{1}|$

${E}_{2} = |2.231 - 2.356| = |-0.125|$

${E}_{2} = 0.125$

${E}_{2} > 0.01$

Con ${x}_{2} = 2.231$ :

$\displaystyle {x}_{3} = {x}_{2} - \frac{f({x}_{2})}{{f}^{'} ({x}_{2})}$

$\displaystyle {x}_{3} = 2.231 - \frac{f(2.231)}{{f}^{'} (2.231)} = 2.231 - \left[ \frac{{e}^{2.231} - 4(2.231) - 1}{{e}^{2.231} - 4} \right]$

${x}_{3} = 2.231 - (-0.116) = 2.231 + 0.116$

${x}_{3} = 2.347$

Utilizando la fórmula del error:

${E}_{3} = |{x}_{3} - {x}_{2}|$

${E}_{3} = |2.347 - 2.231| = |0.116|$

${E}_{3} = 0.116$

${E}_{3} > 0.01$

Con ${x}_{3} = 2.347$ :

$\displaystyle {x}_{4} = {x}_{3} - \frac{f({x}_{3})}{{f}^{'} ({x}_{3})}$

$\displaystyle {x}_{4} = 2.347 - \frac{f(2.347)}{{f}^{'} (2.347)} = 2.347 - \left[ \frac{{e}^{2.347} - 4(2.347) - 1}{{e}^{2.347} - 4} \right]$

${x}_{4} = 2.347 - 0.01$

${x}_{4} = 2.337$

Utilizando la fórmula del error:

${E}_{4} = |{x}_{4} - {x}_{3}|$

${E}_{4} = |2.337 - 2.347| = |-0.01|$

${E}_{4} = 0.01$

Entonces, el valor de x a tomar es $x = {x}_{4} = 2.337$ . Evaluando este valor en cualquiera de las dos funciones del problema:

Imagen37 — *Figura 2.6.2 Evaluación de ambas funciones dadas por el problema utilizando el valor de «x = x_3» obtenido.*

Por lo que el segundo punto de corte a tomar es B(2.337, 10.35).

En ese punto, las derivadas tendrán los siguientes valores, en el caso de la primera derivada:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = {e}^{x}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{B(2.337,10.35)} = {e}^{2.337} = 10.35$

Y en la segunda derivada:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 4$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{B(2.337,10.35)} = 4$

Imagen38 — *Figura 2.6.4 Representación gráfica de los valores de las derivadas interpretadas como rectas tangentes en el punto B(2.337, 10.35).*

Por lo que la primera pendiente y dirección serán:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{1}} = \frac{dy}{dx}{|}_{B(2.337,10.35)} = 4$

$\tan{{\alpha}_{1}} = {m}_{{tan}_{1}}$

${\alpha}_{1} = \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}$

${\alpha}_{1} = \arctan{(4)}$

${\alpha}_{1} = 75.964$ °

Y la segunda pendiente y dirección serán:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{2}} = \frac{dy}{dx}{|}_{B(2.337,10.35)} = 10.35$

$\tan{{\alpha}_{2}} = {m}_{{tan}_{2}}$

${\alpha}_{2} = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})}$

${\alpha}_{2} = \arctan{(10.35)}$

${\alpha}_{2} = 84.481$ °

Usando el primer método, el ángulo de corte es:

$\theta = {\alpha}_{2} - {\alpha}_{1}$

$\theta = 84.481 - 75.964$ °

$\therefore \theta = 8.517$ °

O también, utilizando el segundo método:

$\displaystyle \theta = \arctan{(\frac{{m}_{{tan}_{2}} - {m}_{{tan}_{1}}}{1 + {m}_{{tan}_{2}} {m}_{{tan}_{1}}})}$

$\displaystyle \theta = \arctan{\left[ \frac{10.35-4}{1+(4)(10.35)} \right]} = \arctan{(\frac{6.35}{1+41.4})}$

$\displaystyle \therefore \theta = \arctan{(\frac{6.35}{42.4})} = 8.517$ °

Por lo tanto, en el punto B(2.337,10.35), las curvas forman un ángulo de 8.517°.

Imagen39 — *Figura 2.6.5 Representación gráfica de las direcciones de ambas pendientes en el punto B(2.337, 10.35).*

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Publicado por Cesar Reyes

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