Método de integración por el método de Hermite. Cálculo integral.

Introducción

Sea $R(x)$ una función racional $\displaystyle R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ donde la función polinomial del denominador $Q(x)$ , al igualarlo a cero ( $Q(x)=0$ ) se desarrollarían las siguientes raíces: $x=a_1$ como una raíz real simple, $x=a_2$ como una raíz real múltiple con un orden de multiplicidad igual a dos), $x=a+bi$ o $x=a-bi$ como raíces imaginarias simples, y $x=c+di$ o $x=c-di$ como raíces múltiples con orden de multiplicidad igual a dos.

Para poder resolver este tipo de casos, primero $Q(x)$ debe descomponerse factorialmente de la siguiente manera

$\displaystyle Q(x) = a_0 (x-a_1 )(x-a_2 )^2 \left\{[(x-a)^2+b^2][(x-c)^2+d^2] \right\}^2$

donde $a_0$ es el coeficiente numérico del término de mayor grado de $Q(x)$ . Ahora, sustituyendo en la función racional

$\displaystyle R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

$\displaystyle R(x) = \frac{P(x)}{a_0 (x-a_1 )(x-a_2)^2 \left\{[(x-a)^2+b][(x-c)^2+d^2 ] \right\}^2}$

Para aplicar la descomposición de Hermite en una función racional

Primero las raíces simples se deben descomponer como un coeficiente indeterminado (es decir, asignar una letra del alfabeto en mayúscula) partido por $x$ menos la raíz.
Después, las raíces múltiples se deben descomponer como si fueran simples (sin importar su grado de multiplicidad o valor de la potencia asignada por el problema).
Luego, las raíces imaginarias simples se debe descomponer de tal manera que el polinomio de primer grado en $x$ quede en coeficientes indeterminados, partido por el polinomio de segundo grado que engloba en la descomposición factorial a la raíz imaginaria y su conjugada.
Más tarde, las raíces imaginarias múltiples se deben descomponer como si fueran simples (sin importar su grado de multiplicidad o valor de la potencia asignada por el problema).
Por último, el último término característico de esta descomposición de Hermite es: la derivada indicada con respecto a la variable independiente (que en este caso es $x$ ) de un cociente donde primero se colocará el denominador, el cual será representada como el producto de las expresiones en la descomposición factorial de las raíces reales múltiples y las raíces imaginarias múltiples, elevadas a exponentes que son sus grados de multiplicidad respectivos menor uno (es decir, si el grado de multiplicidad es de 4, el exponente debe de ser 3); en el numerador será un polinomio en $x$ , completo de coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio que hubiere resultado en el denominador.

Con estos puntos mencionados, el procedimiento sería de la siguiente manera

$\displaystyle \displaystyle R(x) = \frac{1}{a_0} \left\{ \frac{P(x)}{(x-a_1 )(x-a_2)^2 \left\{[(x-a)^2+b][(x-c)^2+d^2 ] \right\}^2} \right\}$

$\displaystyle R(x) = \frac{1}{a_0} \left\{ \frac{A}{(x-a_1)} + \frac{B}{(x-a_2)} + \frac{Cx+D}{(x-a)^2+b^2} + \frac{Ex+F}{(x-c)^2+d^2} + \frac{d}{dx} \left[\frac{H(x)}{ (x-a_2) [(x-c)^2+d]} \right] \right\}$

La aplicación del método de Hermite se basa en los siguientes pasos:

Descomponer las raíces (ya sean raíces simples, múltiples, raíces imaginarias simples o raíces imaginarias múltiples) en donde el coeficiente a determinar tiene la variable independiente un grado menor de que conlleva el polinomio del denominador (expresado en la función racional).
Se deriva a continuación este último término con respecto a la variable independiente.
Se expresan ambos términos con un común denominador que será siempre $Q(x)$ .
Se multiplican ambos miembros por $Q(x)$ .
Se calculan los coeficientes indeterminados.
Se integra en la expresión de la descomposición inicial.

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la integral $\displaystyle \int{\frac{dx}{(9+x^2)^2}}$

Solución. Analizando el integrando, el término de función polinomial, $(9+x^2)^2$ al igualrlo a cero, tiene raíces imaginarias dobles, que son $x=3i$ y $x=-3i$ . Aplicando la descomposición por el método de Hermite

$\displaystyle \frac{1}{(9+x^2 )^2} = \frac{Ax+B}{(9+x^2)} + \frac{d}{dx} \left[ \frac{Cx+D}{(9+x^2)^{2-1}} \right]$

$\displaystyle \frac{1}{(9+x^2)^2} = \frac{Ax+B}{9+x^2} + \frac{d}{dx} \left[ \frac{Cx+D}{9+x^2} \right]$

$\displaystyle \frac{1}{(9+x^2 )^2} = \frac{Ax+B}{9+x^2} + \frac{C(9+x^2 ) - (Cx+D)2x}{(9+x^2 )^2}$

$\displaystyle 1 = \frac{Ax+B}{9+x^2} \cdot (9+x^2)^2 + \left[\frac{C(9+x^2 ) - (Cx+D)2x}{(9+x^2 )^2} \right] (9+x^2)^2$

$\displaystyle 1 = (Ax+B)(9+x^2 ) + C(9+x^2 ) - (Cx+D)2x$

$\displaystyle 1 = Ax^3 + (B-C) x^2 + (9A+2D)x + (9B+9C)$

Las ecuaciones obtenidas son

Resolviendo cada una de ellas

$A=0$ , $\displaystyle B=\frac{1}{18}$ , $\displaystyle C=\frac{1}{18}$ , $\displaystyle D=0$

Sustituyendo el valor de cada coeficiente en la descomposición realizada anteriormente, resulta que

$\displaystyle \frac{1}{(9+x^2)^2} = \frac{Ax+B}{(9+x^2)} + \frac{d}{dx} \left[ \frac{Cx+D}{(9+x^2)} \right]$

$\displaystyle \frac{1}{(9+x^2)^2} = \frac{\frac{1}{18}}{(9+x^2)} + \frac{d}{dx} \left[ \frac{\frac{1}{18} x}{(9+x^2)} \right]$

Regresando a la integral del problema

$\displaystyle \int{\frac{dx}{(9+x^2)^2}} = \int{\frac{\frac{1}{18}}{(9+x^2)} dx} + \int{\frac{d}{dx} \left[\frac{\frac{1}{18} x}{(9+x^2)} \right] dx}$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{(9+x^2)^2}} = \int{\frac{\frac{1}{18}}{(9+x^2)} dx} + \frac{\frac{1}{18} x}{(9+x^2)}$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{(9+x^2)^2}} = \frac{1}{18} \int{\frac{dx}{(9+x^2)}} + \frac{x}{18(9+x^2)}$

La primera integral es equivalente a

$\displaystyle \int{\frac{du}{u^2+a^2}} = \frac{1}{a} \arctan{ \left(\frac{u}{a} \right)} + C$

Por lo que se observa que $u^2=x^2$ y $a^2=9$ . Continuando

$\displaystyle \int{\frac{dx}{(9+x^2)^2}} = \frac{1}{18} \left[ \frac{1}{3} \arctan{ \left(\frac{x}{3} \right)} \right] + \frac{x}{18(9+x^2)} + C$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{(9+x^2)^2}} = \frac{1}{54} \arctan{ \left(\frac{x}{3} \right)} + \frac{x}{18(9+x^2)} + C$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{(9+x^2)^2}} = \frac{1}{54} \arctan{ \left(\frac{x}{3} \right)} + \frac{x}{18 \left(9+x^2 \right)} + C$

Problema 2. Resolver la integral de $\displaystyle \int{\frac{x^2-2}{x^3 (x^2+1)^2} \ dx}$

Solución. Analizando el integrando, los términos del denominador, se observa que $x^3$ al igualarlo a cero, tiene raíces reales triples, que es $x=0$ y para $(x^2+1)^2$ tiene raíces imaginarias dobles. Aplicando la descomposición por el método de Hermite

$\displaystyle \frac{x^2-2}{x^3 (x^2+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} + \frac{d}{dx} \left[ \frac{Dx^3+Ex^2+Fx+G}{x^{3-1} (x^2+1)^{2-1}} \right]$

$\displaystyle \frac{x^2-2}{x^3 (x^2+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} + \frac{d}{dx} \left[ \frac{Dx^3+Ex^2+Fx+G}{x^{2} (x^2+1)^{1}} \right]$

$\displaystyle \frac{x^2-2}{x^3 (x^2+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} + \frac{d}{dx} \left[ \frac{Dx^3+Ex^2+Fx+G}{x^2 (x^2+1)} \right]$

$\displaystyle \frac{x^2-2}{x^3 (x^2+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} + \frac{x^2(x^2+1) (3Dx^2+2Ex+F) - [2x(x^2+1) + x^2(2x)](Dx^3+Ex^2+Fx+G)}{[x^2 (x^2+1)]^2}$

$\displaystyle \frac{x^2-2}{x^3 (x^2+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} + \frac{(x^4+x^2) (3Dx^2+2Ex+F) - (2x^3+2x + 2x^3)(Dx^3+Ex^2+Fx+G)}{x^4 (x^2+1)^2}$

$\displaystyle \frac{x^2-2}{x^3 (x^2+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} + \frac{(x^4+x^2) (3Dx^2+2Ex+F) - (4x^3+2x)(Dx^3+Ex^2+Fx+G)}{x^4 (x^2+1)^2}$

$\displaystyle x^2-2 = \frac{A}{x}\cdot x^3 (x^2+1)^2 + \frac{Bx+C}{x^2+1} \cdot x^3 (x^2+1)^2 + \frac{(x^4+x^2) (3Dx^2+2Ex+F) - (4x^3+2x)(Dx^3+Ex^2+Fx+G)}{x^4 (x^2+1)^2} \cdot x^3 (x^2+1)^2$

$\displaystyle x^2-2 = Ax^2(x^2+1)^2 + (Bx+C)x^3 (x^2+1) + \frac{(x^4+x^2) (3Dx^2+2Ex+F) - (4x^3+2x)(Dx^3+Ex^2+Fx+G)}{x}$

$\displaystyle x^2-2 = Ax^2(x^4+2x^2+1) + (Bx+C)(x^5+x^3) + [(x^3+x) (3Dx^2+2Ex+F) - (4x^2+2)(Dx^3+Ex^2+Fx+G)]$

$\displaystyle x^2-2 = Ax^6+2Ax^4+Ax^2 + Bx^6+Cx^5 + Bx^4 + Cx^3 + [3Dx^5 + 2Ex^4 + Fx^3 + 3Dx^3+2Ex^2+Fx - (4Dx^5 + 4Ex^4 + 4Fx^3 + 4Gx^2 + 2Dx^3 + 2Ex^2 + 2Fx + 2G)]$

$\displaystyle x^2-2 = Ax^6 + 2Ax^4 + Ax^2 + Bx^6+Cx^5 + Bx^4 + Cx^3 + (3Dx^5 + 2Ex^4 + Fx^3 + 3Dx^3+2Ex^2+Fx - 4Dx^5 - 4Ex^4 - 4Fx^3 - 4Gx^2 - 2Dx^3 - 2Ex^2 - 2Fx - 2G)$

$\displaystyle x^2-2 = Ax^6 + 2Ax^4 + Ax^2 + Bx^6+Cx^5 + Bx^4 + Cx^3 + (-Dx^5 - 2Ex^4 - 3Fx^3 + Dx^3-Fx - 4Gx^2 - 2G)$

$\displaystyle x^2-2 = Ax^6 + 2Ax^4 + Ax^2 + Bx^6+Cx^5 + Bx^4 + Cx^3 -Dx^5 - 2Ex^4 - 3Fx^3 + Dx^3-Fx - 4Gx^2 - 2G$

$\displaystyle x^2-2 = (A+B)x^6 + (C -D)x^5 + (2A + B - 2E)x^4 + (C - 3F + D)x^3 + (A- 4G)x^2 - Fx - 2G$

Por el método de igualación, las ecuaciones son

Al resolver este sistema de ecuaciones, se tienen los siguientes valores de cada coeficiente

$A=5$ , $B=-5$ , $C=0$ $D=0$ , $\displaystyle E=\frac{5}{2}$ , $F=0$ y $G=1$

Una vez calculado los valores de los coeficientes, se sustituyen en la descomposición de Hermite antes de desarrollar.

$\displaystyle \frac{x^2-2}{x^3 (x^2+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} + \frac{d}{dx} \left[ \frac{Dx^3+Ex^2+Fx+G}{x^2 (x^2+1)} \right]$

$\displaystyle \frac{x^2-2}{x^3 (x^2+1)^2} = \frac{5}{x} + \frac{-5x+0}{x^2+1} + \frac{d}{dx} \left[ \frac{0x^3+\frac{5}{2}x^2+0x+1}{x^2 (x^2+1)} \right]$

$\displaystyle \frac{x^2-2}{x^3 (x^2+1)^2} = \frac{5}{x} - \frac{5x}{x^2+1} + \frac{d}{dx} \left[ \frac{\frac{5}{2}x^2+1}{x^2 (x^2+1)} \right]$

Regresando a la integral del problema y cambiando la función racional en una expresión mixta, resulta lo siguiente

$\displaystyle \int{\frac{x^2-2}{x^3 (x^2+1)^2} \ dx} = \int{\left\{ \frac{5}{x} - \frac{5x}{x^2+1} + \frac{d}{dx} \left[ \frac{\frac{5}{2}x^2+1}{x^2 (x^2+1)} \right] \right\} \ dx}$

$\displaystyle \int{\frac{x^2-2}{x^3 (x^2+1)^2} \ dx} = \int{\frac{5}{x} \ dx} - \int{\frac{5x}{x^2+1} \ dx} + \int{\frac{d}{dx} \left[ \frac{\frac{5}{2}x^2+1}{x^2 (x^2+1)} \right] \ dx}$

$\displaystyle \int{\frac{x^2-2}{x^3 (x^2+1)^2} \ dx} = 5 \int{\frac{dx}{x}} - 5 \int{\frac{x \ dx}{x^2+1}} + \left[ \frac{\frac{5}{2}x^2+1}{x^2 (x^2+1)} \right]$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore \int{\frac{x^2-2}{x^3 (x^2+1)^2} \ dx} = 5 \ln{x} - \frac{5}{2} \ln{x^2+1} + \frac{\frac{5}{2}x^2+1}{x^2 (x^2+1)} + C$

Problema 3. Hallar la $\displaystyle \int{\frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} \ dx}$

Solución. Analizando el integrando, los términos del denominador, se observa que ${(x^2+x+1)}^2$ al igualarlo a cero, tiene raíces imaginarias dobles, que es $\displaystyle x=-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i$ y para $(x-1)$ tiene raíz real simple, la cual es $x=1$ . Aplicando la descomposición por el método de Hermite

$\displaystyle \frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} = \frac{Ax+B}{(x^2+x+1)} + \frac{C}{(x-1)} + \frac{d}{dx} \left[\frac{Dx+E}{{(x^2+x+1)}^{2-1} (x-1)^{1-1}} \right]$

$\displaystyle \frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} = \frac{Ax+B}{(x^2+x+1)} + \frac{C}{(x-1)} + \frac{d}{dx} \left[\frac{Dx+E}{{(x^2+x+1)}^1 (x-1)^0} \right]$

$\displaystyle \frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} = \frac{Ax+B}{(x^2+x+1)} + \frac{C}{(x-1)} + \frac{d}{dx} \left[\frac{Dx+E}{{(x^2+x+1)}} \right]$

$\displaystyle \frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} = \frac{Ax+B}{(x^2+x+1)} + \frac{C}{(x-1)} + \frac{(x^2+x+1)(D) - (2x+1)(Dx+E)}{{(x^2+x+1)}^2}$

$\displaystyle x-2 = \frac{Ax+B}{(x^2+x+1)} \cdot {(x^2+x+1)}^2 (x-1) + \frac{C}{(x-1)} \cdot {(x^2+x+1)}^2 (x-1) + \left[ \frac{(x^2+x+1)(D) - (2x+1)(Dx+E)}{{(x^2+x+1)}^2} \right] \cdot {(x^2+x+1)}^2 (x-1)$

$\displaystyle x-2 = (Ax+B) (x^2+x+1) (x-1) + C {(x^2+x+1)}^2 + \left[ (x^2+x+1)(D) - (2x+1)(Dx+E) \right] (x-1)$

$\displaystyle x-2 = (Ax+B) (x^3+x^2+x-x^2-x-1) + C (x^4+x^2+1+2x^3+2x^2+2x) + \left[ (Dx^2+Dx+D) - (2Dx^2+Dx+2Ex+E) \right] (x-1)$

$\displaystyle x-2 = (Ax+B) (x^3-1) + C (x^4+2x^3+3x^2+2x+1) + \left[Dx^2+Dx+D - 2Dx^2 - Dx - 2Ex - E \right] (x-1)$

$\displaystyle x-2 = (Ax+B) (x^3-1) + C (x^4+2x^3+3x^2+2x+1) + \left[-Dx^2 - 2Ex + D - E \right] (x-1)$

$\displaystyle x-2 = Ax^4 - Ax + Bx^3 - B + Cx^4 + 2Cx^3 + 3Cx^2 + 2Cx + C -Dx^3 - 2 Ex^2 + Dx - Ex +Dx^2 + 2Ex - D + E$

$\displaystyle x-2 = (A+C)x^4 + (B+2C-D)x^3 + (3C-2E+D)x^2 + (-A+2C+D+E)x + (-B + C - D + E)$

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones

Resolviendo el sistema, los valores de cada coeficiente son:

$\displaystyle A=\frac{1}{9}$ , $\displaystyle B=\frac{11}{9}$ , $\displaystyle C=- \frac{1}{9}$ , $D=1$ y $\displaystyle E=\frac{1}{3}$

Sustituyendo los valores de cada coeficiente en la descomposición de Hermite, resulta lo siguiente

$\displaystyle \frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} = \frac{Ax+B}{(x^2+x+1)} + \frac{C}{(x-1)} + \frac{d}{dx} \left[\frac{Dx+E}{{(x^2+x+1)}} \right]$

$\displaystyle \frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} = \frac{\frac{1}{9}x+\frac{11}{9}}{(x^2+x+1)} + \frac{-\frac{1}{9}}{(x-1)} + \frac{d}{dx} \left[\frac{(1)x+\frac{1}{3}}{{(x^2+x+1)}} \right]$

$\displaystyle \frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} = \frac{\frac{1}{9}x+\frac{11}{9}}{(x^2+x+1)} - \frac{\frac{1}{9}}{(x-1)} + \frac{d}{dx} \left[\frac{x+\frac{1}{3}}{{(x^2+x+1)}} \right]$

Regresando a la integral del problema y escribiendo la expresión mixta, resulta

$\displaystyle \int{\frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} \ dx} = \int{\left\{\frac{\frac{1}{9}x+\frac{11}{9}}{(x^2+x+1)} - \frac{\frac{1}{9}}{(x-1)} + \frac{d}{dx} \left[\frac{x+\frac{1}{3}}{{(x^2+x+1)}} \right] \right\} \ dx}$

$\displaystyle \int{\frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} \ dx} = \int{\frac{\frac{1}{9}x+\frac{11}{9}}{(x^2+x+1)} \ dx} - \int{\frac{\frac{1}{9}}{(x-1)} \ dx} + \int{\frac{d}{dx} \left[\frac{x+\frac{1}{3}}{{(x^2+x+1)}} \right] \ dx}$

$\displaystyle \int{\frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} \ dx} = \frac{1}{9} \int{\frac{(x+11)}{(x^2+x+1)} \ dx} - \frac{1}{9} \int{\frac{dx}{(x-1)}} +\frac{\left(x+\frac{1}{3} \right)}{{(x^2+x+1)}}$

La primera integral se resuelve por el método de integración por sustitución trigonométrica (que pertenece al primer caso), cuyo resultado

$\displaystyle \int{\frac{(x+11)}{(x^2+x+1)} \ dx} = \int{\frac{\frac{2}{2} (x+11)}{(x^2+x+1)} \ dx} = \frac{1}{2} \int{\frac{2(x+11)}{(x^2+x+1)} \ dx}$

$\displaystyle \int{\frac{(x+11)}{(x^2+x+1)} \ dx} = \frac{1}{2} \int{\frac{(2x+22)}{(x^2+x+1)} \ dx} = \frac{1}{2} \int{\frac{(2x+1-1+22)}{(x^2+x+1)} \ dx}$

$\displaystyle \int{\frac{(x+11)}{(x^2+x+1)} \ dx} = \frac{1}{2} \int{\frac{(2x+1)}{(x^2+x+1)} \ dx} + \frac{1}{2} \int{\frac{(22-1)}{(x^2+x+1)} \ dx}$

$\displaystyle \int{\frac{(x+11)}{(x^2+x+1)} \ dx} = \frac{1}{2} \int{\frac{(2x+1)}{(x^2+x+1)} \ dx} + \frac{1}{2} \int{\frac{21}{(x^2+x+1)} \ dx}$

$\displaystyle \int{\frac{(x+11)}{(x^2+x+1)} \ dx}= \frac{1}{2} \int{\frac{(2x+1)}{(x^2+x+1)} \ dx} + \frac{21}{2} \int{\frac{1}{{(x+\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}} \ dx}$

$\displaystyle \int{\frac{(x+11)}{(x^2+x+1)} \ dx}= \frac{1}{2} \int{\frac{(2x+1) \ dx}{(x^2+x+1)}} + \frac{21}{2} \int{\frac{d}{{(x+\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}}}$

$\displaystyle \int{\frac{(x+11)}{(x^2+x+1)} \ dx}= \frac{1}{2} \ln{(x^2+x+1)} + \frac{21}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \arctan{\left(\frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right)} + C$

$\displaystyle \int{\frac{(x+11)}{(x^2+x+1)} \ dx}= \frac{1}{2} \ln{(x^2+x+1)} + \frac{21}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan{\left(\frac{\frac{2x+1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right)} + C$

$\displaystyle \int{\frac{(x+11)}{(x^2+x+1)} \ dx}= \frac{1}{2} \ln{(x^2+x+1)} + \frac{21}{\sqrt{3}} \arctan{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)} + C$

La segunda integral tiene el siguiente resultado

$\displaystyle \int{\frac{dx}{(x-1)}} = \ln{(x-1)} + C$

Regresando y escribiendo los resultados de cada integral

$\displaystyle \int{\frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} \ dx} = \frac{1}{9} \int{\frac{(x+11)}{(x^2+x+1)} \ dx} - \frac{1}{9} \int{\frac{dx}{(x-1)}} +\frac{\left(x+\frac{1}{3} \right)}{{(x^2+x+1)}}$

$\displaystyle \int{\frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} \ dx} = \frac{1}{9}\left[\frac{1}{2} \ln{(x^2+x+1)} + \frac{21}{\sqrt{3}} \arctan{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)} \right] - \frac{1}{9} \ln{(x-1)} +\frac{\left(x+\frac{1}{3} \right)}{{(x^2+x+1)}} + C$

$\displaystyle \int{\frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} \ dx} = \frac{1}{18} \ln{(x^2+x+1)} + \frac{21}{9\sqrt{3}} \arctan{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)} - \frac{1}{9} \ln{(x-1)} +\frac{\left(x+\frac{1}{3} \right)}{{(x^2+x+1)}} + C$

$\displaystyle \int{\frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} \ dx} = \frac{1}{18} \ln{(x^2+x+1)} + \frac{21 \sqrt{3}}{27} \arctan{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)} - \frac{1}{9} \ln{(x-1)} +\frac{\left(x+\frac{1}{3} \right)}{{(x^2+x+1)}} + C$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int{\frac{x-2}{{(x^2+x+1)}^2 (x-1)} \ dx} = \frac{1}{18} \ln{(x^2+x+1)} + \frac{7 \sqrt{3}}{9} \arctan{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)} - \frac{1}{9} \ln{(x-1)} +\frac{\left(3x+1 \right)}{{3(x^2+x+1)}} + C$

Un comentario sobre “Método de integración por el método de Hermite. Cálculo integral.”

Renzo dice:

24 junio, 2021 a las 6:27 pm

Gracias, hasta que por fin pude encontrar algo sobre Teorema del Hermite con Funciones en el numerador

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Método de integración por el método de Hermite. Cálculo integral.

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