Método de integración por sustitución algebraica. Cálculo integral.

Primer método para aplicar el método de integración por sustitución algebraica

Si una integral implica una expresión de segundo grado de tres términos ( $ax^2 + bx + c$ ) o de dos términos ( $ax^2 + bx$ ), ésta puede reducirse a una expresión de dos términos ( $u^2 \pm a^2$ ) y ( $a^2 - u^2$ ) completando el cuadrado (sustitución algebraica).

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la siguiente integral: $\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2+16x-17}}$

Solución. Al tomar el denominador se tiene la expresión $x^2 + 16x + 3$ , lo cual, se debe transformar en un binomio al cuadrado

$\displaystyle x^2+16x-17 = x^2+16x-17+{(\frac{16}{2})}^{2} - {(\frac{16}{2})}^{2}$

$= x^2 + 16x - 17 + 8^2- 8^2 = x^2 + 16x - 17 + 64 - 64$

$= x^2 + 16x + 64 - 17 - 64 = (x^2 + 16x + 64) - 17 - 64 = (x+8)^2 - 81$

La nueva integral es

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2+16x+3}} = \int{\frac{dx}{{(x+8)}^2-81}}$

Cambiando variables equivalentes

Sustituyendo en la integral indefinida

$\displaystyle \int{\frac{dx}{{(x+8)}^{2}-81}} = \int{\frac{du}{u^2-a^2}}$

Esta última tiene su fórmula para que sea resuelta y es

$\displaystyle \int{\frac{du}{u^2-a^2}} = \frac{1}{2a} \ln{ \left(\frac{u-a}{u+a} \right) } + C$

Después

$\displaystyle \int{\frac{du}{u^2-a^2}} = \frac{1}{2a} \ln{ \left(\frac{u-a}{u+a} \right)} + C$

$\displaystyle = \frac{1}{2(9)} \ln{\left(\frac{x+8-9}{x+8+9} \right)} + C = \frac{1}{18} \ln{ \left(\frac{x-1}{x+17} \right)} + C$

Por lo tanto

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2+16x+3}} = \frac{1}{18} \ln{ \left(\frac{x-1}{x+17} \right)} + C$

Segundo método para aplicar el método de integración por sustitución algebraica

Cuando el integrando es una fracción cuyo numerador es una expresión de primer grado, mientras que el denominador es una expresión de segundo grado o la raíz cuadrada de tal expresión, la integral dada puede reducirse a una integral inmediata.

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la siguiente integral: $\displaystyle \int{\frac{(x+8) \ dx}{x^2+9}}$

Solución. Se desarrolla el término del numerador multiplicando el numerador de la integral por su diferencial.

$\displaystyle \int{\frac{(x+8) \ dx}{x^2+9}} = \int{\frac{x \ dx}{x^2+9}} + \int{\frac{8 \ dx}{x^2+9}}$

Como son dos integrales más, se procede a resolver la primera.

$\displaystyle \int{\frac{x \ dx}{x^2+9}}$

Por el método de sustitución

Sustituyendo

$\displaystyle \int{\frac{x \ dx}{x^2+9}} = \int{\frac{\frac{dz}{2}}{z}} = \frac{1}{2} \int{\frac{dz}{z}}$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \ln{z} = \frac{1}{2} \ln{(x^2+9)} + C = \ln{\sqrt{x^2+9}} + C$

Ahora, para la segunda integral

$\displaystyle \int{\frac{8 \ dx}{x^2+9}}$

También aplica el método de sustitución. Cambiando las variables

Sustituyendo

$\displaystyle 8\int{\frac{dx}{x^2+9}} = 8\int{\frac{du}{u^2+a^2}}$

Esta última tiene su fórmula para que sea resuelta y es

$\displaystyle \int{\frac{du}{u^2+a^2}} = \frac{1}{a} \arctan{ \left(\frac{u}{a} \right)} + C$

Entonces

$\displaystyle 8\int{\frac{du}{u^2+a^2}} = 8\frac{1}{a} \arctan{ \left(\frac{u}{a} \right)} + C$

$\displaystyle = 8 \left[\frac{1}{3} \arctan{ \left(\frac{x}{3} \right)} \right] + C = \frac{8}{3} \arctan{ \left(\frac{x}{3} \right)} + C$

Una vez determinando los resultados de cada integral, se sustituye y se obtiene el resultado final

$\displaystyle \int{\frac{(x+8) \ dx}{x^2+9}} = \int{\frac{x \ dx}{x^2+9}} + \int{\frac{8 \ dx}{x^2+9}}$

$\displaystyle = \ln{\sqrt{x^2+9}} + C + \frac{8}{3} \arctan{\left(\frac{x}{3} \right)} + C$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \int{\frac{(x+8)dx}{x^2+9}} = \ln{\sqrt{x^2+9}} + \frac{8}{3} \arctan{\left(\frac{x}{3}\right)} + C$

$u^2 = {(x+8)}^{2}$	$a^2=81$
$u = (x+8)$	$a=9$
$du=dx$

$\displaystyle u^2 = x^2$	$a^2=9$
$u=x$	$a=3$
$du=dx$

Método de integración por sustitución algebraica. Cálculo integral.

Primer método para aplicar el método de integración por sustitución algebraica

Problemas resueltos

Segundo método para aplicar el método de integración por sustitución algebraica

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