Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{0 \ dx}

Solución. Usando la fórmula

\displaystyle \int{k \ dx} = k \int{dx} = kx + C

Sustituyendo

\displaystyle \int{0 \ dx} = 0 \int{dx} = 0(x) + C = C

\displaystyle \therefore \int{0 \ dx} = C

Problema 2. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{3x \ dx}

Solución. Usando las fórmulas:

\displaystyle \int{kx \ dx} = k \int{x \ dx} + C\displaystyle \int{x^n \ dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

Sustituyendo

\displaystyle \int{3x \ dx} = 3\int{x \ dx}

\displaystyle \int{3x \ dx} = 3 \left(\frac{{x}^{1+1}}{1+1} \right)

\displaystyle \int{3x \ dx} = 3 \left(\frac{x^2}{2} \right) = \frac{3}{2} x^2 + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{3x \ dx} = \frac{3}{2} x^2 + C

Problema 3. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{x^3 \ dx}

Solución. Usando la siguiente fórmula

\displaystyle \int{x^n \ dx} = \frac{{x}^{n+1}}{n+1} + C

Sustituyendo

\displaystyle \int{x^3 \ dx} = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C

\displaystyle \therefore \int{x^3 \ dx} = \frac{x^4}{4} + C

Problema 4. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{{(x+2)}^{2} \ dx}

Solución. Desarrollando el binomio al cuadrado

\displaystyle \int{{(x+2)}^{2} \ dx} = \int{(x^2 + 4x + 4) \ dx}

\displaystyle \int{{(x+2)}^{2} \ dx} = \int{x^2 \ dx} + 4\int{x \ dx} + 4\int{dx}

Usando las siguientes fórmulas

\displaystyle \int{dx} = x + C\displaystyle \int{x^n \ dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

Sustituyendo

\displaystyle \int{{(x+2)}^{2} \ dx} = \int{x^2 \ dx} + 4\int{x \ dx} + 4\int{dx} = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 4 \left(\frac{x^{1+1}}{1+1} \right) + 4x + C

\displaystyle \int{{(x+2)}^{2} \ dx} = \frac{x^3}{3} + 4 \left(\frac{x^2}{2} \right) + 4x + C

\displaystyle \int{{(x+2)}^{2} \ dx} = \frac{1}{3} x^3 + \frac{4}{2} x^2 + 4x + C = \frac{1}{3} x^3 + 2x^2 + 4x + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{{(x+2)}^{2} \ dx} = \frac{1}{3} x^3 + 2x^2 + 4x + C

Problema 5. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{4x^2 {(x^3+8)}^{2} \ dx}

Solución. Colocando el coeficiente fuera de la integral indefinida y reacomodando el término x^2 (ubicada dentro de la integral indefinida)

\displaystyle \int{4x^2 {(x^3+8)}^{2} \ dx} = 4\int{{(x^3+8)}^{2} x^2 \ dx}

Realizando el método se sustitución, sea u = x^3 + 8. Derivando con respecto a x se tiene

\displaystyle \frac{d}{dx} (u) = \frac{d}{dx} (x^3+8) = \frac{d}{dx} (x^3) + \frac{d}{dx} (8)

\displaystyle \frac{du}{dx} = 3x^2

Despejando “x^2 dx«

du = 3x^2 \ dx

\displaystyle \frac{du}{3} = x^2 \ dx

Cambiando variables

\displaystyle \int{4x^2 {(x^3+8)}^{2} \ dx} = 4\int{{(x^3+8)}^{2} x^2 \ dx} = 4\int{u^2 \left(\frac{du}{3} \right)} = \frac{4}{3} \int{u^2 \ du}

Usando la fórmula

\displaystyle \int{x^n \ dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

Aunque en este caso se usa la variable u, por lo que la fórmula solo cambia de letra de x a u

\displaystyle \int{u^n \ du} = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C

Sustituyendo

\displaystyle \int{4x^2 {(x^3+8)}^{2} \ dx} = \frac{4}{3} \left(\frac{u^{2+1}}{2+1} \right) = \frac{4}{3} \left(\frac{u^3}{3} \right)

\displaystyle \int{4x^2 {(x^3+8)}^{2} \ dx} = \frac{4}{9} u^3 + C = \frac{4}{9} {(x^3 + 8)}^{3} + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{4x^2 {(x^3+8)}^2 \ dx} = \frac{4}{9} {(x^3+8)}^{3} + C

Problema 6. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{e^{3x} \ dx}

Solución. Realizando el método de sustitución para la potencia del exponente, sea u=3x

Derivando con respecto a x

\displaystyle \frac{d}{dx} (u) = \frac{d}{dx} (3x)

\displaystyle \frac{du}{dx} = 3

Despejando dx

\displaystyle du = 3 \ dx

\displaystyle \frac{du}{3} = dx

Sustituyendo

\displaystyle \int{e^{3x} \ dx} = \int{e^u \frac{du}{3}} = \frac{1}{3} \int{e^u du}

Usando la fórmula

\displaystyle \int{e^u \ du} = e^u + C

Sustituyendo

\displaystyle \frac{1}{3} \int{e^u \ du} = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{3x} + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{e^{3x} \ dx} = \frac{1}{3} e^{3x} + C

Problema 7. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{e^{3x^2} x \ dx}

Solución. Por el método de sustitución, se usará la variable u. Sea u = 3x^2. Derivando con respecto a x

\displaystyle \frac{d}{dx} (u) = \frac{d}{dx} (3x^2)

\displaystyle \frac{du}{dx} = 6x

Despejando x \ dx

du = 6x \ dx

\displaystyle \frac{du}{6} = x \ dx

Sustituyendo valores

\displaystyle \int{e^{3x^2} x \ dx} = \int{e^u \left(\frac{du}{6} \right)} = \frac{1}{6} \int{e^u \ du}

Usando la fórmula

\displaystyle \int{e^u \ du} = e^u + C

Entonces

\displaystyle \frac{1}{6} \int{e^u} \ du = \frac{1}{6} e^u + C = \frac{1}{6} e^{3x^2} + C

El resultado final es

\displaystyle \therefore \int{e^{3x^2} x \ dx} = \frac{1}{6} e^{3x^2} + C

Problema 8. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{a^{10x} dx}

Solución. Por el método de sustitución de variables, se usará la variable u que representará 10x. Sea u = 10x. Derivando con respecto a x

\displaystyle \frac{d}{dx} (u) = \frac{d}{dx} (10x)

\displaystyle \frac{du}{dx} = 10

Despejando dx

du = 10 \ dx

\displaystyle \frac{du}{10} = dx

Sustituyendo en la integral

\displaystyle \int{a^{10x} \ dx} = \int{a^u \left(\frac{du}{10} \right)} = \frac{1}{10} \int{a^u \ du}

Para esta integral, la fórmula a aplicar es la siguiente

\displaystyle \int{a^u \ du} = \frac{a^u}{\ln{a}} + C

Entonces

\displaystyle \int{a^{10x} \ dx} = \frac{1}{10} (\frac{a^u}{\ln{a}} + C) = \frac{1}{10} (\frac{1}{\ln{a}}) a^u + (\frac{1}{10})C

\displaystyle \int{a^{10x} \ dx} = \frac{a^u}{10 \ln{a}} + C = \frac{a^{10x}}{10 \ln{a}} + C

El resultado final es

\displaystyle \therefore \int{a^{10x} \ dx} = \frac{a^{10x}}{10 \ln{a}} + C

Problema 9. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{2x^2 a^{7x^3} \ dx}

Solución. Por el método de sustitución de variables, se usará la variable u que representará 7x^3. Sea u = 7x^3. Derivando con respecto a x

\displaystyle \frac{d}{dx} (u) = \frac{d}{dx} (7x^3)

\displaystyle \frac{du}{dx} = 21x^2

Despejando x^2 dx

\displaystyle du = 21x^2 \ dx

\displaystyle \frac{du}{21} = x^2 \ dx

Sustituyendo en la integral

\displaystyle \int{2x^2 a^{7x^3} \ dx} = 2 \int{x^2 a^{7x^3} \ dx} = 2 \int{a^{7x^3} x^2 \ dx}

\displaystyle \int{2x^2 a^{7x^3} \ dx} = 2 \int{a^u \left(\frac{du}{21} \right)} = \frac{2}{21} \int{a^u \ du}

Para esta integral

\displaystyle \int{a^u \ du} = \frac{a^u}{\ln{a}} + C

Entonces, resolviéndolo de forma similar

\displaystyle \int{2x^2 a^{7x^3} \ dx} = \frac{2}{21} \left(\frac{1}{\ln{a}} \right)) a^u + C

\displaystyle \int{2x^2 a^{7x^3} \ dx} = \frac{2}{21} \left(\frac{1}{\ln{a}} \right) a^{7x^3} + C = \frac{2a^{7x^3}}{21 \ln{a}} + C

El resultado final es

\displaystyle \therefore \int{2x^2 a^{7x^3} \ dx} = \frac{2a^{7x^3}}{21 \ln{a}} + C

Problema 10. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{7^x \ dx}

Solución. Usando la siguiente fórmula

\displaystyle \int{a^x \ dx} = \frac{1}{\ln{a}} a^x + C = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

Sustituyendo directamente

\displaystyle \int{7^x \ dx} = \frac{1}{\ln{7}} 7^x = \frac{7^x}{\ln{7}} + C

Por lo tanto

\displaystyle \therefore \int{7^x \ dx} = \frac{7^x}{\ln{7}} + C

Problema 11. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{z^{2x} \ dx}

Solución. Por el método de sustitución, se usará la variable u que representará 2x”. Sea u = 2x. Derivando con respecto x

\displaystyle \frac{d}{dx} (u) = \frac{d}{dx} (2x)

\displaystyle \frac{du}{dx} = 2

Despejando dx

\displaystyle du = 2 \ dx

\displaystyle \frac{du}{2} = dx

Como z se comporta una constante debido a que la diferencial ubicada dentro de la integral es x, el procedimiento continua realizando la sustitución siguiente

\displaystyle \int{z^{2x} \ dx} = \int{z^u \left( \frac{du}{2} \right)} = \frac{1}{2} \int{z^u \ du}

Para esta integral se usará la fórmula de forma similar

\displaystyle \int{a^u \ du} = \frac{a^u}{\ln{a}} + C

Entonces, resolviéndolo de forma similar

\displaystyle \int{z^{2x} \ dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{z^u}{\ln{z}} \right) = \frac{1}{2} \left(\frac{z^{2x}}{\ln{z}} \right) = \frac{z^{2x}}{2 \ln{z}} + C

Por lo tanto

\displaystyle \therefore \int{z^{2x} \ dx} = \frac{z^{2x}}{2 \ln{z}} + \text{C}

Problema 12. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{\sin{4x} \ dx}

Solución. Por el método de sustitución, sea u = 4x. Derivando con respecto a x en ambos miembros

\displaystyle \frac{d}{dx} (u) = \frac{d}{dx} (4x)

\displaystyle \frac{du}{dx} = 4

Despejando dx

\displaystyle \frac{du}{dx} = 4

\displaystyle \frac{du}{4} = dx

Haciendo el cambio de variable

\displaystyle \int{\sin{4x} \ dx} = \int{\sin{u} \left(\frac{du}{4} \right)} = \frac{1}{4} \int{\sin{u} \ du}

Utilizando la siguiente integral

\displaystyle \int{\sin{u} \ du} = -\cos{u} + C

Sustituyendo

\displaystyle \int{\sin{4x} \ dx} = \frac{1}{4} (-\cos{4x}) + C = -\frac{1}{4}  \cos{4x} + C

Por lo tanto

\displaystyle \therefore \int{\sin{4x} \ dx} = -\frac{1}{4} \cos{4x} + C

Problema 13. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{x \cos{x^2} \ dx}

Solución. Por el método de sustitución, sea u = x^2. Derivando con respecto a x en ambos miembros

\displaystyle \frac{d}{dx} (u) = \frac{d}{dx} (x^2)

\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x

Despejando x \ dx

\displaystyle \frac{du}{2} = x \ dx

Sustituyendo

\displaystyle \int{x \cos{x^2} \ dx} = \int{\cos{x^2} x \ dx} = \int{\cos{u} \left(\frac{du}{2} \right)} = \frac{1}{2} \int{\cos{u} \ du}

Utilizando la siguiente integral

\displaystyle \int{\cos{u} \ du} = \sin{u} + C

Sustituyendo una vez más

\displaystyle \int{x \cos{x^2} \ dx} = \frac{1}{2} (\sin{u}) + C = \frac{1}{2} \sin{u} + C = \frac{1}{2} \sin{x^2} + C

Por lo tanto

\displaystyle \therefore \int{x \cos{x^2} \ dx} = \frac{1}{2} \sin{x^2} + C

Problema 14. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{e^x \tan{e^x} \ dx}

Solución. Por el método de sustitución, sea \displaystyle u=e^x. Derivando con respecto a dx en ambos miembros

\displaystyle \frac{d}{dx} (u) = \frac{d}{dx} (e^x)

\displaystyle \frac{du}{dx} = e^x

Despejando e^x dx

du = e^x dx

Realizando la sustitución

\displaystyle \int{e^x \tan{e^x} \ dx} = \int{\tan{e^x} e^x \ dx} = \int{\tan{u} \ du}

Utilizando la siguiente integral

\displaystyle \int{\tan{u} \ du} = -\ln{|\cos{u}|} + C = \ln{|\sec{u}|} + C

Sustituyendo una vez más

\displaystyle \int{e^x \tan{e^x} \ dx} = -\ln{|\cos{u}|} + C = -\ln{|\cos{e^x}|} + C = \ln{|\sec{e^x}|} + C

Por lo tanto

\displaystyle \therefore \int{e^x \tan{e^x} \ dx} = -\ln{|\cos{e^x}|} + C = \ln{|\sec{e^x}|} + C

Problema 15. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{\cot{3x} \ dx}

Solución. Por el método de sustitución, sea u = 3x. Derivando con respecto a dx en ambos miembros

\displaystyle \frac{d}{dx} (u) = \frac{d}{dx} (3x)

\displaystyle \frac{du}{dx} = 3

Despejando dx

\displaystyle \frac{du}{3} = dx

Realizando la sustitución

\displaystyle \int{\cot{3x} \ dx} = \int{\cot{u} \left(\frac{du}{3} \right)} = \frac{1}{3} \int{\cot{u} \ du}

Usando la siguiente fórmula

\displaystyle \int{\cot{u} \ du} = \ln{|\sin{u}|} + C

Sustituyendo una vez más

\displaystyle \int{\cot{3x} \ dx} = \frac{1}{3} \ln{|\sin{u}|} + C = \frac{1}{3} \ln{|\sin{3x}|} + C

Por lo tanto

\displaystyle \therefore \int{\cot{3x} \ dx} = \frac{1}{3} \ln{|\sin{3x}|} + C

Problema 16. Resolver la siguiente integral indefinida: \displaystyle \int{\sinh{10x} \ dx}.

Solución. Por el método de sustitución, sea u=10x. Derivando con respecto a dx en ambos miembros:

\displaystyle \frac{d}{dx} (u) = \frac{d}{dx} (10x)

\displaystyle \frac{du}{dx} = 10

Despejando dx

\displaystyle du = 10 \ dx

\displaystyle \frac{du}{10} = dx

Realizando la sustitución

\displaystyle \int{\sinh{10x} \ dx} = \int{\sinh{u} \left(\frac{du}{10} \right)} = \frac{1}{10} \int{\sinh{u} \ du}

Usando la fórmula

\displaystyle \int{\sinh{u} \ du} = \cosh{u} + C

Sustituyendo

\displaystyle \int{\sinh{10x} \ dx} = \frac{1}{10} \cosh{u} + C = \frac{1}{10} \cosh{10x} + C

Por lo tanto

\displaystyle \therefore \int{\sinh{10x} \ dx} = \frac{1}{10} \cosh{10x} + C

Avatar de Desconocido

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web.

Deja un comentario

Este sitio utiliza Akismet para reducir el spam. Conoce cómo se procesan los datos de tus comentarios.