Solución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden utilizando el método de Euler. Métodos numéricos.

Introducción

Una ecuación diferencial ordinaria lineal está representado de la siguiente manera

$\displaystyle y^{'} (x) = \frac{dy}{dx} = f(x,y)$

Y debe tener una condición inicial $y(x_0 ) = y_0$ en un intervalo cerrado $a \le x \le b$ . Con el método de Euler, si $x_0 = a$ y $y_0 = \alpha$ , la condición inicial también puede escribirse de la siguiente manera $y(a) = \alpha$ ; remplazando $y(a)$ por $\omega_0$ , el primer dato que toma este método es el siguiente

$\omega_0 = \alpha$

Con $x_0 = a$ .

La fórmula general del método de Euler es

$\omega_i = \omega_{i-1} + h \cdot f(x_{i-1} , \omega_{i-1} )$

Donde

$\omega_i$ y $\omega_{i-1}$ representan los valores de $y_i$ y $y_{i-1}$ por medio de $y_n$ .
$h$ es el tamaño de paso y se calcula por la fórmula

$\displaystyle h = \frac{b-a}{n}$

$a$ es el valor inferior del intervalo cerrado
$b$ es el valor superior del intervalo cerrado
$n$ es el tamaño o las iteraciones a considerar ( $n=0, 1, 2, 3, ...$ )
$x_{i-1}$ es el valor de la abscisa anterior calculado basado en $x_n$ , que es la variable a calcular y su fórmula es $x_n = a + n \cdot h$

Problema resuelto

Problema 1. Encontrar $x_i$ , $\omega_i$ para $\displaystyle y^{'} = \frac{3}{x} + 2x^2$ , con valor inicial de $y(1)=2$ y con $n=4$ .

Solución. En la ecuación diferencial, se observa que

$\displaystyle y^{'} = \frac{3}{x} + 2x^2$

$\displaystyle f(x,y) = \frac{3}{x} + 2x^2$

Al analizar la condición inicial $\displaystyle y(1) = 2$ , se observa que $a=1$ y $\omega_0 = b = 2$ . El valor de $h$ es

$\displaystyle h = \frac{b-a}{n}$

$\displaystyle h = \frac{2-1}{4} = \frac{1}{4}$

$h = 0.25$

Por medio de la fórmula $x_n = a + n \cdot h$ , se muestra los siguientes valores

Por el método de Euler

$\omega_i = \omega_{i-1} + h \cdot (x_{i-1},\omega_{i-1} )$

La primera iteración es (con $i=1$ )

$\omega_1 = \omega_{1-1} + h \cdot f(x_{1-1} , \omega_{1-1} ) = \omega_0 + h \cdot f(x_0, \omega_0 )$

$\displaystyle \omega_1 = 2 + (0.25) \cdot f(1,2) = 2 + (0.25) \left[ \frac{3}{1} + 2{(1)}^2 \right]$

$\omega_1 = 2 + (0.25)(5) = 2 + 1.25 = 3.25$

$\therefore \omega_1 = 3.25$

La segunda iteración es (con $i = 2$ )

$\omega_2 = \omega_{2-1} + h \cdot f(x_{2-1}, \omega_{2-1} ) = \omega_1 + h \cdot f(x_1, \omega_1 )$

$\displaystyle \omega_2 = 3.25 + (0.25) \cdot f(1.25, 3.25) = 3.25 + (0.25)\left [\frac{3}{1.25} + 2{(1.25)}^{2} \right]$

$\omega_2 = 3.25 + (0.25)(5.525) = 3.25 + 1.381 = 4.631$

$\therefore \omega_2 = 4.631$

La tercera iteración (con $i=3$ ) es

$\omega_3 = \omega_{3-1} + h \cdot f(x_{3-1}, \omega_{3-1} ) = \omega_{2} + h \cdot f(x_2, \omega_2$ )

$\displaystyle \omega_3 = 4.631 + (0.25) \cdot f(1.5, 4.631) = 4.631 + (0.25) \left[ \frac{3}{1.5} + 2{(1.5)}^2 \right]$

$\omega_3 = 4.631 + (0.25)(6.5) = 4.631 + 1.625$

$\therefore \omega_3 = 6.256$

La cuarta iteración (con $i=4$ ) es

$\omega_4 = \omega_{4-1} + h \cdot f(x_{4-1}, \omega_{4-1} ) = \omega_3 + h \cdot f(x_3, \omega_3 )$

$\displaystyle \omega_4 = 6.256 + (0.25) \cdot f(1.75, 6.256) = 6.256 + (0.25) \left[\frac{3}{1.75} + 2{(1.75)}^{2} \right]$

$\omega_4 = 6.256 + (0.25)(7.839) = 6.256 + 1.96$

$\therefore \omega_4 = 8.216$

Finalmente, en un resumen se visualizan estos resultados aplicados por el método de Euler

Ahora, antes de calcular los valores exactos, primer se resuelve la ecuación diferencial aplicando el método de separación de variables.

$\displaystyle y^{'} = \frac{3}{x} + 2x^2$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{3}{x} + 2x^2$

$\displaystyle dy = (\frac{3}{x}+2x^2 ) dx$

$\displaystyle \int{dy} = \int{(\frac{3}{x} + 2x^2 ) dx}$

$\displaystyle y = 3 \ln{x} + \frac{2}{3} x^3 + C$

Esta expresión es la solución general de la ecuación diferencial del problema. Obteniendo el valor de $C$ por medio del punto inicial $y(1) = 2$

$\displaystyle y = 3 \ln{x} + \frac{2}{3} x^3 + C$

$\displaystyle y(1) = 3 \ln{1} + \frac{2}{3} {(1)}^3 + C$

$\displaystyle 2 = 0 + \frac{2}{3} + C$

$\displaystyle C = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

Entonces

$\displaystyle y = 3 \ln{x} + \frac{2}{3} x^3 + C$

$\displaystyle y = 3 \ln{x} + \frac{2}{3} x^3 + \frac{4}{3}$

Este resultado es la solución particular de la ecuación diferencial del problema. Tomando los valores de $x_n$ (desde $x_0$ hasta $x_4$ ), se evalúan en la función $y = 3 \ln{x} + \frac{2}{3} x^3 + \frac{4}{3}$ , obtenida de la ecuación diferencial; los resultados se muestran en la siguiente tabla