2 abril, 20187 junio, 2020 Cesar Reyes control digital

Ecuaciones en diferencias. Control digital.

Introducción

Las ecuaciones en diferencias se pueden solucionar fácilmente mediante el uso de una computadora digital, siempre que se proporcionen los valores numéricos de todos los coeficientes y los parámetros. Sin embargo, las expresiones en forma cerrada para $x(k)$ no se pueden obtener a partir de la solución por computadora, excepto para casos muy especiales. La utilizada del método de la transformada $z$ es que permite obtener la expresión en forma cerrada para $x(k)$ .

Considere un sistema en tiempo discreto, lineal e invariante en el tiempo caracterizado por la siguiente ecuación en diferencias:

$x(k) + a_1 x(k-1)+ \cdots + a_n x(k-n) = b_0 u(k) + b_1 u(k-1) + \cdots +b_n u(k-n)$

Donde $u(k)$ y $x(k)$ son la entrada y la salida del sistema, respectivamente, en la k-ésima iteración. Al describir dicha ecuación en diferencias en el plano $z$ , se toma en el plano z, se toma la transformada z de cada uno de los términos de la ecuación.

Al definir

$\mathcal{Z} [x(k)] = X(z)$

Entonces $x(k+1)$ , $x(k+2)$ , $x(k+3)$ , … y $x(k-1)$ , $x(k-2)$ , $x(k-3)$ , … se puede expresar en términos de $X(z)$ y de las condiciones iniciales

Problema resuelto

Problema 1. Resolver la siguiente ecuación en diferencias utilizando la transformada z

$x(k+2)+3x(k+1)+2x(k)=0$

donde $x(0)=0$ , $x(1)=1$ .

Solución. Aplicando la transformada $z$ en ambos miembros de la ecuación

$x(k+2)+3x(k+1)+2x(k)=0$

$\mathcal{Z} [x(k+2)]+3 \mathcal{Z}[x(k+1)]+2 \mathcal{Z}[x(k)]=0$

$z^2 X(z)-z^2 x(0)-zx(1)+3[zX(z)-z \ x(0)]+2X(z)=0$

$z^2 X(z)-z^2 \ x(0)-zx(1)+3zX(z)-3z \ x(0)+2X(z)=0$

$z^2 X(z)-z^2 \ (0)-z(1)+3zX(z)-3z \ (0)+2X(z)=0$

$z^2 X(z)-z+3zX(z)+2X(z)=0$

$(z^2+3z+2)X(z)-z=0$

$(z^2+3z+2)X(z)=z$

$\displaystyle X(z) = \frac{z}{(z^2+3z+2)} = \frac{z}{(z+2)(z+1)}$

$\displaystyle x(k) = \mathcal{Z}^{-1}\left[ \frac{z}{(z+2)(z+1)} \right]$

Para obtener la transformada $z$ inversa de $X(z)$ , se utilizará el método de la integral de inversión

$\displaystyle x(k) = \frac{1}{j 2\pi} \oint_{C}{X(z) z^{k-1} dz}$

$\displaystyle x(k) = \frac{1}{j 2 \pi} \oint_{C}{\frac{z}{(z+2)(z+1)} z^{k-1} dz}$

$\displaystyle x(k) = \frac{1}{j 2\pi} \oint_{C}{\frac{z^k}{(z+2)(z+1)} dz} = K_1+K_2$

Del denominador, se iguala a cero

$(z+2)(z+1)=0$

por lo que sus soluciones son $z=-2$ y $z=-1$ .

Para $z=-2$ (que es un polo simple)

$\displaystyle K_m = \lim_{z \rightarrow a}{[(z-a)X(z) z^{k-1}]}$

$\displaystyle K_1 = \lim_{z \rightarrow -2}{ \left[ (z+2) \cdot \frac{z^k}{(z+2)(z+1)} \right]}$

$\displaystyle K_1 = \lim_{z \rightarrow -2}{\left[ \frac{z^k}{(z+1)} \right]} = \frac{{(-2)}^{k}}{-2+1}$

$K_1 = -{(-2)}^k$

Para $z=-1$ (que es un polo simple)

$\displaystyle K_m = \lim_{z \rightarrow a}{\left[ (z-a)X(z) z^{k-1} \right]}$

$\displaystyle K_2 = \lim_{z \rightarrow -1}{\left[ (z+1) \cdot \frac{z^k}{(z+2)(z+1)} \right]}$

$\displaystyle K_2 = \lim_{z \rightarrow -1}{\left[ \frac{z^k}{(z+2)} \right]} = \frac{{(-1)}^k}{-1+2}$

$K_2 = {(-1)}^k$

Regresando y sumando

$\displaystyle x(k) = \frac{1}{j 2\pi} \oint_{C}{\frac{z^k}{(z+2)(z+1)} dz} = K_1+K_2$

$\therefore x(k)= -{(-2)}^k + {(-1)}^k$

Donde $k=0, 1, 2, \cdots$ .

Publicado por Cesar Reyes

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