Solución de integrales indefinidas. Segunda parte. Cálculo integral.

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la siguiente integral indefinida: $\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2+4}}$

Solución. Esta integral es idéntica a

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2+4}} = \int{\frac{du}{u^2+a^2}}$

Cuya fórmula es es

$\displaystyle \int{\frac{du}{u^2+a^2}} = \frac{1}{a} \arctan{\left(\frac{u}{a} \right)} + \text{C}$

Usando el método de sustitución, se analizan las siguientes variables

Entonces:

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2+4}} = \int{\frac{du}{u^2+a^2}}$

$\displaystyle = \frac{1}{a} \arctan{\left(\frac{u}{a} \right)} + C = \frac{1}{2} \arctan{ \left(\frac{x}{2} \right)} + C$

El resultado final es

$\displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{x^2+4}} = \frac{1}{2} \arctan{\left(\frac{x}{2} \right)} + C$

Problema 2. Resolver la siguiente integral indefinida: $\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2-25}}$

Solución. Esta integral es idéntica a

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2-25}} = \int{\frac{du}{u^2-a^2}}$

Cuya fórmula es

$\displaystyle \int{\frac{du}{u^2-a^2}} = \frac{1}{2a} \ln{\left(\frac{u-a}{u+a}\right)} + C$

Usando el método de sustitución, se analizan las siguientes variables

Entonces

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2-25}} = \int{\frac{du}{u^2-a^2}}$

$\displaystyle \frac{1}{2a} \ln{ \left(\frac{u-a}{u+a} \right)} + C = \frac{1}{2(5)} \ln{ \left(\frac{x-5}{x+5} \right)} + C = \frac{1}{10} \ln{\left(\frac{x-5}{x+5} \right)} + C$

Por lo que el resultado final es

$\displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{x^2-25}} = \frac{1}{10} \ln{\left(\frac{x-5}{x+5} \right)} + C$

Problema 3. Resolver la siguiente integral indefinida: $\displaystyle \int{\frac{dx}{25-x^2}}$

Solución. Esta fórmula es idéntica a

$\displaystyle \int{\frac{dx}{25-x^2}} = \int{\frac{du}{a^2-u^2}}$

Donde su fórmula es

$\displaystyle \int{\frac{du}{a^2-u^2}} = \frac{1}{2a} \ln{\left(\frac{a-u}{a+u} \right)} + C$

Usando el método de sustitución, se analizan las siguientes variables

Entonces

$\displaystyle \int{\frac{dx}{25-x^2}} = \int{\frac{du}{a^2-u^2}}$

$\displaystyle \frac{1}{2a} \ln{\left(\frac{a-u}{a+u} \right)} + C = \frac{1}{2(5)} \ln{\left(\frac{5-x}{5+x}\right)} + C = \frac{1}{10} \ln{\left(\frac{5-x}{5+x}\right)} + C$

Por lo que el resultado final es

$\displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{25-x^2}} = \frac{1}{10} \ln{\left(\frac{5-x}{5+x} \right)} + C$

Problema 4. Resolver la siguiente integral indefinida: $\displaystyle \int{\frac{dx}{\sqrt{x^2+25}}}$

Solución. Esta integral es idéntica a

$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sqrt{25-x^2}}} = \int{\frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}}$

Donde su fórmula tiene dos resultados y puede tomarse cualquiera de las dos

\displaystyle \int{\frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}} = \ln{(u + \sqrt{a^2+u^2})} + C

\displaystyle \int{\frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}} = \text{argsinh} \left(\frac{u}{a} \right) + C

Usando el método de sustitución, se analizan las siguientes variables

Entonces

$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sqrt{x^2+25}}} = \int{\frac{du}{\sqrt{a^2+u^2}}}$

$\displaystyle = \ln{(u + \sqrt{a^2+u^2})} = \ln{(x + \sqrt{25+x^2})} + C$

Por lo que el resultado final es

$\displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{\sqrt{x^2+25}}} = \ln{(x + \sqrt{25+x^2})} + C$

Que también puede ser

$\displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{\sqrt{x^2+25}}} = \text{argsenh} \left(\frac{x}{5} \right) + C$

Problema 5. Resolver la siguiente integral indefinida: $\displaystyle \int{\frac{dx}{\sqrt{x^2-25}}}$

Solución. Esta integral es idéntica a

$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sqrt{x^2-25}}} = \int{\frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}}$

Donde su fórmula tiene dos resultados y puede tomarse cualquiera de las dos

\displaystyle \int{\frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}} = \ln{(u + \sqrt{u^2-a^2})} + C

\displaystyle \int{\frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}} = \text{argcosh} \left(\frac{u}{a} \right) + C

Usando el método de sustitución, se analizan las siguientes variables

Entonces

$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sqrt{x^2-25}}} = \int{\frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}}$

$\displaystyle = \ln{(u + \sqrt{u^2-a^2})} + C = \ln{(x + \sqrt{x^2-25})} + C$

Por lo que el resultado final es

$\displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{\sqrt{x^2-25}}} = \ln{(x + \sqrt{x^2-25})} + C$

Que también puede ser

$\displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{\sqrt{x^2-25}}} = \text{argcosh} \left(\frac{x}{5} \right) + C$

Problema 6. Resolver la siguiente integral indefinida: $\displaystyle \int{\sqrt{100-x^2} \ dx}$

Solución. Esta integral es idéntica a

$\displaystyle \int{\sqrt{100-x^2} \ dx} = \int{\sqrt{a^2-u^2} \ du}$

Donde su resultado es

$\displaystyle \int{\sqrt{a^2-u^2} \ du} = \frac{u}{2} \sqrt{a^2-u^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin{ \left(\frac{u}{a} \right)} + C$

Usando el método de sustitución, se analizan las siguientes variables

Entonces

$\displaystyle \int{\sqrt{100-x^2} \ dx} = \int{\sqrt{a^2-u^2} \ du}$

$\displaystyle = \frac{u}{2} \sqrt{a^2-u^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin{ \left(\frac{u}{a} \right)} + C = \frac{x}{2} \sqrt{100-x^2} + 50 \arcsin{ \left(\frac{x}{10} \right)} + C$

Por lo que el resultado final es

$\displaystyle \therefore \int{\sqrt{100-x^2} \ dx} = \frac{x}{2} \sqrt{100-x^2} + 50 \arcsin{\left(\frac{x}{10} \right)} + C$

$u^2 = x^2$	$a^2=4$
$u=x$	$a=2$
$du=dx$

$u^2=x^2$	$a^2=25$
$u=x$	$a=5$
$du=dx$

$u^2 = x^2$	$a^2=25$
$u=x$	$a=5$
$du=dx$

$u^2=x^2$	$a^2=25$
$u=x$	$a=5$
$du=dx$

$u^2=x^2$	$a^2=25$
$u=x$	$a=5$
$du=dx$

Solución de integrales indefinidas. Segunda parte. Cálculo integral.

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$u^2=x^2$	$a^2=100$
$u=x$	$a=10$
$du = dx$

Solución de integrales indefinidas. Segunda parte. Cálculo integral.

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