Introducción

Caso 1. Solución de integrales de la forma \displaystyle \int{{\sin}^{m}{u} \ du}, \displaystyle \int{{\cos}^{n}{u} \ du} o \displaystyle \int{{\sin}^{m}{u} \ {\cos}^{n}{u} \ du} donde el valor de m o de n debe ser un número entero positivo impar, sin importar el valor del otro.

Para integrar algunas diferenciales trigonométricas fácilmente, es necesario transformarlas en integrales inmediatas por medio de reducciones trigonométricas sencillas.

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar la \displaystyle \int{{\sin}^{3}{ax} \ dx}

Solución. Analizando la integral propuesta

\displaystyle \int{{\sin}^{m}{u} \ du}

Donde u=ax y m=3; esto es una integral del seno con potencia impar. De esta integral, se determina la diferencial dx

u=ax

\displaystyle \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (ax) = a \frac{d}{dx} (x)

\displaystyle \frac{du}{dx} = a

\displaystyle \frac{1}{a} du = dx

Aplicando el método de sustitución en la integral propuesta

\displaystyle \int{{\sin}^{3}{ax} \ dx} = \int{{\sin}^{3}{u} \left(\frac{1}{a} \ du \right)} = \frac{1}{a} \int{{\sin}^{3}{u} \ du}

Factorizando la integral

\displaystyle \frac{1}{a} \int{{\sin}^{3}{u} \ du} = \frac{1}{a} \int{{\sin}^{2}{u} \sin{u} \ du}

Recordando la identidad trigonométrica {\sin}^{2}{u} + {\cos}^{2}{u} = 1 o {\sin}^{2}{u} = 1 - {\cos}^{2}{u} y multiplicando

\displaystyle \frac{1}{a} \int{{\sin}^{2}{u} \cdot \sin{u} \ du} = \frac{1}{a} \int{(1-{\cos}^{2}{u}) \sin{u} \ du}

\displaystyle \frac{1}{a} \int{{\sin}^{2}{u} \cdot \sin{u} \ du} = \frac{1}{a} \int{(\sin{u} - {\cos}^{2}{u} \sin{u}) \ du} = \frac{1}{a} \int{\sin{u} \ du} - \frac{1}{a} \int{{\cos}^{2}{u} \sin{u} \ du}

En la primera integral, su solución es

\displaystyle \frac{1}{a} \int{\sin{u} \ du} = \frac{1}{a} (-\cos{u} + C) = -\frac{1}{a} \cos{u} + C

En la segunda integral tiene de la forma

\displaystyle \int{{\sin}^{m}{u} \ {\cos}^{n}{u} \ du}

Donde m=1 y cumple con el primer caso. Y para la expresión de esta integral, su fórmula es idéntica a

\displaystyle \int{v^n \ dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C

Observando que v=\cos{u} y n=2. Integrando directamente, su resultado es

\displaystyle \frac{1}{a} \int{{\cos}^{2}{u} \sin{u} \ du} = \frac{1}{a} \left(\frac{{\cos}^{3}{u}}{3} + C \right) = \frac{{\cos}^{3}{u}}{3a} + C = \frac{1}{3a} {\cos}^{3}{u} + C

Sumando los resultados de cada integral calculada

\displaystyle \frac{1}{a} \int{{\sin}^{3}{u} \ du} = \frac{1}{a} \int{{\cos}^{2}{u} \sin{u} \ du} - \frac{1}{a} \int{\sin{u} \ du}

\displaystyle = \frac{1}{3a} {\cos}^{3}{u} + C - \left(\frac{1}{a} \cos{u} \right) + C = \frac{1}{3a} {\cos}^{3}{u} - \frac{1}{a} \cos{u} + C

Recordando que u=ax, finalmente, el resultado es

\displaystyle \therefore \int{{\sin}^{3}{ax} \ dx} = \frac{1}{3a} {\cos}^{3}{ax} - \frac{1}{a} \cos{ax} + C

Problema 2. Hallar la \displaystyle \int{\sin^3{5x} \cos{5x} \ dx}.

Solución. La integral del problema tiene la forma \displaystyle \int{{\sin}^{m}{u} \ {\cos}^{n}{u} \ du}, en donde m=3 o n=1, es decir, son valores enteros impares. Después, por el método de sustitución básica, ambas funciones trigonométricas tienen la expresión 5x; sea u=5x y su diferencial es du=5 \ dx o \displaystyle \frac{1}{5} du = dx. Aplicando la sustitución en la integral del problema, resulta

\displaystyle \int{\sin^3{5x} \cos{5x} \ dx} = \int{\sin^3{u} \cos{u} \ \left(\frac{1}{5} du \right)}

\displaystyle \int{\sin^3{5x} \cos{5x} \ dx} = \frac{1}{5} \int{\sin^3{u} \cos{u} \ du}

Esta integral es similar a

\displaystyle \int{v^n \ dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C

Porque v=\sin{u} y dv=\cos{u} \ du. Entonces

\displaystyle \int{\sin^3{5x} \cos{5x} \ dx} = \frac{1}{5} \int{\sin^3{u} \cos{u} \ du}

\displaystyle \int{\sin^3{5x} \cos{5x} \ dx} = \frac{1}{5} \left(\frac{\sin^{3+1}{u}}{3+1} \right) + C

\displaystyle \int{\sin^3{5x} \cos{5x} \ dx} = \frac{1}{5} \left(\frac{\sin^4{u}}{4} \right) + C = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{4} \sin^4{u} \right)

\displaystyle \int{\sin^3{5x} \cos{5x} \ dx} = \frac{1}{20}\sin^4{u} + C

Recordando que u=5x, el resultado final es

\displaystyle \therefore \int{\sin^3{5x} \cos{5x} \ dx} = \frac{1}{20}\sin^4{5x} + C

Problema 3. Hallar la \displaystyle \int{\cos^5{z} \ dz}.

Solución. La integral tiene la forma \displaystyle \int{{\cos}^{n}{u} \ du}, en donde n=5; esto cumple con el primer caso. Primero se realiza una factorización

\displaystyle \int{\cos^5{z} \ dz} = \int{\cos^4{z} \cos{z} \ dz}

\displaystyle \int{\cos^5{z} \ dz} = \int{\left(\cos^2{z} \right)^2 \cos{z} \ dz}

Recordando la identidad \cos^2{z} = 1 - \sin^2{z}

\displaystyle \int{\cos^5{z} \ dz} = \int{\left(1 - \sin^2{z} \right)^2 \cos{z} \ dz}

\displaystyle \int{\cos^5{z} \ dz} = \int{\left(1 - 2 \sin^2{z} + \sin^4{z} \right) \cos{z} \ dz}

\displaystyle \int{\cos^5{z} \ dz} = \int{\cos{z} \ dz} - 2 \int{\sin^2{z} \cos{z} \ dz} + \int{\sin^4{z} \cos{z} \ dz}

La primera integral se puede resolver directamente cuyo resultado es

\displaystyle \int{\cos{z} \ dz} = \sin{z} + C

La segunda integral tiene la forma \displaystyle \int{{\sin}^{m}{u} \ {\cos}^{n}{u} \ du}, donde n=1, la cual cumple la condición del caso 1. Esta integral es similar a

\displaystyle \int{v^n \ dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C

ya que v = \sin{u} y \cos{u} \ du. Entonces

\displaystyle \int{\sin^2{z} \cos{z} \ dz} = \frac{\sin^{2+1}{z}}{2+1} + C

\displaystyle \int{\sin^2{z} \cos{z} \ dz} = \frac{\sin^3{z}}{3} + C = \frac{1}{3} \sin^3{z} + C

La tercera integral también cumple con la condición del caso 1. Aplicando el mismo procedimiento que se determinó en la segunda integral, su resultado es

\displaystyle \int{\sin^4{z} \cos{z} \ dz} = \frac{\sin^{4+1}{z}}{4+1} + C

\displaystyle \int{\sin^4{z} \cos{z} \ dz} = \frac{\sin^5{z}}{5} + C = \frac{1}{5} \sin^5{z} + C

Regresando y sustituyendo lo resultados obtenidos en cada integral, resulta

\displaystyle \int{\cos^5{z} \ dz} = \int{\cos{z} \ dz} - 2 \int{\sin^2{z} \cos{z} \ dz} + \int{\sin^4{z} \cos{z} \ dz}

\displaystyle \int{\cos^5{z} \ dz} = \sin{z} - 2 \left(\frac{1}{3} \sin^3{z} \right) + \left( \frac{1}{5} \sin^5{z} \right) + C

Finalmente,

\displaystyle \therefore \int{\cos^5{z} \ dz} = \sin{z} - \frac{2}{3} \sin^3{z} + \frac{1}{5} \sin^5{z} + C

Problema 4. Hallar la \displaystyle \int{\frac{\sin^5{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta}.

Solución. Del integrando, en el numerador se realiza la factorización

\displaystyle \int{\frac{\sin^5{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta} = \int{\frac{\sin^4{\theta} \sin{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta}

\displaystyle \int{\frac{\sin^5{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta} = \int{\frac{(\sin^2{\theta})^2 \sin{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta}

Recordando la identidad trigonométrica \sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta}

\displaystyle \int{\frac{\sin^5{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta} = \int{\frac{(1 - \cos^2{\theta})^2 \sin{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta}

\displaystyle \int{\frac{\sin^5{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta} = \int{\frac{(1 - 2 \cos^2{\theta} + \cos^4{\theta}) \sin{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta}

\displaystyle \int{\frac{\sin^5{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta} = \int{\frac{\sin{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta} - 2 \int{\frac{\cos^2{\theta} \sin{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta} + \int{\frac{\cos^4{\theta} \sin{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta}

\displaystyle \int{\frac{\sin^5{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta} = \int{\frac{\sin{\theta}}{(\cos{\theta})^{1/2}} \ d\theta} - 2 \int{\frac{\cos^2{\theta} \sin{\theta}}{(\cos{\theta})^{1/2}} \ d\theta} + \int{\frac{\cos^4{\theta} \sin{\theta}}{(\cos{\theta})^{1/2}} \ d\theta}

\displaystyle \int{\frac{\sin^5{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta} = \int{(\cos{\theta})^{-1/2} \sin{\theta} \ d\theta} - 2 \int{(\cos{\theta})^{2-1/2} \sin{\theta} \ d\theta} + \int{(\cos{\theta})^{4-1/2} \sin{\theta} \ d\theta}

\displaystyle \int{\frac{\sin^5{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta} = \int{(\cos{\theta})^{-1/2} \sin{\theta} \ d\theta} - 2 \int{(\cos{\theta})^{3/2} \sin{\theta} \ d\theta} + \int{(\cos{\theta})^{7/2} \sin{\theta} \ d\theta}

Las tres integrales tienen la forma \displaystyle \int{{\sin}^{m}{u} \ {\cos}^{n}{u} \ du}, donde m=1, es decir, cumple con la condición del caso 1. Cada una de ellas es similar a

\displaystyle \int{v^n \ dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C

por que v=\cos{\theta} y dv = -\sin{\theta} \ d\theta. Entonces

\displaystyle \int{\frac{\sin^5{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta} = -\left[ \frac{(\cos{\theta})^{-1/2+1}}{-\frac{1}{2}+1} \right] + 2 \left[\frac{(\cos{\theta})^{3/2+1}}{\frac{3}{2}+1} \right] - \left[\frac{(\cos{\theta})^{7/2+1}}{\frac{7}{2}+1} \right] + C

\displaystyle \int{\frac{\sin^5{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta} = -\left[ \frac{(\cos{\theta})^{1/2}}{\frac{1}{2}} \right] + 2 \left[\frac{(\cos{\theta})^{5/2}}{\frac{5}{2}} \right] - \left[\frac{(\cos{\theta})^{9/2}}{\frac{9}{2}} \right] + C

\displaystyle \int{\frac{\sin^5{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta} = -\left[ 2 (\cos{\theta})^{1/2} \right] + 2 \left[\frac{2}{5} (\cos{\theta})^{5/2} \right] - \left[\frac{2}{9} (\cos{\theta})^{9/2} \right] + C

\displaystyle \int{\frac{\sin^5{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta} = - 2 (\cos{\theta})^{1/2} + \frac{4}{5} (\cos{\theta})^{5/2} - \frac{2}{9} (\cos{\theta})^{9/2} + C

Finalmente,

\displaystyle \therefore \int{\frac{\sin^5{\theta}}{\sqrt{\cos{\theta}}} \ d\theta} = - 2 \sqrt{\cos{\theta}} + \frac{4}{5} \cos^{5/2}{\theta} - \frac{2}{9} \cos^{9/2}{\theta} + C

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Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web.

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