La integral indefinida y el teorema fundamental del cálculo. Cálculo integral

Introducción

A continuación, se dará a conocer un teorema que da lugar a la derivada de una función $F$ definida como una integral definida con un límite superior variable.

Teorema. Sea $f$ una función que es continua en un intervalo cerrado asignado como $[a,b]$ y sea $x$ un valor numérico cualquiera dentro de ese intervalo. Si $F$ es la función definida por

$\displaystyle F(x) = \int_{a}^{x}{f(v) \ dv}$

entonces

${F}^{'}(x) = f(x)$

Si “ $x=a$ ”, la derivada de “ $F^{'}(x)=f(x)$ ” puede ser una derivada hacia la derecha mientras que si “ $x=b$ ”, la derivada de “ $F'(x)=f(x)$ ” puede ser una derivada hacia la izquierda.

Demostración del teorema

Asignando dos valores numéricos “ $x_1$ ” y “ $x_1 + \Delta x$ ” en el intervalo cerrado $[a,b]$ , se tiene que:

$\displaystyle F(x_1 )=\int_{a}^{x_1}{f(v)\ dv}$ y $\displaystyle F(x_1+\Delta x)=\int_{a}^{x_1+\Delta x}{f(v)\ dv}$

Restando “ $F(x_1)$ ” con “ $F(x_1 + \Delta x)$ ”

$\displaystyle F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)=\int_{a}^{x_1+\Delta x}{f(v) \ dv} -\int_{a}^{x_1}{f(v) \ dv}$

$\displaystyle = \int_{a}^{x_1+\Delta x}{f(v) \ dv} + \int_{x_1}^{a}{f(v) \ dv} = \int_{x_1}^{x_1+\Delta x}{f(v) \ dv}$

Por el teorema del valor medio para integrales, existe algún número $X$ en un intervalo cerrado limitado por “ $x_1$ ” y “ $x_1 + \Delta x$ ” tal que:

$\displaystyle \int_{x_1}^{x_1+\Delta x}{f(v) \ dv} = f(X) \Delta x$

Entonces, retornando

$\displaystyle F(x_1+ \Delta x)- F(x_1) = \int_{a}^{x_1+\Delta x}{f(v) \ dv} -\int_{a}^{x_1}{f(v) \ dv}$

$\displaystyle = \int_{x_1}^{x_1+\Delta x}{f(v) \ dv} = f(X) \Delta x$

Despejando “ $f(X)$ ”

$F(x_1+\Delta x) - F(x_1) = f(X) \Delta x$

$\displaystyle \frac{F(x_1+\Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(X)$

$\displaystyle f(X)= \frac{F(x_1+\Delta x)-F(x_1)}{\Delta x}$

Asignando el límite cuando “ $\Delta x$ ” tiende a cero en ambos miembros

$\displaystyle f(X) = \frac{F(x_1+\Delta x)-F(x_1)}{\Delta x}$

$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(X)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{F(x_1+\Delta x)-F(x_1)}{\Delta x}}$

El lado derecho de esta última ecuación es

$\displaystyle \lim_{\Delta \rightarrow 0}{\frac{F(x_1+\Delta x)-F(x_1)}{\Delta x}} = {F}^{'} (x_1)$

En el lado izquierdo se recuerda que $X$ está contenido en el intervalo cerrado limitado por “ $x_1$ ” y “ $x + \Delta x$ ”, así que

$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{x_1} = x_1$ y $\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{(x_1+\Delta x_1)} = x_1 + 0 = x_1$

Garza (Garza, 1999, p. 65) menciona el teorema del apretón y establece que al suponer las funciones $f$ , $g$ y $h$ están definidas en algún intervalo abierto $I$ que contiene a $a$ , excepto posiblemente en $a$ misma, y que:

$f(x) \le g(x) \le h(x)$

Para toda $x$ en $I$ para las cuales « $x$ sea diferente de $a$ «. También se supone que el límite

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x)}$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{h(x)}$

Existen y son iguales a $L$ . Entonces

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{g(x)}$

También existe y es igual a $L$ .

Entonces, se establece que

$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{X} = x_1$

Por que $f$ es continua en $x_1$ , y

$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(X)} = \lim_{X \rightarrow x_1}{f(X)} = f(x_1)$

Entonces, en la ecuación

$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{f(X)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{F(x_1+\Delta x)-F(x_1)}{\Delta x}}$

Se tiene lo siguiente

$\displaystyle f(x_1) = {F}^{'} (x)$

${F}^{'}(x) = f(x_1)$

Si la función $f$ no estuviese definida para valores de $x$ menores que $a$ pero es continua a la derecha de $a$ , entonces, de lo anterior, si “ $x_1 = a$ ” en esa ecuación, $\Delta x$ debe aproximarse a cero por la derecha. Por lo tanto:

${F}^{'} (x) = f(x_1)$ será ${{F}_{(+)}}^{'}(x) = f(x_1)$

Si $f$ no estuviera definida para valores de $x$ mayores que $b$ pero es continua a la izquierda de $b$ , entonces, de lo anterior, si “ $x_1 = b$ ”, en esa ecuación, $x$ debe aproximarse a cero por la izquierda. Por lo tanto:

${F}^{'} (x) = f(x_1)$ será ${{F}_{(-)}}^{'} (x) = f(x_1)$

Por lo tanto, el teorema anterior establece que la integral definida

$\displaystyle \int_{a}^{x}{f(v) \ dv}$

Con límite superior variable $x$ , es una antiderivada de $f$ .

Teorema fundamental del cálculo

Sea la función $f$ continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y sea $g$ una función tal que ${g}^{'}(x) = f(x)$ para toda $x$ en $[a,b]$ . Entonces

$\displaystyle \int_{a}^{x}{f(v) \ dv} = g(b) - g(a)$

Si $x=a$ , la derivada en ${g}^{'}(x) = f(x)$ puede ser una derivada por la derecha, y si $x=b$ , la derivada en ${g}^{'}(x) = f(x)$ puede ser una derivada por la izquierda.

Demostración del teorema fundamental del cálculo

Si $f$ es continua en todos los números $[a,b]$ , por el teorema anteriormente establecido y demostrado, según el cual la integral definida

$\displaystyle \int_{a}^{x}{f(v) \ dv}$ ,

con límite superior variable $x$ , define una función $f$ cuya derivada en $[a,b]$ es $f$ ; como hipótesis ${g}^{'}(x) = f(x)$ , se sigue del teorema que establece que si $f$ y $g$ son dos funciones tales que ${f}^{'}(x)={g}^{'}(x)$ para todos los valores de $x$ en el intervalo $I$ , entonces existe una constante $K$ tal que $f(x)= g(x) + K$ para toda $x$ en $I$ , y que

$\displaystyle g(x) = \int_{a}^{x}{f(v) \ dv} + K$

Donde $K$ es cualquier constante.

De las ecuaciones anteriores, se observa que

$\displaystyle g(b) - g(a) = \int_{a}^{b}{f(v) \ dv} - \int_{a}^{a}{f(v) \ dv}$

Por definición, se tiene que

$\displaystyle \int_{a}^{a}{f(v) \ dv} = 0$

Resultando

$\displaystyle g(b)-g(a) = \int_{a}^{b}{f(v) \ dv} - 0 = \int_{a}^{b}{f(v) \ dv}$

Si $f$ no está definida para valores de $x$ mayores que $b$ pero es continua a la izquierda de $b$ , la derivada en ${g}^{'}(x) = f(x)$ es una derivada por la izquierda, resultando que

${{g}_{-}}^{'} (b) = {{F}_{-}}^{'} (b)$

Donde

$\displaystyle g(b) = \int_{a}^{b}{f(v) \ dv} + K$

De la misma manera, si $f$ no está definida para valores de $x$ menores que $a$ pero es continua a la derecha de $a$ , entonces la derivada en ${g}^{'}(x) = f(x)$ es una derivada por la derecha y resulta que

${{g}_{+}}^{'} (a) = {{F}_{+}}^{'} (a)$

Donde

$\displaystyle g(a) = \int_{a}^{a}{f(v) \ dv} + K$

Se concluye que al aplicar el teorema fundamental del cálculo, se puede notar que

$\displaystyle [g(b)-g(a)] = \left[ g(x) \right]_{a}^{b}$

La integral indefinida

De la expresión

$\displaystyle F(x) = \int_{a}^{x}{f(v) \ dv}$

La función $F(x)$ se denomina una integral indefinida de la función $f(v)$ . Se dice una y no la integral indefinida, ya que, en lugar de haber seleccionado a $a$ como el límite inferior de integración, se puedo haber escogido otro valor constante, y como consecuencia, se daría un valor diferente para la integral.

Se comprueba fácilmente que cualquier integral definida se halla a partir de una integral indefinida $F(x)$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f(v) \ dv} = g(b) - g(a)$

La relación anterior entre la integral definida e indefinida sugiere una manera de calcular el valor de la primera a partir de la segunda.

El teorema fundamental del cálculo estable que una integral indefinida $F(x)$ de una función continua $f(x)$ definida:

$\displaystyle \int_{a}^{x}{f(v) \ dv}$

Posee siempre una derivada ${F}^{'}(x)$ y es tal que ${F}^{'}(x) = f(x)$ ; esto es, la derivación de una integral indefinida reproduce siempre el integrando.

$\displaystyle {F}^{'} (x) = \frac{d}{dx} [F(x)] = \frac{d}{dx} \left[\int{f(v) \ dv} \right] = f(x)$

El teorema fundamental del cálculo muestra el inverso de las operaciones de derivación e integración, lo que constituye la parte básica del cálculo. Por esta relación inversa derivación – integración, a la función $f(x)$ se llama la primitiva de $F(x)$ , ya que proviene de la derivación de la primera.

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Demostración del teorema

Teorema fundamental del cálculo

Demostración del teorema fundamental del cálculo

La integral indefinida

Publicado por Cesar Reyes

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