Ángulo de inclinación de un plano tangente. Cálculo vectorial.

Introducción.

Se define como el ángulo $\displaystyle \theta 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ entre el plano dado y el plano xy.

$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{k}|}{((|\overrightarrow{n}|| \cdot ||\overrightarrow{k}||)} = \frac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{k}|}{||\overrightarrow{n}||}$

Donde

$\overrightarrow{k}$ : es el vector unitario para el eje z.

$\overrightarrow{n}$ : es el vector normal al plano xy.

Una alternativa para obtener el ángulo de inclinación de un plano tangente (en caso de que la superficie sea $z=f(x,y)$ ) es el siguiente

$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{1}{\sqrt{{[f_x (x_0,y_0)]}^{2} + {[f_y (x_0,y_0)]}^{2} + 1}}$

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar el ángulo de inclinación de un plano tangente para $\displaystyle \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{12} + \frac{z^2}{3} = 1$ en el punto (2, 2, 1).

Solución. De la función

$\displaystyle \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{12} + \frac{z^2}{3} = 1$

$\displaystyle \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{12} + \frac{z^2}{3} - 1 = 0$

$\displaystyle F(x, y, z) = \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{12} + \frac{z^2}{3} - 1$

Derivándolo parcialmente con respecto a “x”

$\displaystyle F_x (x, y, z) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{12} + \frac{z^2}{3} - 1)$

$\displaystyle F_x (x, y, z) = \frac{1}{12} \frac{\partial}{\partial x} (x^2) + \frac{1}{12} \frac{\partial}{\partial x} (y^2) + \frac{1}{3} \frac{\partial}{\partial x} (z^2) - \frac{\partial}{\partial x} (1)$

$\displaystyle F_x (x, y, z) = \frac{1}{6} x$

Con respecto a “y”

$\displaystyle F_y (x, y, z) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{12} + \frac{z^2}{3} - 1)$

$\displaystyle F_y (x, y, z) = \frac{1}{12} \frac{\partial}{\partial y} (x^2) + \frac{1}{12} \frac{\partial}{\partial y} (y^2) + \frac{1}{3} \frac{\partial}{\partial y} (z^2) - \frac{\partial}{\partial y} (1)$

$\displaystyle F_y (x, y, z) = \frac{1}{6} y$

Con respecto a “z”

$\displaystyle F_z (x, y, z) = \frac{\partial}{\partial z} (\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{12} + \frac{z^2}{3} - 1)$

$\displaystyle F_z (x, y, z) = \frac{1}{12} \frac{\partial}{\partial z} (x^2) + \frac{1}{12} \frac{\partial}{\partial z} (y^2) + \frac{1}{3} \frac{\partial}{\partial z} (z^2) - \frac{\partial}{\partial z} (1)$

$\displaystyle F_z (x, y, z) = \frac{2}{3} z$

Y tomando en cuenta el punto (2, 2, 1), se sustituye en los resultados de las derivadas parciales

$\displaystyle F_x (2, 2, 1) = \frac{1}{6} (2) = \frac{1}{3}$

$\displaystyle F_y (2,2, 1) = \frac{1}{6} (2) = \frac{1}{3}$

$\displaystyle F_z (2, 2, 1) = \frac{2}{3} (1) = \frac{2}{3}$

Ahora, del gradiente

$\nabla F(x, y, z) = F_x (x, y, z) \overrightarrow{i} + F_y (x,y, z) \overrightarrow{j} + F_z (x, y, z) \overrightarrow{k}$

$\nabla F(2, 2, 1) = F_x (2, 2, 1) \overrightarrow{i} + F_y (2, 2, 1) \overrightarrow{j} + F_z (2, 2, 1) \overrightarrow{k}$

$\displaystyle \nabla F(2, 2, 1) = \frac{1}{3} \overrightarrow{i} + \frac{1}{3} \overrightarrow{j} + \frac{2}{3} \overrightarrow{k}$

Finalmente, utilizando la fórmula del ángulo de inclinación

$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{k}|}{||\overrightarrow{n}||} = \frac{|\nabla F(2, 2, 1) \cdot \overrightarrow{k}|}{||\nabla F(2, 2, 1)||}$

$\displaystyle = \frac{(\frac{1}{3} \overrightarrow{i} + \frac{1}{3} \overrightarrow{j} + \frac{2}{3} \overrightarrow{k}) \cdot (\overrightarrow{k})}{\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}} = \frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{4}{9}}}$

$\displaystyle = \frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{6}{9}}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$

$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{2}{\sqrt{6}}$

Despejando $\theta$

$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{2}{\sqrt{6}}$

$\displaystyle \theta = \arccos{(\frac{2}{\sqrt{6}})}$

Finalmente, el ángulo de inclinación es

$\therefore \theta \approx 35.264$ °

Imagen9 — *Figura 4.24.1 Representación gráfica de la elipsoide x^2/12+y^2/12+z^2/3=1.*

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

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Publicado por Cesar Reyes

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