Integración numérica por el método del trapecio. Métodos numéricos.

Introducción

El método del trapecio es un método numérico que ayuda a calcular de manera aproximada el valor de una integral definida. Su fórmula es la siguiente

$\displaystyle \int_a^b{f(x)dx} = \frac{h}{2} \left[ f(a)+f(b) + 2 \sum_{j=1}^{n-1}{f(x_j )} \right]$

Donde $x_j = a+jh$ para $j=0, 1, 2, ... , n$ .

Y también

$\displaystyle h = \frac{b-a}{n}$

$h$ es el tamaño de paso
$n$ es el número de iteraciones

Además $x_0 = a$ y $x_n = b$

Problema resuelto

Problema 1. Calcular $\displaystyle \int_{1}^{3}{\sqrt{x} \ dx}$ para $n=4$ .

Solución. Analizando la integral definida, se observa que el límite inferior es $a=1$ y el límite superior es $b=3$ . El parámetro $h$ tiene el siguiente valor

$\displaystyle h = \frac{b-a}{n}$

$\displaystyle h = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$h = 0.5$

Y se lleva a cabo el siguiente procedimiento

Utilizando la fórmula del trapecio

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f(x) \ dx} = \frac{0.5}{2} \left[ f(1) + f(3) + 2\sum_{j=1}^{4-1}{f(x_j )} \right]$

Se sustituyen los datos calculados

$\displaystyle \int_{1}^{3}{\sqrt{x} \ dx} = 0.25 \left[ f(1) + f(3) + 2\sum_{j=1}^{3}{f(x_j )} \right]$

$\displaystyle \int_{1}^{3}{\sqrt{x} \ dx} = 0.25 \left\{ f(1)+f(3)+2[f(x_1 )+f(x_2 )+f(x_3 )] \right\}$

$\displaystyle \int_{1}^{3}{\sqrt{x} \ dx} = 0.25 \left[ f(1)+f(3)+2f(1.5)+2f(2)+2f(2.5) \right]$

$\displaystyle \int_{1}^{3}{\sqrt{x} \ dx} = 0.25 \left[ 1+1.732+2(1.225)+2(1.414)+2(1.581) \right]$

$\displaystyle \int_{1}^{3}{\sqrt{x} \ dx} = 2.793$

Por lo tanto, el resultado es

$\displaystyle \therefore \int_{1}^{3}{\sqrt{x} \ dx} = 2.793$

Para conocer la diferencia entre el resultado obtenido por el método del trapecio y la integración directa, se integra (por el procedimiento de la integral definida) lo siguiente

$\displaystyle \int_{1}^{3}{\sqrt{x} \ dx} = \int_{1}^{3}{x^{\frac{1}{2}} dx}$

$\displaystyle \int_{1}^{3}{\sqrt{x} \ dx} = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \right]_{1}^{3} = \frac{2}{3} [{(3)}^{\frac{3}{2}} - 1] = \frac{2}{3} (4.196)$

$\displaystyle \int_{1}^{3}{\sqrt{x} \ dx} = 2.797$

Calculando el error

$E = |V.E.-V.A.|$

$E = |2.797-2.93|$

$E=0.004$

Esto se refiere que el resultado de integral mediante el método del trapecio y la integración directa existe una diferencia de 0.004.

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web. Ver todas las entradas de Cesar Reyes

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