Integración numérica por el método Simpson. Métodos numéricos.

Introducción

El método de Simpson es un método numérico para obtener el valor aproximado de una integral definida. Su fórmula es la siguiente

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f(x) \ dx} = \frac{h}{3} \left[ f(a) + f(b) + 2 \sum_{j=1}^{m-1}{f(x_{2j} )} + 4 \sum_{j=1}^{m}{f(x_{2j-1}) } \right]$

Donde

$x_j = a + jh$ para $j=0, 1, 2, ... , n$ .
$n$ es el número de iteraciones.

Además

Donde

$h$ es el tamaño de paso
$x_0=a$ y $x_n=b$

Problema resuelto

Problema. Evaluar

$\displaystyle \int_{1}^{2}{\frac{\cos{3x}}{3} \ dx}$

para $m =4$ .

Solución. El valor de $m$ es 4. Los límites inferior y superior de integral definida son $a=1$ y $b=6$ . Determinando el valor de $h$

$\displaystyle h = \frac{b-a}{2m}$

$\displaystyle h = \frac{2-1}{2(4)} = \frac{1}{8}$

$h = 0.125$

Se calcula lo siguiente

Sustituyendo todos los datos en la fórmula de Simpson

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f(x) \ dx} = \frac{h}{3} \left[ f(a) + f(b) + 2\sum_{j=1}^{m-1}{f(x_{2j} )} + 4 \sum_{j=1}^{m}{f(x_{2j-1} )} \right]$

$\displaystyle \int_{1}^{2}{\frac{\cos{3x}}{3} \ dx} = \frac{0.125}{3} \left[ f(1) + f(2) + 2\sum_{j=1}^{4-1}{f(x_{2j})} + 4 \sum_{j=1}^{4}{f(x_{2j-1})} \right]$

$\displaystyle \int_{1}^{2}{\frac{\cos{3x}}{3} \ dx} = \frac{0.125}{3} \left[ f(1) + f(2) + 2\sum_{j=1}^{3}{f(x_{2j} ) } + 4\sum_{j=1}^{4}{f(x_{2j-1})} \right]$

$\displaystyle \int_{1}^{2}{\frac{\cos{3x}}{3} \ dx} = 0.042 \left\{ -0.330+0.320 + 2[f(x_2 )+f(x_4 )+f(x_6 ]+4[f(x_1 )+f(x_3 )+f(x_5 )+f(x_7 )] \right\}$

$\displaystyle \int_{1}^{2}{\frac{\cos{3x}}{3} \ dx} = 0.042 \left[-0.010+2(-0.274-0.070+0.171)+4(-0.324-0.185+0.054+0.264) \right]$

$\displaystyle \int_{1}^{2}{\frac{\cos{3x}}{3} \ dx} = 0.042[-0.010+2(-0.173)+4(-0.191)]$

$\displaystyle \int_{1}^{2}{\frac{\cos{3x}}{3} \ dx} =0.042(-0.010-0.346-0.764) =0.042(-1.120)$

$\displaystyle \int_{1}^{2}{\frac{\cos{3x}}{3} \ dx} = -0.047$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int_{1}^{2}{\frac{\cos{3x}}{3} dx} = -0.047$

Para conocer la diferencia entre el resultado obtenido por el método de Simpson y la integración directa, se integra (por el procedimiento de la integral definida) lo siguiente

$\displaystyle \int_{1}^{2}{\frac{\cos{3x}}{3} \ dx} = \left[\frac{1}{9} \sin{3x} + C \right]_{1}^{2}$