Método de integración por fracciones parciales. Cálculo integral.

Introducción

Una función racional $R(x)$ se define como el cociente de dos funciones racionales enteras, es decir, funciones polinomiales en que la variable no está afectada por exponentes negativos o fraccionarios.

$\displaystyle R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \begin{matrix} \rightarrow \text{Funcion polinomial (numerador)} \\ \quad \rightarrow \text{Funcion polinomial (denominador)} \end{matrix}$

Si el grado del numerador $P(x)$ es igual o mayor que el del denominador $Q(x)$ , se tiene una fracción impropia (racional); entonces, se debe dividir el numerador entre el denominador, para obtener una expresión mixta (un polinomio y una fracción propia).

$\displaystyle \begin{matrix} \text{Fraccion impropia} \\ \text{o racional} \end{matrix} \ \left\{\frac{x^5-5x^3+7x^2-5}{x^3-8} \right. = \underbrace{\overbrace{x^2 - 5}^{\text{Polinomio}} + \overbrace{\frac{15x^2 - 45}{x^3-8}}^{\text{Fraccion propia}}}_{\text{Expresion mixta}}$

El último término es una función reducida (fracción propia) a su más simple expresión, en el cual el grado del numerador $P(x)$ es menor que el grado del denominador $Q(x)$ . Por último, debe integrarse término por término de la expresión mixta (integrar cada término del polinomio y la fracción propia).

Para integrar una expresión diferencial que contenga la fracción racional, por lo general es necesario escribirla como la suma de fracciones parciales. Los denominadores de las fracciones parciales se obtienen factorizando el denominador $Q(x)$ como un producto de factores lineales y cuadráticos; lo anterior es siempre posible si se aplica el siguiente teorema algebraico:

«Todos los polinomios con coeficientes reales puede ser expresado como un producto de factores lineales y cuadráticos, de manera de que cada uno de los factores tenga coeficiente reales.»

Caso 1. Los factores del denominador son todos del primer grado (lineales), y ninguno se repite.

En este caso, se tiene una descomposición en fracciones parciales de la forma:

$\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{(x - a_1)} + \frac{B}{(x-a_2)} + \frac{C}{(x -a_3)} + ... + \frac{K}{(x - a_i)}$

Aquí no debe haber dos $a_i$ idénticas, y $A$ , $B$ , $C$ , …, $K$ , son constantes que van a ser determinadas. Se hace notar que el número de constantes por terminar es igual al gado del denominador.

Problema. Resolver la siguiente integral indefinida $\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2-9}}$

Solución. De la expresión del integrando, se descompone la función polinomial del denominador

$\displaystyle \frac{1}{x^2-9} = \frac{1}{(x+3)(x-3)}$

$\displaystyle \frac{1}{(x+3)(x-3)} = \frac{A}{(x+3)} + \frac{B}{(x-3)}$

Esta descomposición en fracciones parciales generó dos coeficientes, $A$ y $B$ , ya que el grado del polinomio del denominador es 2. Se procede al hallazgo de esos coeficientes

$\displaystyle \frac{1}{(x+3)(x-3)} = \frac{A}{(x+3)} + \frac{B}{(x-3)}$

$\displaystyle 1 = \frac{A}{(x+3)} \cdot (x+3) (x-3) + \frac{B}{(x-3)} \cdot (x+3) (x-3)$

$\displaystyle 1 = A(x-3) + B(x+3)$

$\displaystyle 1 = Ax - 3A + Bx + 3B$

$\displaystyle 1 = (A+B)x + (-3A+3B)$

Se tiene un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, por lo que se tiene que resolver

De la primera ecuación, se despeja $A$

$A = -B$

Sustituyendo el despeje de la primera ecuación en la segunda ecuación, se puede hallar el valor de $B$

$\displaystyle -3A + 3B = 1$

$\displaystyle 3(-A) + 3B = 1$

$\displaystyle 3B + 3B = 1$

$\displaystyle 6B = 1$

$\displaystyle B = \frac{1}{6}$

Regresando al despeje de la primera ecuación y sustituyendo el valor equivalente

$\displaystyle A=-B$

$\displaystyle A = -\frac{1}{6}$

Entonces, sustituyendo el valor equivalente de los coeficientes $A$ y $B$

$\displaystyle \frac{1}{(x+3)(x-3)} = \frac{A}{(x+3)} + \frac{B}{(x-3)} = \frac{-\frac{1}{6}}{x+3} + \frac{\frac{1}{6}}{x-3}$

Regresando un poco más

$\displaystyle \frac{1}{x^2-9} = \frac{1}{(x+3)(x-3)}$

$\displaystyle \frac{1}{x^2-9} = \frac{-\frac{1}{6}}{x+3} + \frac{\frac{1}{6}}{x-3}$

Así que, de la integral del problema, su expresión mixta es

$\displaystyle \int{\frac{1}{x^2-9} dx} = \int{\left(\frac{-\frac{1}{6}}{x+3} + \frac{\frac{1}{6}}{x-3} \right) dx}$

$\displaystyle \int{\frac{1}{x^2-9} dx} = \int{\frac{-\frac{1}{6}}{x+3} dx} + \int{\frac{\frac{1}{6}}{x-3} dx}$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2-9}} = -\frac{1}{6} \int{\frac{dx}{x+3}} + \frac{1}{6} \int{\frac{dx}{x-3}}$

Ambas integrales tienen términos similares, por lo que se puede aplicar el método de sustitución. En la primera integral

Continuando

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x+3}} = \int{\frac{dz}{z}}= \ln{z}+C = \ln{(x+3)}+C$

Y en la segunda integral

donde su resultado es

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x-3}} = \int{\frac{dw}{w}}= \ln{w}+C = \ln{(x-3)}+C$

Regresando y sustituyendo

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2-9}} = -\frac{1}{6} \int{\frac{dx}{x+3}} + \frac{1}{6} \int{\frac{dx}{x-3}}$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2-9}} = -\frac{1}{6} \ln{(x+3)} + \frac{1}{6} \ln{(x-3)} + C$

Aplicando propiedad de los logaritmos

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2-9}} = \frac{1}{6} \ln{\left|\frac{x-3}{x-3}\right|} + C$

Finalmente, el resultado es

$\displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{x^2-9}} = \frac{1}{6} \ln{\left|\frac{x-3}{x-3}\right|} + C$

Caso 2. Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales), y algunos se repiten.

En este caso, el factor $(x-a_1)$ que se repite $n$ veces, corresponde a la suma de $n$ fracciones parciales de la forma:

$\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{{(x-a_1)}^n} + \frac{B}{{(x-a_1)}^{n-1}} + \frac{C}{{(x-a_1)}^{n-2}} + ... + \frac{K}{(x-a_1)}$

Problema. Resolver la siguiente integral $\displaystyle \int{\frac{x^2}{{(x-1)}^{3}} dx}$

Solución. De la expresión del integrando, se descompone la función polinomial del denominador

$\displaystyle \frac{x^2}{(x-1)^3} = \frac{A}{(x-3)^3} + \frac{B}{(x-3)^2} + \frac{C}{(x-3)}$

Esta descomposición en fracciones parciales generó dos coeficientes, $A$ , $B$ y $C$ , ya que el grado del polinomio del denominador es 3. Se procede al hallazgo de esos coeficientes

$\displaystyle \frac{x^2}{(x-1)^3} = \frac{A}{(x-3)^3} + \frac{B}{(x-3)^2} + \frac{C}{(x-3)}$

$\displaystyle x^2 = \frac{A}{(x-3)^3} \cdot (x-1)^3 + \frac{B}{(x-3)^2} \cdot (x-1)^3 + \frac{C}{(x-3)} \cdot (x-1)^3$

$\displaystyle x^2 = A + B(x-1) + C(x-1)^2$

$\displaystyle x^2 = A + B(x-1) + C(x^2-2x+1)$

$\displaystyle x^2 = A + Bx - B + Cx^2 - 2Cx + C$

$\displaystyle x^2 = (C) x^2 + (B-2C)x + (A-B+C)$

Y se obtiene un sistema de ecuaciones con tres incógnitas

Resolviendo este sistema, se muestra que en la primera ecuación

$C=1$

En la segunda ecuación se puede determinar el valor de $B$

$B-2C=0$

$B-2(1)=0$

$B-2=0$

$B=2$

Y en la tercera ecuación, puede hallarse el valor de $A$

$A-B+C=0$

$A-2+1=0$

$A-1=0$

$A=1$

Sustituyendo los valores equivalentes de los coeficientes en cada término

$\displaystyle \frac{x^2}{(x-1)^3} = \frac{A}{(x-3)^3} + \frac{B}{(x-3)^2} + \frac{C}{(x-3)}$

$\displaystyle \frac{x^2}{(x-1)^3} = \frac{1}{(x-1)^3} + \frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{(x-1)}$

Regresando a la integral del problema

$\displaystyle \int{\frac{x^2}{(x-1)^3} \ dx} = \int{\left[\frac{1}{(x-1)^3} + \frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{(x-1)} \right] \ dx}$

$\displaystyle \int{\frac{x^2}{(x-1)^3} \ dx} = \int{\frac{dx}{(x-1)^3}} + 2\int{\frac{dx}{(x-1)^2}} + \int{\frac{dx}{(x-1)}}$

Por el término $(x-1)$ en cada integral, puede utilizarse el método de sustitución directamente. Para ello,

Entonces

$\displaystyle \int{\frac{x^2}{(x-1)^3} dx} = \int{\frac{dx}{(x-1)^3}} + 2\int{\frac{dx}{(x-1)^2}} + \int{\frac{dx}{(x-1)}}$

$\displaystyle \int{\frac{x^2}{(x-1)^3} dx} = \int{\frac{dz}{z^3}} + 2\int{\frac{dz}{z^2}} + \int{\frac{dz}{z}}$

$\displaystyle \int{\frac{x^2}{(x-1)^3} dx} = \int{z^{-3} dz} + 2 \int{z^{-2} dz} + \int{\frac{dz}{z}}$

Estas dos primeras integrales son idénticas y su fórmula equivalentes es

$\displaystyle \int{v^n \ dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C$

Y en la última integral, su fórmula equivalente es

$\displaystyle \int{\frac{dv}{v}} = \ln{v} + C$

Por lo que

$\displaystyle \int{\frac{x^2}{(x-1)^3} dx} = \frac{z^{-3+1}}{-3+1} + 2 \left(\frac{z^{-2+1}}{-2+1} \right) + \ln{z} + C$

$\displaystyle \int{\frac{x^2}{(x-1)^3} dx} = \frac{z^{-2}}{-2} + 2 \left(\frac{z^{-1}}{-1} \right) + \ln{z} + C$

$\displaystyle \int{\frac{x^2}{(x-1)^3} dx} = -\frac{1}{2} z^{-2} - 2z^{-1} + \ln{z} + C$

Recordando que $z=x-1$

$\displaystyle \int{\frac{x^2}{(x-1)^3} dx} = -\frac{1}{2} z^{-2} - 2z^{-1} + \ln{z} + C$

$\displaystyle \int{\frac{x^2}{(x-1)^3} dx} = -\frac{1}{2} (x-1)^{-2} - 2(x-1)^{-1} + \ln{|x-1|} + C$

$\displaystyle \int{\frac{x^2}{(x-1)^3} dx} = - \frac{1}{2(x-1)^2} - \frac{2}{(x-1)} + \ln{|x-1|} + C$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int{\frac{x^2}{(x-1)^3} dx} = -\frac{1}{2(x-1)^2} - \frac{2}{(x-1)} + \ln{|x-1|} + C$

Caso 3. Los factores del denominador son lineales y cuadráticos (primer y segundo grado) y ninguno de los factores cuadráticos se repiten.

En este caso, a todo factor cuadrático $x^2 + px + q$ , no repetido en el denominador, le corresponde una fracción parcial de la forma

$\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{Ax+B}{x^2+px+q}$

El método para integrar expresiones de esta forma consiste en reducir la integral a una integral inmediata por sustitución algebraica (primero o segundo método).

Problema. Resolver la integral $\displaystyle \int{\frac{dx}{x^3+x}}$

Solución. De la expresión del integrando, se descompone la función polinomial del denominador

$\displaystyle \frac{1}{x^3+x} = \frac{1}{x(x^2+1)}$

$\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

Esta descomposición en fracciones parciales generó tres coeficientes, $A$ , $B$ y $C$ . Se procede al hallazgo de esos coeficientes

$\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

$\displaystyle 1 = \frac{A}{x} \cdot x (x^2+1) + \frac{Bx+C}{(x^2+1)} \cdot x (x^2+1)$

$\displaystyle 1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x = Ax^2+A+Bx^2+Cx$

$\displaystyle 1 = (A+B) x^2+(C)x+A$

Mediante este sistema de ecuaciones con tres incógnitas

Se observa que en la tercera ecuación, el valor de $A$ es

$\displaystyle A=1$

Y en la segunda ecuación, el valor de $C$ es

$\displaystyle C=0$

En la primera ecuación ya es posible determinar el valor de $B$

$\displaystyle A+B=0$

$\displaystyle 1+B=0$

$\displaystyle B=-1$

Sustituyendo los valores de los coeficientes equivalentes

$\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

$\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} + \frac{-x+0}{(x^2+1)}$

$\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}$

Entonces

$\displaystyle \frac{1}{x^3+x} = \frac{1}{x(x^2+1)}$

$\displaystyle \frac{1}{x^3+x} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}$

Regresando a la integral del problema

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^3+x}} = \int{\left(\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1} \right) \ dx}$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^3+x}} = \int{\frac{dx}{x}} - \int{\frac{x}{x^2+1} dx}$

El resultado de la primera integral es

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x}} = \ln{x} + C$

En la segunda integral, se utiliza el método de sustitución

Continuando

$\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1} \ dx} = \int{\frac{x \ dx}{x^2+1}}$

$\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1} \ dx} = \int{\frac{\frac{dz}{2}}{z}} = \frac{1}{2} \int{\frac{dz}{z}} = \frac{1}{2} \ln{z}$

$\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1} \ dx} = \frac{1}{2} \ln{(x^2+1)} + C$

Sustituyendo los resultados

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^3+x}} = \int{\frac{dx}{x}} - \int{\frac{x}{x^2+1} dx}$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^3+x}} = \ln{x} - \frac{1}{2} \ln{(x^2+1)} + C$

Usando propiedades de los logaritmos

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^3+x}} = \ln{x} - \ln{(x^2+1)^{1/2}} + C$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^3+x}} =\ln{x} - \ln{\sqrt{x^2+1}} + C$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^3+x}} = \ln{\left|\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right|} + C$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{x^3+x}} = \ln{\left|\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right|} + C$

Caso 4. Los factores del nominador son lineales y cuadráticos (primeros y segundos grados) y algunos de los factores cuadráticos se repiten.

En este caso, a todo factor cuadrático $x^2 + px+ q$ que se repite $n$ veces le corresponderá la suma de $n$ fracciones parciales, de la forma:

$\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n} + \frac{Cx+D}{(x^2+px+q)^{n-1}} + ... + \frac{Kx+L}{(x^2+px+q)}$

El método para integrar expresiones de esta forma consiste en reducir integral a una integral inmediata por sustitución trigonométrica. También se recomienda el uso de la siguiente fórmula

$\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^n}} = \frac{1}{2(n-1) a^2} \left[\frac{u}{(u^2+a^2)^{n-1}} + (2n-3) \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^{n-1}}} \right]$

Esta expresión representa la fórmula de reducción directa.

Problema. Resolver la siguiente integral $\displaystyle \int{\frac{18 \ dt}{(4t^2+9)^2}}$

Solución. Se realizará el método de sustitución

$\displaystyle \int{\frac{18 \ dt}{(4t^2+9)^2}} = 18\int{\frac{dt}{(4t^2+9)^2}}$

Para resolver este problema, se utilizará la fórmula de reducción directa. Por lo que, se tienen lo siguiente

Utilizando la sustitución

$\displaystyle \int{\frac{18 \ dt}{(4t^2+9)^2}} = 18\int{\frac{dt}{(4t^2+9)^2}}$

$\displaystyle \int{\frac{18 \ dt}{(4t^2+9)^2}} = 18 \int{\frac{\frac{du}{2}}{(u^2+a^2)^2}}$

$\displaystyle \int{\frac{18 \ dt}{(4t^2+9)^2}} = \frac{18}{2} \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^2}}$

$\displaystyle \int{\frac{18 \ dt}{(4t^2+9)^2}} = 9 \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^2}}$

La potencia que acompaña el término $(u^2+a^2)$ es 2, por lo que $n=2$ . Recordando la fórmula de reducción

$\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^n}} = \frac{1}{2(n-1) a^2} \left[ \frac{u}{(u^2+a^2)^{n-1}} + (2n-3) \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^{n-1}}} \right]$

Se sabe que $n=2$

$\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^2}} = \frac{1}{2 (2-1) a^2} \left[ \frac{u}{(u^2+a^2)^{2-1}} + [2(2)-3] \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^{2-1}}} \right]$

$\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^2}} = \frac{1}{2(1) a^2} \left[ \frac{u}{(u^2+a^2)^{1}} + (4-3) \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^1}} \right]$

$\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^2}} = \frac{1}{2a^2} \left[ \frac{u}{(u^2+a^2)} + \int{\frac{du}{(u^2+a^2)}} \right]$

Resolviendo la segunda integral

$\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^2}} = \frac{1}{2a^2} \left[ \frac{u}{(u^2+a^2)} + \frac{1}{a} \arctan{\left(\frac{u}{a} \right)} + C \right]$

Multiplicando el término $\displaystyle \frac{1}{2a^2}$ por todo lo que está dentro del corchete, resulta

$\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^2}} = \frac{1}{2a^2} \cdot \frac{u}{(u^2+a^2)} + \frac{1}{2a^2} \cdot \frac{1}{a} \arctan{\left(\frac{u}{a} \right)} + C$

$\displaystyle \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^2}} = \frac{u}{2a^2 (u^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3} \arctan{\left(\frac{u}{a} \right)} + C$

Regresando a la integral en donde se aplicó el cambio de variable y sustituyendo por su equivalente, se tiene que

$\displaystyle \int{\frac{18 \ dt}{(4t^2+9)^2}} = 9 \int{\frac{du}{(u^2+a^2)^2}}$

$\displaystyle \int{\frac{18 \ dt}{(4t^2+9)^2}} = 9 \left[\frac{u}{2a^2 (u^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3} \arctan{\left(\frac{u}{a} \right)} + C \right]$

$\displaystyle \int{\frac{18 \ dt}{(4t^2+9)^2}} = \frac{9u}{2a^2 (u^2+a^2)} + \frac{9}{2a^3} \arctan{\left(\frac{u}{a} \right)} + C$

Recordando el resto de las variables y sustituyéndolas en último resultado, se observa que

$\displaystyle \int{\frac{18 \ dt}{(4t^2+9)^2}} = \frac{9(2t)}{2(9) (4t^2+9)} + \frac{9}{2(3)^3} \arctan{ \left(\frac{2t}{3} \right)}+ C$

$\displaystyle \int{\frac{18 \ dt}{(4t^2+9)^2}} = \frac{t}{(4t^2+9)} + \frac{1}{6} \arctan{ \left(\frac{2t}{3} \right)}+ C$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \int{\frac{18 \ dt}{(4t^2+9)^2}} = \frac{t}{(4t^2+9)} + \frac{1}{6} \arctan{ \left(\frac{2t}{3} \right)}+ C$

$u^2 = 4t^2$	$a^2=9$
$u=2t$	$a=3$
$\displaystyle \frac{du}{dt} = 2$
$\displaystyle \frac{du}{2} = dt$

Método de integración por fracciones parciales. Cálculo integral.

Introducción

Caso 1. Los factores del denominador son todos del primer grado (lineales), y ninguno se repite.

Caso 2. Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales), y algunos se repiten.

Caso 3. Los factores del denominador son lineales y cuadráticos (primer y segundo grado) y ninguno de los factores cuadráticos se repiten.

Caso 4. Los factores del nominador son lineales y cuadráticos (primeros y segundos grados) y algunos de los factores cuadráticos se repiten.

Publicado por Cesar Reyes

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Método de integración por fracciones parciales. Cálculo integral.

Introducción

Caso 1. Los factores del denominador son todos del primer grado (lineales), y ninguno se repite.

Caso 2. Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales), y algunos se repiten.

Caso 3. Los factores del denominador son lineales y cuadráticos (primer y segundo grado) y ninguno de los factores cuadráticos se repiten.

Caso 4. Los factores del nominador son lineales y cuadráticos (primeros y segundos grados) y algunos de los factores cuadráticos se repiten.

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