Polinomio interpolante utilizando el método de Lagrange. Métodos numéricos.

Introducción

El polinomio de Lagrange es el siguiente

$P(x) = f(x_0 ) \cdot L_0 (x) + f(x_1 ) \cdot L_1 (x) + f(x_2 ) \cdot L_2 (x) + ... + f(x_n ) \cdot L_n (x)$

Donde

$\displaystyle L_{(m, i)} (x) = \prod _{ \begin{matrix} j = 0 \\ j \ne i \end{matrix} }^{n}{\left( \frac{x-x_i}{x_i-x_j} \right)}$

Si el problema o enunciado muestra sólo dos nodos, los parámetros a calcular son los siguientes

$\displaystyle L_0 = \frac{x-x_1}{x_0-x_1}$

$\displaystyle L_1 = \frac{x-x_0}{x_1-x_0}$

Y el polinomio interpolante esperado es

$P(x) = f(x_0) \cdot L_0 (x) + f(x_1 ) \cdot L_1 (x)$

Si el problema o enunciado muestra sólo tres nodos, los parámetro a calcular son los siguientes

$\displaystyle L_0 = \frac{(x-x_1) \cdot (x-x_2)}{(x_0-x_1) \cdot (x_0-x_2)}$

$\displaystyle L_1 = \frac{(x-x_0) \cdot (x-x_1)}{(x_1-x_0) \cdot (x_1-x_2)}$

$\displaystyle L_2 = \frac{(x-x_0) \cdot (x-x_1)}{(x_2-x_0) \cdot (x_2-x_1)}$

Y el polinomio interpolante esperado es

$P(x) = f(x_0) \cdot L_0 (x) + f(x_1 ) \cdot L_1 (x) + f(x_2 ) \cdot L_2 (x)$

Si se desea saber que tan cerca es el valor evaluado en un polinomio interpolante (valor aproximado calculado con respecto a la función del problema (valor exacto) solo basta con determinar el error. Su fórmula es la siguiente

$E = |V.E. - V.A.|$

Donde

$E$ representa el error.
$V.E.$ representa el valor exacto (función evaluada brindada por el problema).
$V.A.$ representa el valor aproximado (polinomio evaluado calculado).

Problema resuelto

Problema 1. Sea $\displaystyle f(x) = \ln{(2x)} - \sqrt{x^3} + \frac{1}{2}$ con nodos $(0.5, 1.5, 2)$ , usar el polinomio de Lagrange para hallar $P(x)$ y evaluar $f(0.5)$ (interpolar).

Solución. De los nodos brindados por el problema, se evalúan cada uno en la función $f(x)$ .

Calculando $L_0$

$\displaystyle L_0 = \frac{(x-x_1 ) \cdot (x-x_2 )}{(x_0-x_1 ) \cdot (x_0-x_2 )}$

$\displaystyle L_0 = \frac{(x-1.5) \cdot (x-2)}{(0.5-1.5) \cdot (0.5-2)}$

$\displaystyle L_0 = \frac{x^2-3.5x+3}{1.5}$

Calculando $L_1$

$\displaystyle L_1 = \frac{(x-x_0 ) \cdot (x-x_2 )}{(x_1-x_0 ) \cdot (x_1-x_2 )}$

$\displaystyle L_1 = \frac{(x-0.5) \cdot (x-2)}{(1.5-0.5) \cdot (1.5-2)}$

$\displaystyle L_1 = \frac{x^2-2.5x+1}{-0.5}$

Calculando $L_2$

$\displaystyle L_2 = \frac{(x-x_0 ) \cdot (x-x_1 )}{(x_2-x_0 ) \cdot (x_2-x_1 )}$

$\displaystyle L_2 = \frac{(x-0.5) \cdot (x-1.5)}{(2-0.5) \cdot (2-1.5)}$

$\displaystyle L_2 = \frac{x^2-2x+7.5}{0.75}$

Utilizando la fórmula del polinomio de Lagrange

$P(x) = f(x_0 ) \cdot L_0 (x) + f(x_1 ) \cdot L_1 (x) + f(x_2 ) \cdot L_2 (x)$

Sustituyendo

$\displaystyle P(x) = (0.146) \left( \frac{x^2-3.5x+3}{1.5} \right) + (-0.239) \left( \frac{x^2-2.5x+1}{-0.5} \right) + (-0.942) \left( \frac{x^2-2x+7.5}{0.75} \right)$