Ángulo de corte. Séptima parte. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema 7. Encontrar los ángulos de corte para las funciones $y = \sin{x}$ y $y = \cos{x}$ .

Imagen40 — *Figura 2.7.1 Representación gráfica de las funciones «y = sen x» y «y = cos⁡ x».*

Solución. Derivando las funciones brindadas por el problema. Para la primera función

$y = \sin{x}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\sin{x})$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos{x}$

Y para la segunda función

$y = \cos{x}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\cos{x})$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = - \sin{x}$

$\displaystyle x = \arcsin{(\pm \sqrt{\frac{1}{2}})} = \pm \frac{1}{4} \pi$

Entonces, existen dos valores de “x” por lo que se sólo se tomará el valor positivo. Al sustituirlo en las funciones del problema:

Imagen41 — *Tabla 2.7.1 Evaluación de las funciones dadas por el problema utilizando el valor de «x» obtendio.*

Así que el punto a usar es $\displaystyle P(\frac{1}{4} \pi, \frac{1}{\sqrt{2}})$ .

En ese punto, las derivadas tendrá los siguientes valores. Para la primera derivada

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos{x}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{P(\frac{1}{4} \pi, \frac{1}{\sqrt{2}})} = \cos{(\frac{1}{4} \pi)} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Y en la segunda derivada

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \sin{x}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{P(\frac{1}{4} \pi, \frac{1}{\sqrt{2}})} = - \sin{(\frac{1}{4} \pi)} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Imagen42 — *Figura 2.7.2 Representación gráfica de los valores de las derivadas interpretadas como rectas tangentes en el punto P(1/4 π, -1/√2).*

La primera pendiente y dirección serán:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{1}} = \frac{dy}{dx}{|}_{P(\frac{1}{4} \pi, \frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\tan{{\alpha}_{1}} = {m}_{{tan}_{1}}$

${\alpha}_{1} = \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}$

${\alpha}_{1} = \arctan{(\frac{1}{\sqrt{2}})}$

${\alpha}_{1} = 35.264$ °

Y la segunda pendiente y dirección serán:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{2}} = \frac{dy}{dx}{|}_{P( \frac{1}{4} \pi, \frac{1}{\sqrt{2}})} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\tan{{\alpha}_{2}} = {m}_{{tan}_{2}}$

${\alpha}_{2} = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})}$

${\alpha}_{2} = \arctan{(- \frac{1}{\sqrt{2}})}$

${\alpha}_{2} = 180 + \arctan{(- \frac{1}{\sqrt{2}})}$

${\alpha}_{2} = 180 - 35.264$ °

${\alpha}_{2} = 144.736$ °

Usando el primer método, el ángulo de corte es:

$\theta = {\alpha}_{2} - {\alpha}_{1}$

$\theta = 144.736 - 35.264$ °

$\therefore \theta = 109.472$ °

O también, restando este valor con 180° (por teorema de ángulos suplementarios) y asignando ${\theta}_{1}$ al resultado de esa diferencia:

${\theta}_{1} = 180 - \theta$

${\theta}_{1} = 180 - 109.472$ °

$\therefore {\theta}_{1} = 70.528$ °

Por lo tanto, en el punto P(1/4 π,1/√2), las curvas forman un ángulo de 70.528°

Imagen43 — *Figura 2.7.3 Representación gráfica del valor del ángulo de corte y su ángulo suplementario en el punto P(1/4 π, -1/√2)*

Ángulo de corte. Séptima parte. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Publicado por Cesar Reyes

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