La integración por reducción (fórmulas de reducción), se aplica a integrales con funciones de exponentes normalmente enteros, pero elevado; buscando obtener una parte integrada y una parte sin integrar, en la que aparecerá la misma integral pero con estos exponentes disminuidos, se aplicará una fórmula que puede ir rebajando el exponente hasta llegar a integrales que se resuelven de forma directa (basado por el principio de solución de integrales indefinidas reducibles a inmediatas) (Coquillat, 1999, p. 196).

Existen diversas funciones en donde se puede aplicar como diferentes fórmulas de reducción. A continuación se muestran algunas de ellas:

No.Fórmula
1.\displaystyle \int{{\sin}^{m}{x} \ dx} = - \left(\frac{1}{m} \right) {\sin}^{m-1}{x} \cos{x} + \left(\frac{m-1}{m} \right) \int{{\sin}^{m-2}{x} \ dx}
2.\displaystyle \int{{\cos}^{m}{x} \ dx} = \left(\frac{1}{m} \right) {\cos}^{m-1}{x} \sin{x} + \left(\frac{m-1}{m} \right) \int{{\cos}^{m-2}{x} \ dx}
3.\displaystyle \int{{\csc}^{m}{x} \ dx} = - \left(\frac{1}{m-1} \right) \frac{\cos{x}}{{\sin}^{m-1}{x}} + \left(\frac{m-2}{m-1} \right) \int{{\csc}^{m-2}{x} \ dx}
4.\displaystyle \int{{\sec}^{m}{x} \ dx} = \left(\frac{1}{m-1} \right) \frac{\sin{x}}{{\cos}^{m-1}{x}} + \left(\frac{m-2}{m-1} \right) \int{{\sec}^{m-2}{x} \ dx}
5.\displaystyle \int{\frac{{\sin}^{m}{x}}{\cos{x}} \ dx} = - \left(\frac{1}{m-1} \right) {\sin}^{m-1}{x} + \int{\frac{{\sin}^{m-2}{x}}{\cos{x}} \ dx}
6.\displaystyle \int{\frac{{\cos}^{m}{x}}{\sin{x}} \ dx} = \left(\frac{1}{m-1} \right) {\cos}^{m-1}{x} + \int{\frac{{\cos}^{m-2}{x}}{\sin{x}} \ dx}
7.\displaystyle \int{\frac{dx}{{\sin}^{m}{x} \cos{x}}} = - \left(\frac{1}{m-1} \right) \left(\frac{1}{{\sin}^{m-1}{x}} \right) + \int{\frac{dx}{{\sin}^{m-2}{x} \cos{x}}}
8.\displaystyle \int{\frac{dx}{{\cos}^{m}{x} \sin{x}}} = \left(\frac{1}{m-1} \right) \left(\frac{1}{{\cos}^{m-1}{x}} \right) + \int{\frac{dx}{{\cos}^{m-2}{x} \sin{x}}}
9.\displaystyle \int{{\cos}^{n}{x} \cdot {\sin}^{m}{x} \ dx} = \left(\frac{1}{m+n} \right) {\cos}^{n-1}{x} {\sin}^{m+1}{x} + \left(\frac{n-1}{m+n} \right) \int{{\cos}^{n-2}{x} \cdot {\sin}^{m}{x} \ dx}
10.\displaystyle \int{{\cos}^{n}{x} \cdot {\sin}^{m}{x} \ dx} = \left(\frac{1}{m+n} \right) {\cos}^{n+1}{x} {\sin}^{m-1}{x} + \left(\frac{m-1}{m+n} \right) \int{{\cos}^{n}{x} \cdot {\sin}^{m-2}{x} \ dx}
11.\displaystyle \int{\frac{{\cos}^{n}{x}}{{\sin}^{m}{x}} \ dx} = - \left(\frac{1}{m-1} \right) \frac{{\cos}^{n+1}{x}}{{\sin}^{m-1}{x}} + \left(\frac{m-n-2}{m-1} \right) \int{\frac{{\cos}^{n}{x}}{{\sin}^{m-2}{x}} \ dx}
12.\displaystyle \int{{\tan}^{m}{x} \ dx} = \left(\frac{1}{m-1} \right) {\tan}^{m-1}{x} - \int{{\tan}^{m-2}{x} \ dx}
13.\displaystyle \int{{\cot}^{m}{x} \ dx} = - \left(\frac{1}{m-1} \right) {\cot}^{m-1}{x} - \int{{\cot}^{m-2}{x} \ dx}
14.\displaystyle \int{\left(\arcsin{x} \right)^{m} \ dx} = x \left(\arcsin{x} \right)^{m} + m\sqrt{1-x^2} \left(\arcsin{x} \right)^{m-1} - \left(m-1 \right)m \int{ \left(\arcsin{x} \right)^{m-2} \ dx}
15.\displaystyle \int{\left(\arccos{x} \right)^m \ dx} = x \left(\arccos{x} \right)^{m} - m\sqrt{1-x^2} \left(\arccos{x} \right)^{m-1} - \left(m-1 \right) m \int{ \left(\arccos{x} \right)^{m-2} \ dx}
16.\displaystyle \int{x^m \cos{x} \ dx} = x^m \sin{x} + mx^{m-1} \cos{x} - m(m-1) \int{x^{m-2} \cos{x} \ dx}
17.\displaystyle \int{x^m \sqrt{a+bx} \ dx} = \left[ \frac{2}{b(3+2m)} \right] x^m (a+bx)^{\frac{3}{2}} - \left[ \frac{2\cdot a \cdot m}{b(3+2m)} \right] \int{x^{m-1} \sqrt{a+bx} \ dx}
18.\displaystyle \int{(\log{x})^m \ dx} = x (\log{x})^m - m \int{(\log{x})^{m-1} \ dx}
19.\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^n}} = \frac{1}{2(n-1) a^2} \left[\frac{u}{(u^2+a^2)^{n-1}} + (2n-3) \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^{n-1}}} \right]

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la \displaystyle \int{\frac{dx}{(x^2+a^2)^3}}.

Solución. El integrando tiene una expresión de la forma \displaystyle \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n}, es decir,

\displaystyle \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n} = \frac{1}{(x^2+a^2)^3}

donde n=3. Para resolver esta integral, se utilizará la siguiente fórmula de reducción

\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^n}} = \frac{1}{2(n-1) a^2} \left[\frac{u}{(u^2+a^2)^{n-1}} + (2n-3) \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^{n-1}}} \right]

Sabiendo que n=3,

\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^3}} = \frac{1}{2(3-1) a^2} \left[\frac{u}{(u^2+a^2)^{3-1}} + [2(3)-3] \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^{3-1}}} \right]

\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^3}} = \frac{1}{2(2) a^2} \left[\frac{u}{(u^2+a^2)^{2}} + (6-3) \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^{2}}} \right]

\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^3}} = \frac{1}{4a^2} \left[\frac{u}{(u^2+a^2)^2} + 3 \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^2}} \right]

\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^3}} = \frac{u}{4a^2 (u^2+a^2)^2} + \frac{3}{4a^2} \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^2}}

y que u puede remplazarse por x

\displaystyle \int{\frac{dx}{(x^2+a^2)^3}} = \frac{x}{4a^2(x^2+a^2)^2} + \frac{3}{4a^2} \int{\frac{dx}{(x^2+a^2)^2}}

La integral del segundo miembro puede resolverse utilizando nuevamente la fórmula utilizada en un principio ahora con n=2. Es decir,

\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^2}} = \frac{1}{2(2-1) a^2} \left[\frac{u}{(u^2+a^2)^{2-1}} + [2(2)-3] \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^{2-1}}} \right]

\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^2}} = \frac{1}{2(1) a^2} \left[\frac{u}{(u^2+a^2)^{1}} + (4-3) \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^{1}}} \right]

\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^2}} = \frac{1}{2a^2} \left[\frac{u}{(u^2+a^2)} + \int{\frac{du}{u^2+a^2}} \right]

\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^2}} = \frac{u}{2a^2(u^2+a^2)} + \frac{1}{2a^2} \int{\frac{du}{u^2+a^2}}

sin olvidar que u puede remplazarse por x

\displaystyle \int{\frac{dx}{(x^2+a^2)^2}} = \frac{x}{2a^2(x^2+a^2)} + \frac{1}{2a^2} \int{\frac{dx}{x^2+a^2}}

Entonces

\displaystyle \int{\frac{dx}{(x^2+a^2)^3}} = \frac{x}{4a^2 (x^2+a^2)^2} + \frac{3}{4a^2} \left[ \frac{x}{2a^2(x^2+a^2)} + \frac{1}{2a^2} \int{\frac{dx}{x^2+a^2}} \right]

\displaystyle \int{\frac{dx}{(x^2+a^2)^3}} = \frac{x}{4a^2 (x^2+a^2)^2} + \frac{3x}{8a^4(x^2+a^2)} + \frac{3}{8a^4} \int{\frac{dx}{x^2+a^2}}

Al resolver la ultima integral del segundo miembro

\displaystyle \int{\frac{dx}{(x^2+a^2)^3}} = \frac{x}{4a^2 (x^2+a^2)^2} + \frac{3x}{8a^4(x^2+a^2)} + \frac{3}{8a^4} \left( \frac{1}{a} \arctan{\frac{x}{a}} \right) + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{(x^2+a^2)^3}} = \frac{x}{4a^2 (x^2+a^2)^2} + \frac{3x}{8a^4(x^2+a^2)} + \frac{3}{8a^5} \arctan{\left( \frac{x}{a} \right)} + C

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Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web.

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