Integrales iteradas triples. Cálculo vectorial.

Teorema de Fubini.

Sea f continua en una región sólida definida por Q. Bajo el dominio de la variable “x”

$a \le x \le b$

$h_1 (x) \le y \le h_2 (x)$

$g_1 (x, y) \le z \le g_2 (x,y)$

Donde $h_1$ , $h_2$ , $g_1$ y $g_2$ son funciones continuas. Por lo tanto

$\displaystyle \iiint_{Q}{f(x, y, z) dV} = \int_{a}^{b}{\int_{h_1 (x)}^{h_2 (x)}{\int_{g_1 (x, y)}^{g_2 (x, y)}{f(x, y,z)dz} dy} dx}$

Problemas resueltos.

Problema 1. Resolver la siguiente integral iterada

$\displaystyle \int_{0}^{3}{\int_{0}^{2}{\int_{0}^{1}{(x+y+z)dx} dy} dz}$

Solución. Resolviendo la integral desde el centro y se integra con respecto a “x”

$\displaystyle \int_{0}^{3}{\int_{0}^{2}{\int_{0}^{1}{(x+y+z)dx} dy} dz} = \int_{0}^{3}{\int_{0}^{2}{ \left[ \int_{0}^{1}{x dx} + \int_{0}^{1}{y dx} + \int_{0}^{1}{z dx}\right] dy} dz}$

$\displaystyle = \int_{0}^{3}{\int_{0}^{2}{ \left[ \frac{1}{2} x^2 + xy + xz \right]_{0}^{1} dy} dz} = \int_{0}^{3}{\int_{0}^{2}{ \left[\frac{1}{2} {(1)}^{2} + (1)y + (1)z \right]dy} dz}$

$\displaystyle = \int_{0}^{3}{\int_{0}^{2}{(\frac{1}{2}+y+z)dy} dz}$

Después se integra con respecto a “y”

$\displaystyle \int_{0}^{3}{\int_{0}^{2}{(\frac{1}{2} + y + z)dy} dz} = \int_{0}^{3}{ \left[ \frac{1}{2} \int_{0}^{2}{dy} + \int_{0}^{2}{y dy} + \int_{0}^{2}{z dy} \right] dz}$

$\displaystyle = \int_{0}^{3}{ \left[\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} y^2 + yz \right]_{0}^{2} dz} = \int_{0}^{3}{[\frac{1}{2} (2) + \frac{1}{2} {(2)}^{2} + 2z - 0]dz} = \int_{0}^{3}{(1+2+2z)dz}$

Y finalmente, se integra con respecto a “z”

$\displaystyle \int_{0}^{3}{(1+2+2z)dz} = \int_{0}^{3}{(2z+3)dz} = \left[z^2 + 3z \right]_{0}^{3}$

$= 3^2 + 3(3) - 0 = 9 + 9 = 18$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \int_{0}^{3}{\int_{0}^{2}{\int_{0}^{1}{(x+y+z)dx}dy}dz} = 18$

Problema 2. Resolver la siguiente integral iterada

$\displaystyle \int_{0}^{1}{\int_{0}^{x}{\int_{0}^{xy}{x dz} dy} dx}$

Solución. Resolviendo la integral desde el centro y se integra con respecto a “z”

$\displaystyle \int_{0}^{1}{\int_{0}^{x}{\int_{0}^{xy}{x dz} dy} dx} = \int_{0}^{1}{\int_{0}^{x}{ \left[\int_{0}^{xy}{x dz} \right] dy} dx}$

$\displaystyle = \int_{0}^{1}{\int_{0}^{x}{\left[xz \right]_{0}^{xy} dy} dx} = \int_{0}^{1}{\int_{0}^{x}{x(xy)dy} dx} = \int_{0}^{1}{\int_{0}^{x}{xxy dy}dx} = \int_{0}^{1}{\int_{0}^{x}{x^2 y dy}dx}$

Después se integra con respecto a “y”

$\displaystyle \int_{0}^{1}{\int_{0}^{x}{x^2 y dy}dx} = \int_{0}^{1}{ \left[ \int_{0}^{x}{x^2 y dy} \right] dx} = \int_{0}^{1}{ \left[ \frac{1}{2} x^2 y^2 \right]_{0}^{x} dx}$

$\displaystyle \int_{0}^{1}{[\frac{1}{2} x^2 (x^2 - 0^2)]dx} = \int_{0}^{1}{[\frac{1}{2} x^2 (x^2)]dx} = \int_{0}^{1}{\frac{1}{2} x^4 dx}$

Y finalmente, se integra con respecto a “x”

$\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{1}{2} x^4 dx} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1}{x^4 dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{5} x^5 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} [\frac{1}{5} {(1)}^{5} - \frac{1}{2} {(0)}^{5}] = \frac{1}{10}$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \int_{0}^{1}{\int_{0}^{x}{\int_{0}^{xy}{x dz} dy} dx} = \frac{1}{10}$

Problema 3. Resolver la siguiente integral iterada

$\displaystyle \int_{0}^{4}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\int_{0}^{1-x}{x \cos{y} dz} dy} dx}$

Solución. Resolviendo la integral desde el centro y se integra con respecto a “z”

$\displaystyle \int_{0}^{4}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\int_{0}^{1-x}{x \cos{y} dz} dy} dx} = \int_{0}^{4}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \left[ \int_{0}^{1-x}{x \cos{y} dz}\right] dy} dx}$

$\displaystyle = \int_{0}^{4}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \left[xz \cos{y} \right]_{0}^{1-x} dy} dx} = \int_{0}^{4}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{x(1-x) \cos{y} dy} dx}$

Después se integra con respecto a “y”

$\displaystyle \int_{0}^{4}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{x(1-x) \cos{y} dy} dx} = \int_{0}^{4}{ \left[ x(1-x) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos{y} dy} \right] dx}$

$\displaystyle = \int_{0}^{4}{ \left[ x(1-x) \sin{y} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} dx} = \int_{0}^{4}{x(1-x)(\sin{\frac{\pi}{2}} - \sin{0})dx} = \int_{0}^{4}{x(1-x)dx}$

Y finalmente, se integra con respecto a “x”

$\displaystyle \int_{0}^{4}{x(1-x)dx} = \int_{0}^{4}{(x-x^2)dx} = \left[ \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{4}$

$\displaystyle = (\frac{1}{2} {4}^{2} - \frac{1}{3} {4}^{3}) - 0 = \frac{16}{2} - \frac{64}{3} = 8 - \frac{64}{3} = -\frac{40}{3}$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \int_{0}^{4}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\int_{0}^{1-x}{x \cos{y} dz} dy} dx} = -\frac{40}{3}$

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

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Publicado por Cesar Reyes

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