Polinomio interpolante utilizando el método Aitken. Métodos numéricos.

Introducción.

El método Aitken es un método numérico que ayuda a obtener el polinomio interpolante, teniendo nodos brindados de una función. Este método se forma mediante pequeños polinomios y abscisa adecuados, expresados en un producto y divididos entre los valores de los nodos indicados. A continuación, se presenta su estructura general para obtener los polinomios.

metodo_Aitken-introduccion

Para $P_{01} (x)$

$\displaystyle P_{01} (x) = \frac{1}{x_1-x_0} \begin{vmatrix} x - x_0 & P_0 \\ x - x_1 & P_1 \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{01} (x) = \frac{P_1 \cdot (x-x_0 ) - P_0 \cdot (x-x_1 )}{x_1-x_0 }$

donde al evaluar esta expresión con algún valor del dominio, se transforma en $P_{01} = P_{01} (x_k)$ .

Para $P_{02} (x)$

$\displaystyle P_{02} (x) = \frac{1}{x_2-x_0} \begin{vmatrix} x - x_0 & P_0 \\ x - x_2 & P_2 \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{02} (x) = \frac{P_2 \cdot (x-x_0 ) - P_0 \cdot (x-x_2 )}{x_2-x_0}$

donde al evaluar esta expresión con algún valor del dominio, se transforma en $P_{02} = P_{02} (x_k)$ .

Para $P_{03}(x)$

$\displaystyle P_{03} (x) = \frac{1}{x_3-x_0} \begin{vmatrix} x - x_0 & P_0 \\ x - x_3 & P_3 \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{03} (x) = \frac{P_3 \cdot (x-x_0 ) - P_0 \cdot (x-x_3 )}{x_3-x_0}$

donde al evaluar esta expresión con algún valor del dominio, se transforma en $P_{03} = P_{03} (x_k)$ .

Para $P_{012} (x)$

$\displaystyle P_{012} (x) = \frac{1}{x_2-x_0} \begin{vmatrix} x - x_0 & P_{01} \\ x - x_2 & P_{02} \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{012} (x) = \frac{P_{02} \cdot (x-x_0 ) - P_{01} \cdot (x - x_1 )}{x_2 - x_0}$

donde al evaluar esta expresión con algún valor del dominio, se transforma en $P_{012} = P_{012} (x_k)$ .

Para $P_{013} (x)$

$\displaystyle P_{013} (x) = \frac{1}{x_3 - x_0} \begin{vmatrix} x - x_0 & P_{01} \\ x- x_3 & P_{03} \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{013} (x) = \frac{P_{03} \cdot (x-x_0 ) - P_{01} \cdot (x-x_3 )}{x_3 - x_0}$

donde al evaluar esta expresión con algún valor del dominio, se transforma en $P_{013} = P_{013} (x_k)$ .

Para $P_{0123} (x)$

$\displaystyle P_{0123} (x) = \frac{1}{x_3 - x_0} \begin{vmatrix} x - x_0 & P_{012} \\ x x - x_3 & P_{013} \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{0123} (x) = \frac{P_{012} \cdot (x - x_0 ) - P_{013} \cdot (x - x_3 )}{x_3 - x_0}$

donde al evaluar esta expresión con algún valor del dominio, se transforma en $P_{0123} = P_{0123} (x_k)$ .

Ahora

Si el problema brinda solo dos nodos se toma la expresión $P_{01} (x)$ .
Si el problema brinda solo tres nodos se toman las expresiones $P_{01} (x)$ , $P_{02} (x)$ y $P_{012} (x)$ .
Si el problema brinda solo cuatro nodos se toman las expresiones $P_{01} (x)$ , $P_{02} (x)$ , $P_{03} (x)$ , $P_{012} (x)$ , $P_{013} (x)$ y $P_{0123} (x)$ .

Problemas resueltos.

Problema 1. De la función $\displaystyle f(x) = \sqrt[3]{x} - 4x$ , obtener el polinomio interpolante utilizando el método Aitken con nodos $(-1, -2)$ para interpolar $f(-1.5)$ .

Solución. De los nodos brindados por el problema, se evalúan cada uno en la función $f(x)$ .

mn-p1-tabla1-aitken

En este problema solo muestra dos nodos, por lo que, la única variable a calcular es $P_{01}$ con el valor de la interpolación de $x=-1.5$ (obtenido de $f(-1.5)$ ). Además, cada nodo evaluado en la función (es decir $f(x_0)$ y $f(x_1)$ ) representará en los siguientes parámetros: $P_0 = 3$ y $P_1 = 6.74$ . Entonces

$\displaystyle P_{01} (x) = \frac{1}{x_1-x_0} \begin{vmatrix} x - x_0 & P_0 \\ x - x_1 & P_1 \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{01} (x) = \frac{1}{- 2 - (-1)} \begin{vmatrix} x - (1) & 3 \\ x - (-2) & 6.74 \end{vmatrix} = \frac{1}{- 2 + 1)} \begin{vmatrix} x - 1 & 3 \\ x + 2 & 6.74 \end{vmatrix}$

Con $x=-1.5$ , el valor de $P_{01}$ es

$\displaystyle P_{01} = \frac{1}{-1} \begin{vmatrix} -1.5 - 1 & 3 \\ -1.5 + 2 & 6.74 \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{01} = (-1) \begin{vmatrix} -2.5 & 3 \\ 0.5 & 6.74 \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{01} (-1.5) = (-1)(-3.370 - 1.5) = 4.870$

Finalmente

$\displaystyle P_{01} (-1.5) = 4.870$

Antes de calcular el error, se evalúa la función del problema cuando $x=-1.5$

$\displaystyle f(x) = \sqrt[3]{x} - 4x$

$\displaystyle f(-1.5) = \sqrt[3]{x}(-1.5) + 6$

$f(-1.5)=4.855$

El valor de $E$ es

$E = |V.E.-V.A.|$

$E = |P_01 (-1.5) - f(-1.5)|$

$E = |4.870-4.855|$

$E = 0.015$

Esto se refiere a que entre el valor de $f(-1.5)$ y el valor de $P_{01} (-1.5)$ existe una diferencia del 0.015 unidades.

Problema 2. De la función $\displaystyle f(x) = e^{-x} + x^2 - 1$ , obtener el polinomio interpolante utilizando el método de Aitken con nodos $(0, 1, 1.5)$ para interpolar $f(0.95)$ .

Solución. De los nodos brindados por el problema, se evalúan cada uno en la función $f(x)$ .

mn-p2-tabla2-aitken

En este problema solo muestra dos nodos, por lo que, las variables a calcular son $P_{01}$ , $P_{02}$ y $P_{012}$ con el valor de la interpolación de $x=0.95$ (obtenido de $f(0.95)$ ). Además, los nodos evaluados en la función (es decir, $f(x_0)$ , $f(x_1)$ y $f(x_2)$ ) pertenecerán a los siguientes parámetros: $P_0 = 0$ , $P_1 = 0.368$ y $P_2 = 1.473$ . Entonces, para $P_{01} (x)$

$\displaystyle P_{01} (x) = \frac{1}{x_1-x_0} \begin{vmatrix} x - x_0 & P_0 \\ x - x_1 & P_1 \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{01} (x) = \frac{1}{1 - 0} \begin{vmatrix} x - (0) & 0 \\ x - (1) & 0.368 \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{01} (x) = \frac{0.368x}{1}$

$P_{01} (x) = 0.368x$

Con $x=0.95$ , el valor de $P_{01}$ es

$P_{01} (0.95) = 0.368(0.95)$

$P_{01} (0.95)=0.350$

Para $P_{02}(x)$

$\displaystyle P_{02} (x) = \frac{1}{x_2-x_0} \begin{vmatrix} x - x_0 & P_0 \\ x - x_2 & P_2 \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{02} (x) = \frac{1}{1.5 - 0} \begin{vmatrix} x - (0) & 0 \\ x - (1.5) & 1.473 \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{02} = \frac{1.473x}{1.5}$

$P_{02} (x) = 0.982x$

Con $x=0.95$ , el valor de $P_{02}$ es

$P_{02} (0.95) = 0.982(0.95)$

$P_{02} (0.95) = 0.933$

Para $P_{012} (x)$

$\displaystyle P_{012} (x) = \frac{1}{x_2-x_0} \begin{vmatrix} x - x_0 & P_{01} \\ x - x_2 & P_{02} \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{012} (x) = \frac{1}{1.5 - 0} \begin{vmatrix} x - (0) & 0.350 \\ x - (1.5) & 0.933 \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{012} (x) = \frac{1}{1.5} \begin{vmatrix} x & 0.350 \\ x - 1.5 & 0.933 \end{vmatrix}$

$\displaystyle P_{012} (x) = \frac{0.933x-0.350x+0.525}{1.5-0}$

$\displaystyle P_{012} (x) = \frac{0.583x+0.525}{1.5}$

$P_{012} (x)=0.389x+0.35$

Con $x=0.95$ , el valor de $P_{012}$ es

$P_{012} (0.95) = 0.389(0.95)+0.35$

$P_{012} (0.95) = 0.72$

Antes de calcular el error, se evalúa la función del problema cuando $x=0.95$

$\displaystyle f(x) = e^{-x} + x^2 - 1$

$f(0.95) = e^{-0.95} + {(0.95)}^{2} - 1$

$f(0.95)=0.289$

El valor de $E$ es

$E=|V.E.-V.A.|$

$E = |P_012 (0.95)-f(0.95)|$

$E = |0.289-0.72|$

$E=0.431$

Esto se refiere a que entre el valor de $f(0.95)$ y el valor de $P_{012} (0.95)$ existe una diferencia del 0.431 unidades.

Referencias bibliográficas.

C. Chapra, S., & P. Canale, R. (2007). Métodos numéricos para ingenieros. México: McGRAW HILL.
Quintana, P., Villalobos, E., & Cornejo, M. d. (2005). Métodos numéricos con aplicaciones a excel. Reverte.
Scheid, F., & Di Costanzo, R. E. (1991). Métodos numéricos. España: McGRAW HILL.

Polinomio interpolante utilizando el método Aitken. Métodos numéricos.

Introducción.

Problemas resueltos.

Referencias bibliográficas.

Publicado por Cesar Reyes

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