Conversión de base 16 a base 8. Métodos numéricos.

Introducción

Para convertir un número decimal (que incluye parte entera y parte decimal) de base hexadecimal a base octal primero se debe convertir de base hexadecimal a decimal y después, convertir de base decimal a base octal (o también de base 2, 4, 6, etc.).

El procedimiento para convertir de base hexadecimal a base decimal es, del punto decimal hacia la izquierda, se multiplica cada dígito por la base convertida elevado una potencia aumentada unitariamente (partiendo del cero, 0) y, de la parte decimal, del punto decimal hacia la derecha, se multiplica cada dígito por la base convertida elevado a una potencia disminuida unitariamente (partiendo del menos uno, -1).

Si el número entera y/o decimal muestra los caracteres A = 10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15, es necesario, transformar ese caracter en valor numérico equivalente.

El procedimiento para convertir de base decimal a base octal es, si son número enteros, dividir el número brindado por el problema (dividendo) entre la base requerido (divisor), que en este caso sería ocho; del resultado que se obtenga, nuevamente, se divide entre la base. Durante la división, el cociente debe ser un valor entero, así que, es importante observar si entre el dividendo y el divisor genera residuos, ya que estos también forman parte de la solución del problema. El procedimiento de la división culmina hasta que el último cociente tenga un resultado menor del valor de la base requerida. La solución será tomando el último resultado del cociente seguido del último residuo y finalmente, los residuos restantes en forma ascendente. Si son números decimales, su procedimiento consiste en multiplicar solo la parte decimal del problema haciendo que la parte entera sea cero por el valor de la base a convertir, es decir, el valor decimal por 8; del resultado que muestre se extrae todos los decimales y se vuelve a multiplicar por la base requerida. Su procedimiento termina hasta una cierta cantidad de iteraciones necesarias, o también, si en el procedimiento muestra ceros después del punto. La solución en la parte decimal consiste en tomar todos los valores enteros obtenidos en cada producto en forma descendente.

El resultado de la diferencia del valor exacto (número brindado por el problema) y el valor aproximado (resultado final del problema) se denomina error y su fórmula es

$\displaystyle E=|V.E.-V.A.|$

El valor del error será tomado en cuenta para conversiones de base 16 a base 10.

Problemas resueltos

Problema 1. Convertir la cifra A51.D3 expresado en base 10 a base 8 para cuatro iteraciones

$\displaystyle {(A51.D3)}_{16} = {( \quad \quad \quad )}_{8}$

Solución. Primero, este número se convierte de base 16 a base 10, por lo que, se lleva acabo la siguiente multiplicación (recordar que A=10 y D=13).

$\displaystyle {(A 5 1.D 3)}_{16} = (10 \ 5 1.13 \ 4)$

$\displaystyle {(A 5 1.D 3)}_{16} = (10 \times {16}^2 )+(5 \times {16}^1 )+(1 \times {16}^0 )+(13 \times {16}^{-1} )+(4 \times {16}^{-2} )$

$\displaystyle {(A 5 1.D 3)}_{16} = 1+80+2560+0.8125+0.0117$

$\displaystyle {(A 5 1.D 3)}_{16} = {(2641.8242)}_{8}$

Así que, el resultado de esta primera parte es

$\displaystyle {(A51.D3)}_{16} = {(2641.8242)}_{10}$

Después, convirtiendo este resultado de base 10 a base 8, para la parte entera, se lleva acabo la siguiente división

Tomando el último resultado del cociente (es decir 5,) seguido del último residuo (es decir, 1) y finalmente se toman los residuos restantes en forma ascendente (es decir, 2 y 1). Por tanto, la parte entera esperada es 5 1 2 1. Por último, para la parte decimal, realizando la siguiente multiplicación

$\displaystyle 0.8242 \times 8=6.5936$

$\displaystyle 0.5936 \times 8=4.7488$

$\displaystyle 0.7488 \times 8=5.9904$

$\displaystyle 0.9904 \times 8=7.9232$

La respuesta en la parte decimal es 6 4 5 7.

Uniendo el resultado de la parte entera y la parte decimal, el número octal es

$\displaystyle \therefore {(A51.D3)}_{16} = {(2641.8242)}_{10} = {(5121.6457)}_{8}$

Si desea conocer el valor del error, debe convertir el resultado expresado en base ocho a base diez. Entonces, del punto decimal hacia la izquierda, se multiplica cada dígito por la base convertida elevado una potencia aumentada unitariamente (partiendo del cero, 0) y, de la parte decimal, del punto decimal hacia la derecha, se multiplica cada dígito por la base convertida elevado a una potencia disminuida unitariamente (partiendo del menos uno, -1).

$\displaystyle {(5121.6457)}_{8} = (5 \times 8^3 )+(1 \times 8^2 )+(2 \times 8^1 )+(1 \times 8^0 ) +(6 \times 8^{-1} )+(4 \times 8^{-2} )+(5 \times 8^{-3} )+(7 \times 8^{-4} )$