Integrales iteradas dobles impropias. Cálculo vectorial.

Propiedades de las integrales impropias.

$\displaystyle \int_{a}^{\infty}{f(x)dx} = \lim_{m \rightarrow \infty}{\int_{a}^{m}{f(x)dx}}$

$\displaystyle \int_{-\infty}^{b}{f(x)dx} = \lim_{n \rightarrow -\infty}{\int_{n}^{b}{f(x)dx}}$

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx} = \lim_{m \rightarrow \infty}{\lim_{n \rightarrow -\infty}{\int_{n}^{m}{f(x)dx}} }$

Problemas resueltos.

Problema 1. Resolver la siguiente integral iterada:

$\displaystyle \int_{1}^{\infty}{\int_{0}^{\frac{1}{x}}{y dy}dx}$

Solución. La primera integral (tomando de adentro hacia afuera) la diferencial “dy” presenta variables de “y”

$\displaystyle \int_{1}^{\infty}{\int_{0}^{\frac{1}{x}}{y dy} dx}$

Entonces

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{x}}{y dy} = \left[\frac{1}{2} y^2 \right]_{0}^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{2} - \frac{1}{2} {(0)}^{2} = \frac{1}{2x^2}$

Después

$\displaystyle \int_{1}^{\infty}{\int_{0}^{\frac{1}{x}}{y dy} dx} = \frac{1}{2} \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^2} dx}$

Aplicando el método de integrales impropias

$\displaystyle \frac{1}{2} \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^2} dx} = \frac{1}{2} \left[ \lim_{m \rightarrow \infty}{\int_{1}^{m}{\frac{1}{x^2} dx}} \right]$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \left[\lim_{m \rightarrow \infty}{\int_{1}^{m}{{x}^{-2} dx}} \right] = \frac{1}{2} \left[ \lim_{m \rightarrow \infty}{(-{x}^{-1})} \right]_{1}^{m}$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \lim_{m \rightarrow \infty}{[-{m}^{-1} + {1}^{-1}]} = \frac{1}{2} \lim_{m \rightarrow \infty}{(-\frac{1}{m} + 1)} = \frac{1}{2} (-\frac{1}{\infty} + 1) = \frac{1}{2}(0+2) = \frac{1}{2}$

Se concluye que

$\displaystyle \int_{1}^{\infty}{\int_{0}^{\frac{1}{x}}{y dy} dx} = \frac{1}{2} =$ es convergente

Problema 2. Resolver la siguiente integral iterada

$\displaystyle \int_{1}^{\infty}{\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{xy} dxdy}}$

Solución. La primera integral (tomando de adentro hacia afuera) la diferencial “dx” presenta variables de “x”

$\displaystyle \int_{1}^{\infty}{\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{xy} dx} dy}$

Entonces

$\displaystyle \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{xy} dx} = \frac{1}{y} \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x} dx}$

$\displaystyle = \frac{1}{y} \left[ \lim_{m \rightarrow \infty}{\int_{1}^{m}{\frac{1}{x} dx}} \right] = \frac{1}{y} \left[ \lim_{m \rightarrow \infty}{(\ln{x})} \right]_{1}^{m}$

$\displaystyle = \frac{1}{y} \left[ \lim_{m \rightarrow \infty}{(\ln{m} - \ln{1})} \right] = \frac{1}{y} \left[ \lim_{m \rightarrow \infty}{(\ln{m})} \right]$

$\displaystyle = \frac{1}{y} \ln{\infty} = \frac{1}{y} (\infty)$

Luego

$\displaystyle \int_{1}^{\infty}{\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{xy} dx} dy} = \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{y} (\infty) dy} = \infty$

Se concluye que

$\displaystyle \therefore \int_{1}^{\infty}{\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{xy} dx}dy} = \infty$ = es divergente

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

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Publicado por Cesar Reyes

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