Cálculo de áreas utilizando integrales iteradas dobles. Cálculo vectorial.

Área de una región en el plano del eje «x».

Si la región R está definida por $a \le x \le b$ y $g_1 (x) \le y \le g_2 (x)$ , donde $g_1 (x)$ y $g_2 (x)$ son funciones continuas en el eje x del intervalo [a, b]. La región R esta dada por

$\displaystyle A = \int_{a}^{b}{\int_{g_1 (x)}^{g_2 (x)}{dy} dx}$

Imagen1 — *Figura 5.7.1 Representación gráfica del área en el plano del eje «x».*

Área de una región en el plano del eje «y».

Si la región R está definida por $c \le y \le d$ y $h_1(x) \le x \le h_2(y)$ , donde $h_1 (y)$ y $h_2 (y)$ son funciones continuas en el eje x del intervalo [c, d]. La región R esta dada por

$\displaystyle A = \int_{c}^{d}{\int_{h_1 (y)}^{h_2 (y)}{dx} dy}$

Imagen2 — *Figura 5.7.2 Representación gráfica del área en el plano del eje «y».*

Problemas resueltos.

Problema 1. Calcular el área de la siguiente gráfica utilizando integrales iteradas dobles.

Imagen3 — *Figura 5.7.3 Representación gráfica del área a calcular del problema 1.*

Solución.

Se tomará el área bajo el eje «y», por lo que la fórmula a utilizar es

$\displaystyle \int_{c}^{d}{\int_{h_1 (y)}^{h_2 (y)}{dx}dy}$

Las funciones en el eje y son: $h_1 (y)=0$ y $h_2 (y)=8$ .

Y los límites inferior y superior respecto a ese eje son: $c=0$ y $d=3$

Sustituyendo todos estos datos en la fórmula

$\displaystyle \int_{c}^{d}{\int_{h_1 (y)}^{h_2 (y)}{dx} dy} = \int_{0}^{3}{\int_{0}^{8}{dx} dy}$

Resolviendo la integral del centro

$\displaystyle \int_{0}^{8}{dx} = \left[x \right]_{0}^{8} = 8 - 0 = 8$

Continuando

$\displaystyle \int_{0}^{3}{\int_{0}^{8}{dx} dy} = \int_{0}^{3}{8 dy} = 8\int_{0}^{3}{dy}$

$\displaystyle = 8 \left[ y \right]_{0}^{3} = 8(3 - 0) = 8(3) = 24$

Por lo tanto, la figura tiene un área de

$A = 24 u^2$

Problema 2. Hallar el área de la siguiente figura utilizando integrales iteradas dobles.

Imagen4 — *Figura 5.7.4 Representación gráfica del área a calcular del problema 2.*

Solución.

Para resolverlo, primero se toma la región R en el eje «x», por lo que su fórmula a utilizar es

$\displaystyle \int_{a}^{b}{\int_{g_1 (x)}^{g_2 (x)}{dy}dx}$

Las funciones en el eje y son: $g_1 (x)=0$ y $g_2 (x)=4-x^2$ .

Y los límites inferior y superior respecto a ese eje son: $a=0$ y $b=2$ .

Sustituyendo todos estos datos en la fórmula

$\displaystyle \int_{a}^{b}{\int_{g_1 (x)}^{g_2 (x)}{dy} dx} = \int_{0}^{2}{\int_{0}^{4-x^2}{dy} dx}$

Resolviendo la integral del centro

$\displaystyle \int_{0}^{4-x^2}{dy} = \left[ y \right]_{0}^{4-x^2} = 4-x^2 - 0 = 4 - x^2$

Continuando

$\displaystyle \int_{0}^{2}{\int_{0}^{4-x^2}{dy} dx} = \int_{0}^{2}{(4-x^2) dx}$

$\displaystyle = \left[4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = [4(2) - \frac{8}{3}] - (0) = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$

Por lo tanto, el área total en esa región es

$\displaystyle \therefore A = \frac{16}{3} u^2$

Problema 3. Encontrar el área de la siguiente figura utilizando integrales iteradas dobles.

Imagen5

Solución.

Para resolverlo, primero se toma la región R en el eje «x2, por lo que su fórmula a utilizar es

$\displaystyle \int_{a}^{b}{\int_{g_1 (x)}^{g_2 (x)}{dy}dx}$

Las funciones en el eje y son: $g_1 (x) = x+2$ y $g_2 (x)=4-x^2$ .

Y los límites inferior y superior respecto a ese eje son: $a=-2$ y $b=1$ .

Sustituyendo todos estos datos en la fórmula

$\displaystyle \int_{a}^{b}{\int_{g_1 (x)}^{g_2 (x)}{dy} dx} = \int_{-2}^{1}{\int_{x+2}^{4-x^2}{dy} dx}$

Resolviendo la integral del centro

$\displaystyle \int_{x+2}^{4-x^2}{dy} = \left[y \right]_{x+2}^{4-x^2} = (4-x^2) - (x+2)$

$= 4-x^2-x-2=-x^2-x+2$

Continuando

$\displaystyle \int_{-2}^{1}{\int_{x+2}^{4-x^2}{dy} dx} = \int_{-2}^{1}{(-x^2-x+2)dx} = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1}$

$\displaystyle = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - [-\frac{{(-2)}^{3}}{3} - \frac{{(-2)}^{2}}{2} + 2(-2)] = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (\frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4)$

$\displaystyle = - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 = - \frac{9}{3} + \frac{3}{2} + 6 = -\frac{9}{6} + 6 = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

Por lo tanto, el área de esa región es

$\displaystyle \therefore A = \frac{9}{2} u^2$

Problema 4. Mediante los siguientes datos, encuentra el valor de eso utilizando integrales iteradas dobles: $\displaystyle \sqrt{x} + \sqrt{y} = 2$ , $x=0$ , $y=0$ .

Solución. De la función $\displaystyle \sqrt{x} + \sqrt{y} = 2$ se despeja la variable “y”

$\displaystyle \sqrt{x} + \sqrt{y} = 2$

$\displaystyle \sqrt{y} = 2 - \sqrt{x}$

$\displaystyle y = {(2-\sqrt{x})}^{2}$

Para resolverlo, primero se toma la región R en el eje «x», por lo que su fórmula a utilizar es

$\displaystyle A = \int_{a}^{b}{\int_{g_1 (x)}^{g_2 (x)}{dy} dx}$

Las funciones en el eje y son: $g_1 (x)=0$ y $\displaystyle g_2 (x) = {(2-\sqrt{x})}^{2}$ .

Y los límites inferior y superior respecto a ese eje son: $a=0$ y $b=4$ .

Sustituyendo todos estos datos en la fórmula

$\displaystyle A = \int_{a}^{b}{\int_{g_1 (x)}^{g_2 (x)}{dy} dx} = \int_{0}^{4}{\int_{0}^{{(2-\sqrt{x})}^{2}}{dy} dx}$

Resolviendo la integral del centro

$\displaystyle \int_{0}^{{(2-\sqrt{x})}^{2}}{dy} = \left[ y \right]_{0}^{{(2-\sqrt{x})}^{2}} = {(2-\sqrt{x})}^{2}$

Continuando

$\displaystyle \int_{0}^{4}{\int_{0}^{{(2-\sqrt{x})}^{2}}{dy} dx} = \int_{0}^{4}{{(2-\sqrt{x})}^{2} dx} = \int_{0}^{4}{(4 - 4\sqrt{x} + x)dx}$

$\displaystyle = \left[4x - \frac{8}{3} {(x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{4} = [(4)(4) - \frac{8}{3} {(4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} {(4)}^{2}] - (0)$

$\displaystyle = 16 - \frac{8}{3} (8) + \frac{16}{2} = 16 - \frac{64}{3} + 8 = 24 - \frac{64}{3} = \frac{8}{3}$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore A = \frac{8}{3} u^2$

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

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Publicado por Cesar Reyes

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