Obtención de centros de gravedad de superficies planas. Cálculo integral

Momento para un sistema lineal

El momento que produce una cierta masa respecto del punto $E$ se define así:

$Momento = (masa)(brazo \, \, del \, \, momento)$

Aquí el brazo del momento es la distancia de la masa hasta el punto $E$ .

Un ejemplo básico, se supondrá que en un columpio un niño $A$ de 24 kg de peso se sienta 2.5 m a la izquierda del centro de apoyo $E$ y el otro niño $B$ , de 30 kg, se sienta 2.5 m a la derecha de $E$ (figura 4.8.1).

figura 4.8.1

Observando la imagen, se deduce que el columpio comenzará a girar en un plano no vertical, es decir, de acuerdo con el giro de las manecillas del reloj en torno al punto $E$ . Esto se debe a que el niño $A$ de la izquierda tiene un peso menor que el niño $B$ de la derecha.

momento en $A=(24 kg)(2.5 m)$

momento en A $=60 \, kg \cdot m$

momento en B $= (30 \, kg)(2.5 \, m)$

momento en B $=75 \, kg \cdot m$

Para que el columpio se encuentre en equilibrio, es necesario que ambos momentos sean iguales. Entonces, si el niño $B$ de 30 kg se sienta a 2 m de distancia de $E$ , en ese instante se nivelará el columpio, ya que:

momento en A $= (24 \, kg)(2.5 \, m)$

momento en A $= 60 \, kg \cdot m$

momento en B $= (30 \, kg)(2 \, m)$

momento en B $=60 \, kg \cdot m$

Si se ubica el origen $O$ en $E$ y se definen las coordenadas $x_1=-2.5$ y $x_2=2$ , el columpio quedará en equilibrio, debido a que el momento total resultante de ambas masas es nulo respecto del origen. En otras palabras

Momento en O $= m_1 x_1 + m_2 x_2$

Momento en O $= (24)(-2.5)+(30)(2)=-60+60$

Momento en O $=0$

De manera general, suponiendo que varias masas $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ , …, $m_n$ , colocados a lo largo del eje $x$ en los puntos respectivos $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , …, $x_n$ (figura 4.8.2).

figura 4.8.2

En tal situación la medida de la tendencia del sistema a girar alrededor del origen $O$ se denomina momento del sistema respecto del origen, y se representa como

$M_o=m_1 x_1+m_2 x_2+m_3 x_3+ \cdots +m_n x_n$

$\displaystyle M_o = \sum_{i=1}^{n}{m_i x_i}$

Si el momento es igual a cero, se dice que el sistema está en equilibrio.

Ahora, al considerar un sistema que no está en equilibrio y al mover el punto de apoyo a un cierto $x=\overline{x}$ de modo que el sistema ya permanezca en equilibrio, lo anterior da lugar a:

$\displaystyle \sum_{i=1}^n{m_i (x_i - \overline{x})} = m_1 (x_1 - \overline{x} ) + m_2 (x_2 - \overline{x} ) + \cdots +m_n (x_n - \overline{x} ) = 0$

Es decir

$\displaystyle \sum_{i=1}^n{m_i x_i} - \sum_{i=1}^n{m_i \overline{x}} = 0$

Despejando $\overline{x}$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{m_i x_i}}{\sum_{i=1}^n{m_i}} = \frac{M_o}{m}$

Donde $M_o$ es el momento del sistema respecto del origen y $m$ es la masa total del sistema.

Al punto $\overline{x}$ de equilibrio se le denomina centro de masa o centro de gravedad del sistema.

Problemas resueltos

P1. Hallar el centro de gravedad para el siguiente sistema lineal: $m_1=16$ , $x_1=-7$ ; $m_2=19$ , $x_2=3$ ; $m_3=11$ , $x_3=8$ ; $m_4=14$ , $x_4=10.5$ .

Solución.

Se determina el momento el sistema respecto del origen

$\displaystyle M_o = \sum_{i=1}^4{m_i x_i} = m_1 x_1+m_2 x_2+m_3 x_3+m_4 x_4$

$\displaystyle M_o = (16)(-7)+(19)(3)+(11)(8)+(14)(10.5)$

$\displaystyle M_o=-112+57+88+147$

$\displaystyle M_o = 180 \, kg \cdot m$

Después, se calcula la masa total del sistema

$\displaystyle m = \sum_{i=1}^4{m_i} = m_1+m_2+m_3+m_4$

$m=16+19+11+14$

$m=60 kg$

Por último, utilizando la fórmula del centro de masa

$\displaystyle \overline{x} = \frac{M_o}{m}$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{180 \, kg \cdot m}{60 \, kg}$

$\displaystyle \overline{x} = 3 \, m$

Finalmente, el centro de masa del sistema dado es de 3 m.

Momento para un sistema bidimensional

Considerando las masas $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ , …, $m_n$ , colocadas en un plano cartesiano sobre los puntos $(x_1,y_1 )$ , $(x_2,y_2 )$ , $(x_3,y_3 )$ , …, $(x_n,y_n )$ , respectivamente (figura 4.8.3). Para tal sistema, se tiene que sus momentos son

Momento $M_x$ respecto al eje $x$

$\displaystyle M_x=m_1 y_1+m_2 y_2+m_3 y_3+ \cdots +m_n y_n = \sum_{i=1}^n{m_i y_i}$

Momento $M_y$ respecto al eje $y$

$\displaystyle M_y = m_1 x_1+m_2 x_2+m_3 x_3+ \cdots +m_n x_n = \sum_{i=1}^n{m_i x_i}$

La masa total del sistema es

$\displaystyle m=m_1+m_2+m_3+ \cdots +m_n=\sum_{i=1}^n{m_i}$

El centro de masas $(\overline{x},\overline{y} )$ se obtiene con las fórmulas

$\displaystyle \overline{x} = \frac{M_y}{m}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{M_x}{m}$

Lo anterior se interpreta como que la masa total $m$ colocada en el centro de masa $(\overline{x} ,\overline{y} )$ producirá los mismos momentos totales $M_x$ , $M_y$ que el sistema en cuestión.

figura 4.8.3

Problemas resueltos

P1. Hallar el centro de masa de un sistema constituido por las masas $m_1=13$ , $m_2=8$ , $m_3=6$ y $m_4=11$ , colocadas en los puntos $(5, -3)$ , $(1, 2)$ , $(-8, 4)$ y $(-4, -7)$ , respectivamente.

Solución.

El momento $M_x$ respecto al eje $x$ es

$\displaystyle M_x = \sum_{i=1}^4{m_i y_i} = m_1 y_1+m_2 y_2+m_3 y_3+m_4 y_4$

$\displaystyle M_x=(13)(-3)+(8)(2)+(6)(4)+(11)(-7)$

$M_x=-76$

El momento $M_y$ respecto al eje $y$ es

$\displaystyle M_y = \sum_{i=1}^4{m_i x_i} = m_1 x_1+m_2 x_2+m_3 x_3+m_4 x_4$

$\displaystyle M_y=(13)(5)+(8)(1)+(6)(-8)+(11)(-4)$

$\displaystyle M_x=-19$

La masa total del sistema es

$\displaystyle m = \sum_{i=1}^4{m_i} = m_1+m_2+m_3+m_4$

$m=13+8+6+11$

$m=38$

Y calculando los centros de masa

$\displaystyle \overline{x} = \frac{M_y}{m}$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{-19}{38}$

$\displaystyle \overline{x} = -0.5$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{M_x}{m}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{-76}{38}$

$\displaystyle \overline{y} = -2$

Finalmente, el centro de masa es de $(-0.5, -2)$

Momentos de una superficie

Considerando ahora una placa plana de material (lámina o cartón) cuya masa total está distribuida uniformemente por la placa, es decir, su densidad es la misma en todos sus puntos (realmente la placa sería tridimensional, pero se considerará como una superficie). Si se sabe que el punto de equilibrio de una lámina circular es su centro y que el de una superficie rectangular es su centro geométrico, se define el centro de masa $(\overline{x},\overline{y})$ de una lámina como el punto de equilibrio de un sistema finito de partículas.

Considerando la figura 4.8.4, se tiene una lámina de densidad constante ρ. El rectángulo representativo se ha obtenido subdividiendo el intervalo cerrado $[a, b]$ en $n$ subintervalos de acuerdo con ∆x; se representa el centro de masa del i-ésimo rectángulo con el punto $(x_i,y_i )$ y aplicando la fórmula del punto medio. Entonces

$\displaystyle y_i = \frac{f(x_i )+g(x_i )}{2}$

figura 4.8.4

La masa del i-ésimo rectángulo es

masa=densidad · area

$masa = \rho \cdot \Delta A_i$

$\displaystyle masa = \rho \cdot [f(x_i )-g(x_i )]\Delta x$

$latex masa = \rho \cdot [f(x_i )-g(x_i )] \Delta x

La masa total de la superficie se puede estimar con

$\displaystyle m = \sum_{i=1}^n{\rho \cdot [f(x_i )-g(x_i )]\Delta x}$

Tomando el límite en ambos miembros, se brinda la definición de masa

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{m} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^n{\rho \cdot [f(x_i )-g(x_i )]\Delta x}}$

$\displaystyle m = \int_a^b{\rho \cdot [f(x)-g(x)]dx}$

$\displaystyle m = \rho \int_a^b{[f(x)-g(x)]dx} = \rho \cdot A = \rho A$

Aquí $A$ es el área de la lámina.

El momento respecto del eje $x$ del i-ésimo rectángulo es

momento = (masa)(brazo del momento)

momento = $(\rho \Delta A_i )(y_i )$

momento = $\rho [f(x_i )-g(x_i )]\Delta x \left[\frac{f(x_i )+g(x_i )}{2} \right]$

momento = $\displaystyle \frac{\rho}{2} \left\{[f(x_i )]^2-[g(x_i )]^2 \right\} \Delta x$

Sumando todos estos momentos y haciendo que n→∞, se obtiene el momento respecto del eje $x$ definido por

$\displaystyle M_x = \int_a^b{\frac{\rho}{2} \left\{[f(x)]^2-[g(x)]^2 \right\} dx}$

$\displaystyle M_x = \frac{\rho}{2} \int_a^b{ \left\{[f(x)]^2-[g(x)]^2 \right\} dx}$

Asimismo, el momento respecto al eje $y$ es

$\displaystyle M_y = \int_a^b{\frac{\rho}{2} x[f(x)-g(x)] dx}$

$\displaystyle M_y = \frac{\rho}{2} \int_a^b{x[f(x)-g(x)] dx}$

Por lo que, el centro de masa es

$\displaystyle \overline{x} = \frac{M_y}{m}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{M_x}{m}$

Problemas resueltos

P1. Hallar el centro de masa de la lámina de densidad uniforme ρ limitada por $y=9-x$ y el eje $x$ .

Solución.

Se grafica la función.

figura 4.8.5

En la figura, se tomarán los límites para la integral desde -3 hasta 3. Después, las funciones a considerar son $f(x)=9-x^2$ y $g(x)=0$ . Y sustituyendo en la fórmula para determinar la masa total

$\displaystyle m = \rho \int_a^b{[f(x)-g(x)]dx}$

$\displaystyle m = \rho \int_{-3}^3{[(9-x^2 )-(0)]dx} = \rho \int_{-3}^3{(9-x^2 ) \, dx}$

$\displaystyle m = \rho \left[9x-\frac{1}{3} x^3 \right]_{-3}^3 = \rho \left[9(3)-\frac{1}{3} (3)^3 \right] - \rho \left[9(-3) - \frac{1}{3} {(-3)}^3 \right]$

$\displaystyle m = \rho (27-9) - \rho (-27+9) = 18 \rho + 18 \rho$

$m=36\rho$

Calculando el momento respecto al eje $x$

$\displaystyle M_x = \frac{\rho}{2} \int_a^b{\left\{[f(x)]^2-[g(x)]^2 \right\} \, dx}$

$\displaystyle M_x = \frac{\rho}{2} \int_{-3}^3{ \left[ (9-x^2 )^2-(0)^2 \right] \, dx} = \frac{\rho}{2} \int_{-3}^3{(81-18x^2+x^4 ) \, dx}$

$\displaystyle = \frac{\rho}{2} \left[81x-6x^3 + \frac{1}{5} x^5 \right]_{-3}^3 = \frac{\rho}{2} \left[81(3)-6(3)^3 + \frac{1}{5} (3)^5 \right] - \frac{\rho}{2} \left[ 81(-3)-6(-3)^3+\frac{1}{5} (-3)^5 \right]$

$\displaystyle = \frac{\rho}{2} \left[81(3)-6(27)+\frac{1}{5} (243)\right] - \frac{\rho}{2} \left[81(-3)-6(-27)+\frac{1}{5} (-243)\right]$

$\displaystyle = \frac{\rho}{2} (243-162+\frac{243}{5}) - \frac{\rho}{2} (-243+162-\frac{243}{5}) = \frac{\rho}{2} (\frac{648}{5}) + \frac{\rho}{2} (\frac{648}{5})$

$\displaystyle M_x = \frac{648}{5} \rho$

Calculando el momento respecto al eje $y$

$\displaystyle M_y = \frac{\rho}{2} \int_a^b{x[f(x)-g(x)] \, dx} = \frac{\rho}{2} \int_{-3}^3{x[(9-x^2 )-(0)] \, dx}$

$\displaystyle = \frac{\rho}{2} \int_{-3}^3{x(9-x^2 ) \, dx} = \frac{\rho}{2} \int_{-3}^3{(9x-x^3 ) \, dx} = \frac{\rho}{2} \left[\frac{9}{2} x^2 - \frac{1}{4} x^4 \right]_{-3}^3$

$\displaystyle = \frac{\rho}{2} \left[\frac{9}{2} (3)^2 - \frac{1}{4} (3)^4 \right] - \frac{\rho}{2} \left[\frac{9}{2} (-3)^2 - \frac{1}{4} (-3)^4 \right] = \frac{\rho}{2} \left[\frac{9}{2} (9) - \frac{1}{4} (81)\right] - \frac{\rho}{2} \left[\frac{9}{2} (9) - \frac{1}{4} (81)\right]$

$M_y=0$

Y calculando el centro de masa

$\displaystyle \overline{x} = \frac{M_y}{m}$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{0}{36 \rho}$

$\overline{x} = 0$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{M_x}{m}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{\frac{648}{5} \rho}{36 \rho}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{18}{5} \rho$

Por tanto, el centro de masa es

$\displaystyle \therefore (\overline{x},\overline{y} ) = (0,\frac{18}{5} \rho)$

Nota: Se debe tener presente que el centro de masa de una lámina uniforme sólo depende de la forma de ésta, no de su densidad.

En general, si una figura plana tiene un centro de simetría, ese punto es el centro de gravedad. Además, si una figura plana tiene un eje de simetría, el centro de gravedad estará en ese eje.

Generalizando, a la fórmula del centro de masas de una lámina cuando se calcula el centro de una región sin masa del plano se llama centroide o centro de gravedad de esa región. Con base en la figura 4.8.5, se observa que la superficie $AMPNB$ que se divide en $n$ rectángulos, cada uno con base $\Delta x$ . Sean $dA$ su área y $C(h,k)$ las coordenadas de su centro de gravedad.

figura 4.8.6

Entonces

$dA=y \, dx$

$h=x$

$\displaystyle k = \frac{1}{2} y$

El momento de la superficie de este rectángulo básico con respecto a $OX$ (también $OY$ ) es el producto de su área por la distancia de su centro de gravedad a $OX$ (también $OY$ ). Si dichos momentos son respectivamente $dM_x$ y $dM_y$ , entonces:

$dM_x=k \, dA$

$dM_y=h \, dA$

El momento de la superficie de la figura $AMPNB$ se obtiene al aplicar el teorema fundamental del cálculo integral a la suma de los momentos de las superficies de los rectángulos fundamentales. De esta manera se tiene los siguiente

$\displaystyle \int{dM_x} = \int{k \, dA}$

$\displaystyle M_x = \int{k \, dA}$

$\displaystyle \int{dM_y} = \int{h \, dA}$

$\displaystyle M_y = \int{h \, dA}$

Si $(\overline{x}, \overline{y} )$ son las coordenadas del centro de gravedad de la superficie $AMPNB$ y $A$ es su área, las relaciones entro los momentos de superficie y $\overline{x}$ y $\overline{y}$ se expresan con

$A\overline{x} = M_y$

$A \overline{y} = M_x$

Con el fin de calcular $(\overline{x},\overline{y} )$ , se hallarán lo momentos $M_x$ y $M_y$ .

Según $dA=y \, dx$ , $h=x$ , $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ y$ y $\displaystyle M_x = \int{k \, dA}$ , $\displaystyle M_y=\int{h \, dA}$ , éstos son, para la superficie $AMPNB$

$\displaystyle M_x = \frac{1}{2} \int_a^b{y^2 \, dx}$

$\displaystyle M_x = \frac{1}{2} \int_a^b{ \left\{ [f(x)]^2-[g(x)]^2 \right\} \, dx}$

$\displaystyle M_y = \int_a^b{xy \, dx}$

$\displaystyle M_y = \int_a^b{x[f(x)-g(x)] \, dx}$

Donde debe sustituirse el valor de $y$ en función de $x$ deducido por la ecuación de la curva $MPN$ de la figura 4.8.5.

Si se conoce el área $A$ , entonces de $A \overline{x}=M_y$ y $A \overline{y} = M_x$ , se expresa lo siguiente

$\displaystyle \overline{x} = \frac{M_y}{A}$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{ \int_a^b{x[f(x)-g(x)] \, dx}}{A}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{M_x}{A}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{\frac{1}{2} \int_a^b{ \left\{[f(x)]^2-[g(x)]^2 \right\} \, dx}}{A}$

Si los rectángulos fundamentales de la curva son respecto del eje $y$ , se tiene que $C(h,k)$ , $\displaystyle h=\frac{1}{2} x$ , $y=k$ , $dM_x=k \, dA$ , $dM_y=h \, dA$ , $\displaystyle M_x=\int{k \, dA}$ , $\displaystyle M_y= \int{k \, dA}$ , entonces $\displaystyle A\overline{x} = M_y$ y $\displaystyle A\overline{y}=M_x$ , y

$\displaystyle M_x = \int_c^d{xy \, dy}$

$\displaystyle M_x = \int_c^d{[f(y)-g(y)]y \, dy}$

$\displaystyle M_y = \frac{1}{2} \int_c^d{x^2 \, dy}$

$\displaystyle M_y = \frac{1}{2} \int_c^d{ \left\{[f(y)]^2-[g(y)]^2 \right\} \, dy}$

Y su centro de gravedad es

$\displaystyle \overline{x} = \frac{M_y}{A}$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{\int_c^d{[f(y)-g(y)]y \, dy}}{A}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{M_x}{A}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{\frac{1}{2} \int_c^d{ \left\{[f(y)]^2-[g(y)]^2 \right\} \, dy}}{A}$

Nota: todo este procedimiento está basado en la condición $f(x) \ge g(x)$ pero si $g(x) \ge f(x)$ sólo basta con invertir las funciones (lo mismo aplica para las funciones $f(y)$ y $g(y)$ ).

Problemas resueltos

P1. Hallar el centro de gravedad de cada una de las superficies limitadas por las siguientes curvas $y=x^2-2x-3$ y $y=6x-x^2-3$ .

Solución.

Asignando a $f(x)=x^2-2x-3$ y a $layex g(x)=6x-x^2-3$, se grafican ambas funciones.

figura 4.8.7

De ambas funciones, se observa que $g(x) > f(x)$ . Después, se determinan los valores de $x$ en donde las funciones presentan puntos de intersección.

$\displaystyle f(x)=g(x)$

$\displaystyle x^2-2x-3=6x-x^2-3$

$2x^2-8x=0$

$2x(x-4)=0$

Entonces, los valores son $x=0$ y $x=4$ , por tanto, estos valores serán los límites inferior y superior. Luego, calculando el área de la región sombreada resulta

$\displaystyle A = \int_a^b{[f(x)-g(x)] \, dx}$

Pero como $g(x) \ge f(x)$

$\displaystyle A = \int_a^b{[g(x)-f(x)] \, dx}$

Continuando

$\displaystyle A = \int_0^4{[(6x-x^2-3)-(x^2-2x-3)] \, dx} = \int_0^4{(6x-x^2-3-x^2+2x+3) \, dx}$

$\displaystyle = \int_0^4{(8x-2x^2 ) \, dx} = \left[4x^2 - \frac{2}{3} x^3 + C\right]_0^4$

$\displaystyle = \left[4(4)^2 - \frac{2}{3} (4)^3+C \right] - \left[4(0)^2 - \frac{2}{3} (0)^3 + C\right] = \left(64 - \frac{128}{3} \right)-(0)$

$\displaystyle A = \frac{64}{3}$

Calculando el momento $M_x$

$\displaystyle M_x = \frac{1}{2} \int_a^b{ \left\{[f(x)]^2-[g(x)]^2 \right\} dx}$

Pero como $g(x) \ge f(x)$

$\displaystyle M_x = \frac{1}{2} \int_a^b{ \left\{[g(x)]^2-[f(x)]^2\right\} \, dx}$

Continuando

$\displaystyle M_x = \frac{1}{2} \int_0^4{ [(6x-x^2-3)^2-(x^2-2x-3)^2 ] \, dx}$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \int_0^4{[(36x^2+x^4+9-12x^3-36x+6x^2 )-(x^4+4x^2+9-4x^3-6x^2+12x)] \, dx}$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \int_0^4{[(x^4-12x^3+42x^2-36x)-(x^4-4x^3-2x^2+12x)] \, dx}$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \int_0^4{(x^4-12x^3+42x^2-36x-x^4+4x^3+2x^2-12x) \, dx}$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \int_0^4{(-8x^3+44x^2-48x) \, dx} = \frac{1}{2} \left[-2x^4 + \frac{44}{3} x^3-24x^2 \right]_0^4$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \left[-2(4)^4 + \frac{44}{3} (4)^3-24(4)^2 \right] - \frac{1}{2} \left[-2(0)^4+\frac{44}{3} (0)^3-24(0)^2 \right]$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \left[-2(256) + \frac{44}{3} (64)-24(16)\right] - \frac{1}{2} (0) = \frac{1}{2} (-512+\frac{2816}{3}-384) = \frac{1}{2} (\frac{128}{3})$

$\displaystyle M_x = \frac{64}{3}$

Calculando el momento $M_y$

$\displaystyle M_y = \int_a^b{x[f(x)-g(x)] \, dx}$

Pero como $g(x) \ge f(x)$

$\displaystyle M_y = \int_a^b{x[g(x)-f(x)] \, dx}$

Continuando

$\displaystyle M_y = \int_0^4{x[(6x-x^2-3)-(x^2-2x-3)] \, dx}$

$\displaystyle = \int_0^4{x(6x-x^2-3-x^2+2x+3) \, dx} = \int_0^4{x(8x-2x^2 ) \, dx}$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \int_0^4{(8x^2-2x^3 ) \, dx} = \frac{1}{2} \left[\frac{8}{3} x^3-\frac{1}{2} x^4 \right]_0^4$

$\displaystyle = \left[\frac{8}{3} (4)^3-\frac{1}{2} (4)^4 \right]-\left[\frac{8}{3} (0)^3-\frac{1}{2} (0)^4 \right] = (\frac{512}{3}-\frac{256}{2})-(0) = \frac{128}{3}$

$\displaystyle M_y = \frac{128}{3}$

Calculando las coordenadas del centro de gravedad

$\displaystyle \overline{x} = \frac{M_y}{A}$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{\frac{128}{3}}{\frac{64}{3}}$

$\displaystyle \overline{x} = 2$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{M_x}{A}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{\frac{64}{3}}{\frac{64}{3}}$

$\overline{y} = 1$

Finalmente, el centro de gravedad de la región sombreada es

$(\overline{x} , \overline{y}) = (2,1)$

P2. Hallar el centro de gravedad del área en el primer cuadrante de la hipocicloide $x=a \cos^3{\theta}$ y $y =a \sin^3{\theta}$ .

Solución. Considerando que $a=1$ , se grafican las ecuaciones paramétricas

figura 4.8.8

figura 4.8.9

Analizando sólo el primer cuadrante

figura 4.8.10

Ahora, sólo basta investigar los límites inferior y superior. Para ello, se utilizará la siguiente identidad

$x^2+y^2=1$

Sustituyendo (aun tomando en cuenta que $a=1$ )

$\displaystyle (\cos^3{\theta} )^2+(\sin^3{\theta})^2=1$

$\displaystyle (\cos^3{\theta} )^2+(\sin^2{\theta})^3=1$

$\displaystyle (\cos^3{\theta})^2 + (1-\cos^2{\theta} )^3=1$

$\displaystyle (\cos^6{\theta})+(1-3 \cos^2{\theta}+3 \cos^4{\theta}-\cos^6{\theta} )=1$

$\displaystyle 3 \cos^4{\theta} - 3 \cos^2{\theta} + 1 = 1$

$\displaystyle 3 \cos^4{\theta} - 3 \cos^2{\theta} = 0$

$\displaystyle 3 \cos^4{\theta} = 3 \cos^2{\theta}$

$\displaystyle \cos^2{\theta} = 1$

$\displaystyle \cos{\theta} = 1$

$\displaystyle \theta = \arccos{(1)} = 0$

Se tomará la fórmula

$\displaystyle A = \int_c^d{x \, dy}$

Los límites inferior y superior son $c=0$ y $\displaystyle d=\frac{\pi}{2}$ . Antes de aplicar la fórmula, se determinará lo siguiente

$y=a \sin^3{\theta}$

$\displaystyle \frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2{\theta} \cos{\theta}$

$\displaystyle dy = 3a \sin^2{\theta} \cos{\theta} \, d\theta$

Sustituyendo

$\displaystyle A = \int_c^d{x \, dy} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(a \cos^3{\theta} )(3a \sin^2{ \theta} \cos{\theta} \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos^4{\theta} \sin^2{\theta} \, d\theta} = 3a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(\cos^2{\theta})^2 \sin^2{\theta} \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \cos{2\theta})^2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{2\theta}) \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos{2\theta} + \frac{1}{4} \cos^2{2\theta})(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos{2\theta}) \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{[\frac{1}{4}+\frac{1}{2} \cos{2\theta} + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos{4\theta})](\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{2\theta}) \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos{2\theta} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cos{4\theta})(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{2\theta}) \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(\frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos{2\theta} + \frac{1}{8} \cos{4\theta})(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{2\theta}) \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(\frac{3}{16} - \frac{3}{16} \cos{2\theta} + \frac{1}{4} \cos{2\theta} - \frac{1}{4} \cos^2{2\theta} + \frac{1}{16} \cos{4\theta} - \frac{1}{16} \cos{4\theta} \cos{2\theta}) \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{[\frac{3}{16} + \frac{1}{16} \cos{2\theta} - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos{4\theta}) + \frac{1}{16} \cos{4\theta} - \frac{1}{16} \cos{4\theta} \cos{2\theta}] \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(\frac{3}{16} + \frac{1}{16} \cos{2\theta} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} \cos{4\theta} + \frac{1}{16} \cos{4\theta} - \frac{1}{16} \cos{4\theta} \cos{2\theta}) \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(\frac{1}{16} + \frac{1}{16} \cos{2\theta} - \frac{1}{16} \cos{4\theta} - \frac{1}{16} \cos{4\theta} \cos{2\theta}) \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^2 \left[\frac{1}{16} \theta + \frac{1}{32} \sin{2\theta} - \frac{1}{64} \sin{4\theta} - \frac{1}{16} \left[ \frac{1}{2(4+2)} \sin{(4+2)\theta} + \frac{1}{2(4-2)} \sin{(4-2)\theta} \right] \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$

$\displaystyle = 3a^2 \left[\frac{1}{16} \theta + \frac{1}{32} \sin{2\theta} - \frac{1}{64} \sin{4\theta} - \frac{1}{192} \sin{6\theta} - \frac{1}{64} \sin{2\theta} \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$

$\displaystyle = 3a^2 \left[\frac{1}{16} (\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{32} \sin{2(\frac{\pi}{2})} - \frac{1}{64} \sin{4(\frac{\pi}{2})} - \frac{1}{192} \sin{6(\frac{\pi}{2})} - \frac{1}{64} \sin{2(\frac{\pi}{2})} \right] - 3a^2 \left[\frac{1}{16} (0) + \frac{1}{32} \sin{2(0)} - \frac{1}{64} \sin{4(0)} - \frac{1}{192} \sin{6(0)} - \frac{1}{64} \sin{2(0)} \right]$

$\displaystyle = 3a^2 \left[\frac{\pi}{32} + \frac{1}{32} \sin{\pi} - \frac{1}{64} \sin{2\pi} - \frac{1}{192} \sin{3\pi} - \frac{1}{64} \sin{\pi} \right] - 3a^2 \left[(0) + \frac{1}{32} \sin{0} - \frac{1}{64} \sin{0} - \frac{1}{192} \sin{0} - \frac{1}{64} \sin{0} \right]$

$\displaystyle = 3a^2 (\frac{\pi}{32}) - 3a^2 (0) = \frac{3\pi}{32} a^2$

$\displaystyle A = \frac{3\pi}{32} a^2$

Calculando el momento $M_x$

$\displaystyle M_x = \int_c^d{xy \, dy} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(a \cos^3{\theta})(a \sin^3{\theta})(3a \sin^2{\theta} \cos{\theta}) \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^5{\theta} \cos^4{\theta} \, d\theta} = 3a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^5{\theta} \cos^4{\theta} \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^4{\theta} \sin{\theta} \cos^4{\theta} \, d\theta} = 3a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(1-\cos^2{\theta} )^2 \sin{\theta} \cos^4{\theta} \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(1 - 2 \cos^2{\theta} + \cos^4{\theta}) \sin{\theta} \cos^4{\theta} \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(\cos^4{\theta} - 2 \cos^6{\theta} + \cos^8{\theta}) \sin{\theta} \, d\theta}$

$\displaystyle = 3a^3 \left[-\frac{1}{5} \cos^5{\theta} + \frac{2}{7} \cos^7{\theta} - \frac{1}{9} \cos^9{\theta} + C \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$

$\displaystyle = 3a^3 \left[-\frac{1}{5} \cos^5{\frac{\pi}{2}} + \frac{2}{7} \cos^7{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{9} \cos^9{\frac{\pi}{2}} + C \right] - 3a^3 \left[-\frac{1}{5} \cos^5{0} + \frac{2}{7} \cos^7{0} - \frac{1}{9} \cos^9{0} + C \right]$

$\displaystyle = 3a^3 \left[-\frac{1}{5} (0) + \frac{2}{7} (0) - \frac{1}{9} (0) \right] - 3a^3 \left[-\frac{1}{5} (1) + \frac{2}{7} (1) - \frac{1}{9} (1)\right]$

$\displaystyle = -3a^3 (-\frac{1}{5} + \frac{2}{7} - \frac{1}{9}) = -3a^3 (-\frac{8}{315}) = \frac{24}{315} a^3$

$\displaystyle M_x = \frac{24}{315} a^3$

Calculando el momento $M_y$

$\displaystyle M_y = \frac{1}{2} \int_c^d{x^2 \, dy} = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(a \cos^3{\theta})^2 (3a \sin^2{\theta} \cos{\theta} \, d\theta})$

$\displaystyle = \frac{3}{2} a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos^6{\theta} \sin^2{\theta} \, d\theta} = \frac{3}{2} a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(\cos^2{\theta})^3 \sin^2{\theta} \, d\theta}$

$\displaystyle = \frac{3}{2} a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(1 - \sin^2{\theta})^3 \cos{\theta} \sin^2{\theta} \, d\theta}$

$\displaystyle = \frac{3}{2} a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(1 - 3\sin^2{\theta} + 3 \sin^4{\theta} - \sin^6{\theta}) \cos{\theta} \sin^2{\theta} \, d\theta}$

$\displaystyle = \frac{3}{2} a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(\sin^2{\theta} - 3 \sin^4{\theta} + 3 \sin^6{\theta} - \sin^8{\theta}) \cos{\theta} \, d\theta}$

$\displaystyle = \frac{3}{2} a^3 \left[\frac{1}{3} \sin^3{\theta} - \frac{3}{5} \sin^5{\theta} + \frac{3}{7} \sin^7{\theta} - \frac{1}{9} \sin^9{\theta} + C \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$

$\displaystyle = \frac{3}{2} a^3 \left[ \frac{1}{3} \sin^3{\frac{\pi}{2}} - \frac{3}{5} \sin^5{\frac{\pi}{2}} + \frac{3}{7} \sin^7{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{9} \sin^9{\frac{\pi}{2}} \right] - \frac{3}{2} a^3 \left[\frac{1}{3} \sin^3{0} - \frac{3}{5} \sin^5{0} + \frac{3}{7} \sin^7{0} - \frac{1}{9} \sin^9{0} \right]$

$\displaystyle = \frac{3}{2} a^3 \left[ \frac{1}{3} \sin^3{\frac{\pi}{2}} - \frac{3}{5} \sin^5{\frac{\pi}{2}} + \frac{3}{7} \sin^7{\frac{pi}{2}} - \frac{1}{9} \sin^9{\frac{\pi}{2}} \right] - \frac{3}{2} a^3 \left[\frac{1}{3} \sin^3{0} - \frac{3}{5} \sin^5{0} + \frac{3}{7} \sin^7{0} - \frac{1}{9} \sin^9{0} \right]$

$\displaystyle = \frac{3}{2} a^3 (\frac{1}{3} - \frac{3}{5} + \frac{3}{7} - \frac{1}{9}) - \frac{3}{2} a^3 (0) = \frac{3}{2} a^2 (\frac{16}{315})$

$\displaystyle M_y = \frac{24}{315} a^3$

Calculando las coordenadas del centro de gravedad

$\displaystyle \overline{x} = \frac{M_y}{A}$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{\frac{24}{315} a^3}{\frac{3\pi}{32} a^2}$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{256}{315 \pi} a$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{M_x}{A}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{\frac{24}{315} a^3}{\frac{3\pi}{32} a^2}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{256}{315\pi} a$

Finalmente, la coordenada del centro de gravedad del área de la hipocicloide es

$\displaystyle \therefore (\overline{x},\overline{y}) = (\frac{256}{315\pi}a , \frac{256}{315\pi} a)$

Centro de gravedad de un sólido de revolución

El centro de gravedad mecánico de un sólido homogéneo coincide con el centro de gravedad geométrico de dicho cuerpo. Si el sólido tiene un plano de simetría, el centro de gravedad se localizará en dicho plano.

Para obtener una definición analítica del centro de gravedad de un sólido de revolución, se considera la figura 4.8.6, donde $OX$ es el eje geométrico del sólido. El centro de gravedad estará en este eje. Sea $dv$ un elemento de volumen, es decir, un cilindro de revolución de altura $\Delta x$ y radio $y$ . Entonces $dv = \pi y^2 \Delta x$ .

El momento de este cilindro con respecto al plano que pasa por $OY$ perpendicular a $OX$ es: $dM_y=x dv= \pi xy^2 Delta x$ .

figura 4.8.12

El momento del sólido se determina mediante el teorema fundamental del cálculo, y $\overline{x}$ se obtiene por

$\displaystyle V \, \overline{x} = M_y = \int_a^b{\pi xy^2 \, dx} = \pi \int_a^b{xy^2 \, dx}$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{M_y}{V} = \frac{\pi \int_a^b{xy^2 \, dx}}{V}$

El momento del cilindro con respeto al plano que pasa por $OX$ perpendicular a $OY$ es:

$\displaystyle dM_x = y \, dv = \pi x^2 y \, dy$ , ya que $dv=\pi x^2 \Delta y$ .

El momento del sólido se determina mediante el teorema fundamental del cálculo, y $y$ se obtiene por

$\displaystyle V \, \overline{y} = M_x = \int_a^b{ \pi x^2 y \, dy} = \pi \int_a^b{x^2 y \, dy}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{M_x}{V} = \frac{\pi \int_a^b{x^2 y \, dy}}{V}$

Problemas resueltos

P1. Calcular el centro de gravedad del sólido de revolución generado al girar el área limitada por $OX$ y las curvas $ay=x^2$ y $x=a$ .

Solución.

Se despeja la variable $y$ de la ecuación $ay=x^2$

$ay=x^2$

$\displaystyle y = \frac{x^2}{a}$

Después, se calcula el volumen del sólido de revolución en el eje $x$

$\displaystyle V_x = \pi \int_a^b{y^2 \, dx} = \pi \int_0^a{(\frac{x^2}{a})^2 \, dx} = \frac{\pi}{a^2} \int_0^a{x^4 \, dx}$

$\displaystyle = \frac{\pi}{a^2} \left[\frac{1}{5} x^5 + C\right]_0^a = \frac{\pi}{a^2} \left[\frac{1}{5} (a)^5 + C \right] - \frac{\pi}{a^2} \left[\frac{1}{5} (0)^5 + C\right]$

$\displaystyle = \frac{\pi}{a^2} (\frac{a^5}{5}) - \frac{\pi}{a^2} (0) = \frac{\pi}{5} a^3$

$\displaystyle V = V_x = \frac{\pi}{5} a^3$

Calculando el momento del sólido en el eje $x$

$\displaystyle M_y = \pi \int_a^b{xy^2 \, dx} = \pi \int_0^a{x(\frac{x^2}{a})^2 \, dx}$

$\displaystyle = \pi \int_0^a{x(\frac{x^4}{a^2} ) \, dx} = \frac{\pi}{a^2} \int_0^a{x^5 \, dx}$

$\displaystyle = \frac{\pi}{a^2} \left[\frac{1}{6} x^6 + C \right]_0^a = \frac{\pi}{a^2} \left[\frac{1}{6} (a)^6 \right] - \frac{\pi}{a^2} \left[\frac{1}{6} (0)^6 \right] = \frac{\pi}{6} a^4$

Calculando la coordenada del centro de gravedad

$\displaystyle \overline{x} = \frac{M_y}{V}$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{\frac{\pi}{6} a^4}{\frac{\pi}{5} a^3}$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{5}{6} a$

Y para $\overline{y}$ será 0.

Finalmente, la coordenada del centro de gravedad del sólido es

$\displaystyle \therefore (\overline{x},\overline{y} ) = (\frac{5}{6} a,0)$

P2. Calcular el centro de gravedad del sólido de revolución generado al girar el área limitada por $OY$ y las curvas $x^2-y^2=1$ , $y=0$ , $y=1$ .

Solución.

De la ecuación $x^2-y^2=1$ , se despeja $x^2$

$\displaystyle x^2-y^2=1$

$\displaystyle x^2=1+y^2$

Después, se calcula el volumen del sólido de revolución en el eje $y$ .

$\displaystyle V_y = \pi \int_c^d{x^2 \, dy} = \pi \int_0^1{(1+y^2 ) \, dy}$

$\displaystyle = \pi \left[y + \frac{1}{3} y^3 + C \right]_0^1 = \pi \left[(1)+\frac{1}{3} (1)^3 + C \right] - \pi \left[(0) + \frac{1}{3} (0)^3 + C \right]$

$\displaystyle = \pi (1+\frac{1}{3})-\pi (0) = \frac{4}{3} \pi$

$\displaystyle V=V_y = \frac{4}{3} \pi$

Calculando el momento del sólido en el eje $y$

$\displaystyle M_x = \pi \int_c^d{x^2 y \, dy} = \pi \int_0^1{(1+y^2 )y \, dy}$

$\displaystyle = \pi \int_0^1{(y+y^3 ) \, dy} = \pi \left[\frac{1}{2} y^2 + \frac{1}{4} y^4 + C \right]_0^1$

$\displaystyle = \pi \left[ \frac{1}{2} (1)^2 + \frac{1}{4} (1)^4 \right] - \pi \left[\frac{1}{2} (0)^2 + \frac{1}{4} (0)^4 \right] = \pi (\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \pi (0) = \frac{3}{4} \pi$

$\displaystyle M_x = \frac{3}{4} \pi$

Calculando la coordenada del centro de gravedad

$\displaystyle \overline{y} = \frac{M_x}{V}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{\frac{3}{4} \pi)}{\frac{4}{3} \pi}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{9}{16}$

Y para $\overline{x}$ será 0.

Finalmente, la coordenada del centro de gravedad del sólido es

$\displaystyle \therefore (\overline{x},\overline{y}) = (0,\frac{9}{16})$

Obtención de centros de gravedad de superficies planas. Cálculo integral

Momento para un sistema lineal

Problemas resueltos

Momento para un sistema bidimensional

Problemas resueltos

Momentos de una superficie

Problemas resueltos

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Centro de gravedad de un sólido de revolución

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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