Solución de un sistema de ecuaciones lineales por el método Jacobi. Métodos numéricos.

Introducción

Criterio de convergencia. Para resolver este método es necesario que la diagonal principal se encuentre los mayores valores absolutos de cada una de las ecuaciones que se pueden intercalar (cambiar) las ecuaciones.

Problema resuelto

Problema 1. Del siguiente sistema de ecuaciones lineales, obtener los valores de $x$ , $y$ y $z$ .

Con tolerancia de 0.015 a partir del origen (0,0,0).

Solución. Del sistema de ecuaciones, donde al realizar un acomodo adecuado en ellas (cambio de posición), debe mostrarse una diagonal positiva, los coeficientes mayores valores absoluto

Despejando la primera ecuación con respecto a $x$

$5x-y+2z=-2$

$\displaystyle x = \frac{-2+y-2z}{5}$

Despejando la segunda ecuación con respecto a $y$

$-x+3y-z=1$

$\displaystyle y=\frac{1+x+z}{3}$

Despejando la primera ecuación con respeto a $z$

$\displaystyle 2x+2y-6z=0$

$\displaystyle z=\frac{2x+2y}{6}$

$\displaystyle z=\frac{x+y}{3}$

En la primera iteración, con $(0, 0, 0)$ , para la primera ecuación ( $x$ despejada)

$\displaystyle x_1 = \frac{-2+y_0-2z_0}{5}$

$\displaystyle x_1=\frac{-2+0-2(0)}{5} = -\frac{2}{5}$

$\displaystyle x_1=-0.4$

Para la ecuación segunda ecuación ( $y$ despejada)

$\displaystyle y_1=\frac{1+x_0+z_0}{3}$

$\displaystyle y_1=\frac{1+0+0}{3}=\frac{1}{3}$

$y_1=0.333$

Para la ecuación tercera ecuación ( $z$ despejada)

$\displaystyle z_1 = \frac{x_0+y_0}{3}$

$\displaystyle z_1 = \frac{0+0}{3}$

$z_1=0$

Por lo que, el punto generado (por la primera iteración) es el siguiente

$(x_1,y_1,z_1 ) = (-0.4, 0.333, 0)$

Calculando el primer error máximo

$E_1= \max{\left| |x_1-x_0 |,|y_1-y_0 |,|z_1-z_0 |\right|}$

$E_1 = \max{\left| |-0.4-0|,|0.333-0|,|0-0|\right|}$

$E_1 = \max{\left| |-0.4|, |0.333|, |0|\right|}$

$E_1 = \max{|0.4, 0.333, 0|}$

Tomando el valor máximo

$E_1 = 0.4$

Comparando el valor del primer error con el valor de la tolerancia

$E_1 > \text{Tolerancia}$

$0.4 > 0.015$

El error es mayor que la tolerancia, por lo que, se pasa a la siguiente iteración.

En la segunda iteración, con $(-0.4, 0.333, 0)$ , para la primera ecuación ( $x$ despejada)

$\displaystyle x_2 = \frac{-2+y_1-2z_1}{5}$

$\displaystyle x_2 = \frac{-2+0.333-2(0)}{5}$

$x_2 = -0.333$

Para la ecuación segunda ecuación ( $y$ despejada)

$\displaystyle y_2 = \frac{1 + x_1 + z_1}{3}$

$\displaystyle y_2 = \frac{1-0.4+0}{3}$

$y_2 = 0.2$

Para la ecuación tercera ecuación ( $z$ despejada)

$\displaystyle z_2 = \frac{x_1+y_1}{3}$

$\displaystyle z_2 = \frac{-0.4+0.333}{3}$

$z_2=-0.022$

Por lo que, el siguiente punto generado (por la segunda iteración) es el siguiente

$(x_2,y_2,z_2 ) = (-0.333, 0.2, -0.022)$

Calculando el segundo error máximo

$E_2 = \max{\left| |x_2-x_1 |,|y_2-y_1 |,|z_2-z_1 | \right|}$

$E_2 = \max{\left| |-0.333+0.4|,|0.2-0.333|,|-0.022-0| \right|}$

$E_2 = \max{\left| |-0.067|, |-0.133|, |-0.022| \right|}$

$\displaystyle E_2 = \max{|0.067, 0.133, 0.022|}$

Tomando el valor máximo

$E_2=0.133$

Comparando el valor del segundo error con el valor de la tolerancia

$E_2 > \text{Tolerancia}$

$0.133>0.015$

El error es mayor que la tolerancia, por lo que, se pasa a la siguiente iteración.

En la tercera iteración, con (-0.333, 0.2, -0.022), para la primera ecuación ( $x$ despejada)

$\displaystyle x_3 = \frac{-2+y_2-2z_2}{5}$

$\displaystyle x_3 = \frac{-2+0.2-2(-0.022)}{5}$

$x_3=-0.351$

Para la ecuación segunda ecuación ( $y$ despejada)

$\displaystyle y_3 = \frac{1+x_2+z_2}{3}$

$\displaystyle y_3 = \frac{1-0.333-0.022}{3}$

$y_3 = 0.215$

Para la ecuación tercera ecuación ( $z$ despejada)

$\displaystyle z_3 = \frac{x_2+y_2}{3}$

$\displaystyle z_3 = \frac{-0.333+0.2}{3}$

$z_3 = -0.044$

Por lo que, el tercer punto generado (por la tercera iteración) es el siguiente

$(x_3,y_3,z_3 ) = (-0.351, 0.215, -0.044)$

Calculando el tercer error máximo

$E_3 = \max{\left| |x_3-x_2 |,|y_3-y_2 |,|z_3-z_2 | \right|}$

$E_3 = \max{\left| |-0.351+0.333|,|0.215-0.2|,|-0.044+0.022| \right|}$

$E_3 = \max{\left| |-0.018|,|0.015|,|-0.022| \right|}$

$E_3 = \max{|0.018, 0.015, 0.022|}$

Tomando el valor máximo

$E_3 = 0.022$

Comparando el valor del tercer error con el valor de la tolerancia

$E_3 > \text{Tolerancia}$

$0.022 > 0.015$

El error es mayor que la tolerancia, por lo que, se pasa a la siguiente iteración.

En la cuarta iteración, con $(-0.351, 0.215, -0.044)$ , para la primera ecuación ( $x$ despejada)

$\displaystyle x_4 = \frac{-2+y_3-2z_3}{5}$

$\displaystyle x_4 = \frac{-2+0.215-2(-0.044)}{5}$

$x_4 = -0.339$

Para la ecuación segunda ecuación ( $y$ despejada)

$\displaystyle y_4 = \frac{1+x_3+z_3}{3}$

$\displaystyle y_4 = \frac{1-0.351-0.044}{3}$

$y_4 = 0.202$

Para la ecuación tercera ecuación ( $z$ despejada)

$\displaystyle z_4 = \frac{x_3+y_3}{3}$

$\displaystyle z_4 = \frac{-0.351+0.215}{3}$

$z_4=-0.045$

Por lo que, el cuarto punto generado (por la cuarta iteración) es el siguiente

$(x_4,y_4,z_4 ) = (-0.339, 0.202, -0.045)$

Calculando el cuarto error máximo

$E_4 = \max{\left| |x_4-x_3 |,|y_4-y_3 |,|z_4-z_3 | \right|}$

$E_4 = \max{\left| |-0.339+0.351|,|0.202-0.215|,|-0.045+0.044| \right|}$

$E_4 = \max{\left| |0.012|, |-0.013|, |-0.001| \right|}$

$E_4 = \max{|0.012, 0.013, 0.001|}$

Tomando el valor máximo

$E_4 = 0.013$

Comparando el valor del cuarto error con el valor de la tolerancia

$E_4 > \text{Tolerancia}$

$0.013<0.015$

El error ya es menor que la tolerancia, por lo tanto, la última iteración calculada es la indicada. Finalmente

$\therefore x=-0.339 \quad , \quad y=0.202 \quad , \quad z=-0.045$

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Problema resuelto

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