Introducción

A continuación se mencionan algunas fórmulas de desarrollo en serie en potencias de la variable x y la constante a.

Serie de Taylor

La serie de Taylor es

\displaystyle f(x) = f(a) + \frac{1}{1!} f'(a) \cdot (x-a) + \frac{1}{2!} f''(a) \cdot (x-a)^2 + \cdots + \frac{1}{n!} f^{n)}(\epsilon) \cdot (x-a)^n

Donde el último término es el resto de Lagrange, y suponiendo que tiende a 0 cuando n tiende a \infty para a<\epsilon<x.

Esto será válido si f(x) tiene sus n primeras derivadas continuas en el intervalo que contiene x=a (en un entorno de x=a).

Integrando la serie de Taylor (en ambos miembros) desde x=a hasta x=x, resulta

\displaystyle \int_{a}^{x}{f(x) \, dx} =

\displaystyle = \int_{a}^{x}{f(a) \, dx} + \int_{a}^{x}{\frac{1}{1!} f'(a) \cdot (x-a) , dx} + \int_{a}^{x}{\frac{1}{2!} f''(a) \cdot (x-a)^2 \, dx} + \cdots + \int_{a}^{x}{\frac{1}{n!} f^{n)}(\epsilon) \cdot {(x-a)}^n \, dx}

\displaystyle = f(a) \int_{a}^{x}{dx} + \frac{1}{1!} f'(a) \int_{a}^{x}{(x-a) \, dx} + \frac{1}{2!} f''(a) \int_{a}^{x}{(x-a)^2 \, dx} + \cdots + \frac{1}{n!} f^{n)}(\epsilon) \int_{a}^{x}{{(x-a)}^n \, dx}

\displaystyle = f(a) \cdot (x-a) + \frac{1}{2 \cdot 1!} f'(a) \cdot (x-a)^2 + \frac{1}{3 \cdot 2!} f''(a) (x-a)^3 + \cdots + \frac{1}{(n+1) \cdot n!} f^{n)}(\epsilon) {(x-a)}^{n+1}

\displaystyle = f(a) \cdot (x-a) + \frac{1}{2!} f'(a) \cdot (x-a)^2 + \frac{1}{3!} f''(a) \cdot (x-a)^3 + \cdots + \frac{1}{(n+1)!} f^{n)}(\epsilon) {(x-a)}^{n+1}

\displaystyle = f(a) (x-a) + \frac{f'(a)}{2!} (x-a)^2 + \frac{f''(a)}{3!} (x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{n)}(\epsilon)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}

Serie de Mac-Laurin

La serie de Mac-Laurin es

\displaystyle f(x) = f(0) + \frac{1}{1!} f'(0) \cdot x + \frac{1}{2!} f''(0) \cdot x^2 + \frac{1}{3!} f'''(0) \cdot x^3 + \cdots + \frac{1}{n!} f^{n)}(0) \cdot x^n

Donde el último término es el resto de Lagrange, el cual se va a suponer si tiene a 0 cuando n tiende a \infty para a<\epsilon<x.

Esto será válido si f(x) tiene sus n primeras derivadas continuas en un intervalo que contiene x=0 (en un entorno de x=0).

Al integrar en ambos miembros la serie de Mac-Laurin desde x=0 hasta x=x, resulta lo siguiente

\displaystyle \int_{0}^{x}{f(x) \, dx} =

\displaystyle = \int_{0}^{x}{f(0) \, dx} + \int_{0}^{x}{\frac{1}{1!} f'(0) \cdot x \, dx} + \int_{0}^{x}{\frac{1}{2!} f''(0) \cdot x^2 \, dx} + \cdots + \int_{0}^{x}{\frac{1}{n!} f^{n)}(0) \cdot x^n \, dx}

\displaystyle = f(0) \int_{0}^{x}{dx} + \frac{1}{1!} f'(0) \int_{0}^{x}{x \, dx} + \frac{1}{2!} f''(0) \int_{0}^{x}{x^2 \, dx} + \cdots + \frac{1}{n!} f^{n)}(0) \int_{0}^{x}{x^n \, dx}

\displaystyle = f(0) \cdot x + \frac{1}{2\cdot 1!} f'(0) \cdot x^2 + \frac{1}{3 \cdot 2!} f''(0) \cdot x^3 + \cdots + \frac{1}{(n+1) \cdot n!} f^{n)}(0) \cdot x^{n+1}

\displaystyle = f(0) \cdot x + \frac{1}{2!} f'(0) \cdot x^2 + \frac{1}{3!} f''(0) \cdot x^3 + \cdots + \frac{1}{(n+1)!} f^{n)}(0) \cdot x^{n+1}

\displaystyle = f(0) x + \frac{f'(0)}{2!} x^2 + \frac{f''(0)}{3!} x^3 + \cdots + \frac{f^{n)}(0)}{(n+1)!} x^{n+1}

Esta estrategia puede ayudar resolver ciertas integrales que no se pueden resolver de manera tradicional.

Desarrollo en serie de funciones elementales

Desarrollo en serie de la función de base exponencial

\displaystyle e^{ax} = 1 + (ax) + \frac{1}{2!} (ax)^2 + \frac{1}{3!} (ax)^3 + \cdots + \frac{1}{n!} (ax)^{n}

\displaystyle e^x = e^a \left[ 1 + (x-a) + \frac{1}{2!} (x-a)^2 + \frac{1}{3!} (x-a)^3 + \cdots + \frac{1}{(n-1)!} (x-a)^{n-1} \right]

Desarrollo en serie de la función de base constante

\displaystyle a^x = 1 + x (\ln{a}) + \frac{1}{2!} x^2 (\ln{a})^2 + \frac{1}{3!} (\ln{a})^3 + \cdots + \frac{1}{n!} (\ln{a})^{n}

Desarrollo en serie de la función seno

\displaystyle \sin{ax} = ax - \frac{1}{3!} (ax)^3 + \frac{1}{5!} (ax)^5 - \frac{1}{7!} (ax)^7 + \cdots + (-1)^n \frac{1}{(2n + 1)!} (ax)^{2n + 1}

\displaystyle \sin{x} = \sin{a} + (x-a) \cos{a} - \frac{1}{2!} (x-a)^2 \sin{a} - \frac{1}{3!} (x-a)^3 \cos{a}

Desarrollo en serie de la función coseno

\displaystyle \cos{ax} = 1 - \frac{1}{2!} (ax)^2 + \frac{1}{4!} (ax)^4 - \frac{1}{6!} (ax)^6 + \cdots + (-1)^n \frac{1}{(2n)!} (ax)^{2n}

\displaystyle \cos{x} = \cos{a} - (x-a) \sin{a} - \frac{1}{2!} (x-a)^2 \cos{a} + \frac{1}{3!} (x-a)^3 \sin{a}

Desarrollo en serie de la función logaritmo natural (base e)

\displaystyle \ln{(x + a)} = \ln{a} + \frac{1}{a} x - \frac{1}{2a^2} x^2 + \frac{1}{3a^3} x^3 + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{1}{n \cdot a^n} x^n

\displaystyle \ln{(x+a)} = \ln{a} + \frac{1}{a}(x-a) - \frac{1}{2a^2} (x-a)^2 + \cdots + \frac{(-1)^n}{(n-1)a^{n-1}} (x-a)^{n-1}

En el intervalo -a < x \le a.

Desarrollo en serie de la función arcoseno

\displaystyle \arcsin{ax} = x + \frac{1}{2 \cdot 3} x^3 + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5} x^5 + \cdots + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-3)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n-2)(2n-1)} x^{2n-1}

En el intervalo -1 \le x \le 1.

Desarrollo en serie de la función arcotangente

\displaystyle \arctan{ax} = x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5 - \frac{1}{7} x^7 + \cdots + (-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{2n-1} x^{2n-1}

En el intervalo -1 \le x \le 1.

Desarrollo en serie de la función seno hiperbólico

\displaystyle \sinh{x} = x + \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 + \frac{1}{7!} x^7 + \cdots + \frac{1}{(2n-1)!} x^{2n-1}

Desarrollo en serie de la función coseno hiperbólico

\displaystyle \cosh{x} = 1 + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4 + \frac{1}{6!} x^6 + \cdots + \frac{1}{(2n)!} x^{2n}

Serie binómica o serie de Newton

La serie de Newton es

(1+x)^m = 1 + \left( \begin{matrix} m \ 1 \end{matrix} \right) \cdot x + \left( \begin{matrix} m \ 2 \end{matrix} \right) \cdot x^2 + \left( \begin{matrix} m \ 3 \end{matrix} \right) \cdot x^3 + \cdots

Para |x|<1.

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la siguiente integral \displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{\sin{x}}{x} \, dx}.

Solución. Realizando un acomodo en el integrando

\displaystyle \frac{\sin{x}}{x} = \left(\frac{1}{x} \right) \sin{x}

Se desarrolla en serie la función seno (observando que a=1), resulta

\displaystyle \frac{\sin{x}}{x} = \left(\frac{1}{x} \right) \left[ (1)x - \frac{1}{3!} ((1) \cdot x)^3 + \frac{1}{5!} ((1) \dot x)^5 - \frac{1}{7!} ((1) \cdot x)^7 \right]

\displaystyle \frac{\sin{x}}{x} = \left(\frac{1}{x} \right) \left( x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \frac{1}{7!} x^7 + \cdots \right) = \frac{x}{x} - \frac{1}{3!} \cdot \frac{x^3}{x} + \frac{1}{5!} \cdot \frac{x^5}{x} - \frac{1}{7!} \cdot \frac{x^7}{x}

\displaystyle \frac{\sin{x}}{x} = 1 - \frac{1}{3!} x^2 + \frac{1}{5!} x^4 - \frac{1}{7!} x^6

Integrando

\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{\sin{x}}{x} \, dx} = \int_{0}^{1}{\left(1 - \frac{1}{3!} x^2 + \frac{1}{5!} x^4 - \frac{1}{7!} x^6 + \cdots \right) \, dx}

\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{\sin{x}}{x} \, dx} = \int_{0}^{1}{dx} - \frac{1}{3!}\int_{0}^{1}{x^2 \, dx} + \frac{1}{5!}\int_{0}^{1}{x^4 \, dx} - \frac{1}{7!} \int_{0}^{1}{x^6 \, dx} + \cdots

\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{\sin{x}}{x} \, dx} = [x]_{0}^{1} - \frac{1}{3!} \left[\frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} + \frac{1}{5!} \left[ \frac{1}{5} x^5 \right]_{0}^{1} - \frac{1}{7!} \left[\frac{1}{7} x^7 \right]_{0}^{1} + \cdots

\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{\sin{x}}{x} \, dx} = (1 - 0) - \frac{1}{3!} \left(\frac{1}{3} 1^3 - \frac{1}{3} 0^3 \right) + \frac{1}{5!} \left( \frac{1}{5} 1^5 - \frac{1}{5} 0^5 \right) - \frac{1}{7!} \left( \frac{1}{7} 1^7 - \frac{1}{7} 0^7 \right) + \cdots

\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{\sin{x}}{x} \, dx} = 1 - \frac{1}{3!} \left(\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{5!} \left( \frac{1}{5} \right) - \frac{1}{7!} \left( \frac{1}{7} \right) + \cdots = 1 - \frac{1}{3 \cdot 3!} + \frac{1}{5 \cdot 5!} - \frac{1}{7 \cdot 7!} + \cdots

Finalmente

\displaystyle \therefore \int_{0}^{1}{\frac{\sin{x}}{x} \, dx} = 1 - \frac{1}{3 \cdot 3!} + \frac{1}{5 \cdot 5!} - \frac{1}{7 \cdot 7!} + \cdots

Problema 2. Resolver la integral \displaystyle \int_{a}^{x}{\frac{e^x}{x} \, dx}

Solución. Realizando un acomodo en el integrando

\displaystyle \frac{e^x}{x} = \frac{1}{x} e^x

Se desarrolla en serie la función de base exponencial (donde a=1)

\displaystyle \frac{e^x}{x} = \frac{1}{x} \left( 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \cdots \right)

\displaystyle \frac{e^x}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x} + \frac{1}{2!} \frac{x^2}{x} + \frac{1}{3!} \frac{x^3}{x} + \cdots = \frac{1}{x} + 1 + \frac{1}{2!} x + \frac{1}{3!} x^2 + \cdots

Integrando

\displaystyle \int_{a}^{x}{\frac{e^x}{x} \, dx} = \int_{a}^{x}{ \left( \frac{1}{x} + 1 + \frac{1}{2!} x + \frac{1}{3!} x^2 + \cdots \right) \, dx}

\displaystyle \int_{a}^{x}{\frac{e^x}{x} \, dx} = \int_{a}^{x}{\frac{1}{x} \, dx} + \int_{a}^{x}{dx} + \frac{1}{2!} \int_{a}^{x}{x \, dx} + \frac{1}{3!} \int_{a}^{x}{x^2 \, dx} + \cdots

\displaystyle \int_{a}^{x}{\frac{e^x}{x} \, dx} = \left[ \ln{x} \right]{a}^{x} + \left[ x \right]{a}^{x} + \frac{1}{2!}\left[\frac{1}{2} x^2 \right]{a}^{x} + \frac{1}{3!} \left[\frac{1}{3} x^3 \right]{a}^{x} + \cdots

\displaystyle \int_{a}^{x}{\frac{e^x}{x} \, dx} = \left(\ln{x} - \ln{a} \right) + \left(x - a \right) + \frac{1}{2!} \left(\frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} a^2 \right) + \frac{1}{3!} \left( \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{3} a^3 \right) + \cdots

\displaystyle \int_{a}^{x}{\frac{e^x}{x} \, dx} = \ln{x} - \ln{a} + x - a + \frac{1}{2 \cdot 2!} x^2 - \frac{1}{2 \cdot 2!} a^2 + \frac{1}{3 \cdot 3!} x^3 - \frac{1}{3 \cdot 3!} a^3 + \cdots

\displaystyle \int_{a}^{x}{\frac{e^x}{x} \, dx} = \ln{x} + x + \frac{1}{2 \cdot 2!} x^2 + \frac{1}{3 \cdot 3!} x^3 - \ln{a} - a - \frac{1}{2 \cdot 2!} a^2 - \frac{1}{3 \cdot 3!} a^3 + \cdots

\displaystyle \int_{a}^{x}{\frac{e^x}{x} \, dx} = \left( \ln{x} + x + \frac{1}{2 \cdot 2!} x^2 + \frac{1}{3 \cdot 3!} x^3 + \cdots \right) - \left(\ln{a} + a + \frac{1}{2 \cdot 2!} a^2 + \frac{1}{3 \cdot 3!} a^3 + \cdots \right)

Finalmente

\displaystyle \therefore \int_{a}^{x}{\frac{e^x}{x} \, dx} = \left( \ln{x} + x + \frac{1}{2 \cdot 2!} x^2 + \frac{1}{3 \cdot 3!} x^3 + \cdots \right) - \left(\ln{a} + a + \frac{1}{2 \cdot 2!} a^2 + \frac{1}{3 \cdot 3!} a^3 + \cdots \right)

Problema 3. Resolver la siguiente integral \displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{\ln{(x+1)}}{x} \, dx}

Solución. Realizando un acomodo en el integrando

\displaystyle \frac{\ln{(x+1)}}{x} = \frac{1}{x} \ln{(x+1)}

Desarrollando en serie la función logarítmica (observando que a=1)

\displaystyle \frac{\ln{(x+1)}}{x} = \frac{1}{x} \left( \ln{1} + x - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 - \cdots \right)

\displaystyle \frac{\ln{(x+1)}}{x} = \frac{1}{x} \left(x - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 - \cdots \right) = \frac{x}{x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{x} - \cdots

\displaystyle \frac{\ln{(x+1)}}{x} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} x^2 - \cdots

Integrando

\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{\ln{(x+1)}}{x} \, dx} = \int_{0}^{1}{ \left(1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} x^2 - \cdots \right) \, dx}

\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{\ln{(x+1)}}{x} \, dx} = \int_{0}^{1}{dx} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1}{x \, dx} + \frac{1}{3} \int_{0}^{1}{x^2 \, dx} - \cdots

\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{\ln{(x+1)}}{x} \, dx} = \left[ x \right]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{1} + \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{1} - \cdots

\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{\ln{(x+1)}}{x} \, dx} = \left(1 - 0 \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} 1^2 - \frac{1}{2} 0^2 \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3} 1^3 - \frac{1}{3} 0^3\right) - \cdots

\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{\ln{(x+1)}}{x} \, dx} = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \cdots

Finalmente

\displaystyle \therefore \int_{0}^{1}{\frac{\ln{(x+1)}}{x} \, dx} = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \cdots

O también

\displaystyle \therefore \int_{0}^{1}{\frac{\ln{(x+1)}}{x} \, dx} = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{n^2}}

Problema 4. Resolver la integral \displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}}}

Solución. Realizando un acomodo en el integrando

\displaystyle \int{\frac{dx}{x \sqrt{x^2 - 1}}} = \int{\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} \, dx} = \int{\frac{1}{x} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \, dx}

Por el método de sustitución

\displaystyle \frac{1}{x} = t

Despejando la variable «x«

\displaystyle \frac{1}{t} = x

Y su diferencial es

\displaystyle - \frac{1}{t^2} dt = dx

La integral tiene la siguiente expresión

\displaystyle \int{\frac{1}{x} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \, dx} = \int{ \frac{1}{\frac{1}{t}} \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{t})}^2 - 1}} \cdot (- \frac{1}{t^2}) \, dt}

\displaystyle \int{\frac{1}{x} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \, dx} = - \int{t \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{t^2} - 1}} \cdot \frac{1}{t^2} \, dt} = - \int{\frac{1}{t} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{t^2} - 1}} \, dt}

\displaystyle \int{\frac{1}{x} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \, dx} = - \int{\frac{1}{t} \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - t^2}{t^2}}} \, dt} = - \int{\frac{1}{t} \frac{1}{ \frac{\sqrt{1 - t^2}}{t} } \, dt}

\displaystyle \int{\frac{1}{x} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \, dx} = - \int{\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \, dt} = - \int{\frac{1}{(1 - t^2)^{1/2}} \, dt}

\displaystyle \int{\frac{1}{x} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \, dx} = - \int{(1 - t^2)^{-1/2} \, dt}

Del integrando, se desarrolla en serie utilizando la serie de Newton

\displaystyle (1 - t^2)^{-1/2} = \left[1 + (- t^2) \right]^{-1/2}

\displaystyle (1 - t^2)^{-1/2} = 1 + \left( \begin{matrix} - \frac{1}{2} \ 1 \end{matrix} \right) \cdot (-t^2) + \left( \begin{matrix} - \frac{1}{2} \ 2 \end{matrix} \right) \cdot (-t^2)^2 + \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} \ 3 \end{matrix} \right) \cdot (-t^2)^3 + \cdots

\displaystyle (1 - t^2)^{-1/2} = 1 + \frac{(-\frac{1}{2})}{1!} (-t^2) + \frac{(-\frac{1}{2}) (-\frac{1}{2} - 1)}{2!} (-t^2)^2 + \frac{(-\frac{1}{2}) (-\frac{1}{2} - 1) (-\frac{1}{2} - 2)}{3!} (-t^2)^3 + \cdots

\displaystyle (1 - t^2)^{-1/2} = 1 + \frac{\frac{1}{2}}{1} t^2 + \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{2} t^4 + \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2}}{6} t^6 = 1 + \frac{\frac{1}{2}}{1} t^2 + \frac{\frac{1 \cdot 3}{4}}{2} t^4 + \frac{\frac{1 \cdot 3}{4} \cdot \frac{5}{2}}{6} t^6 + \cdots

\displaystyle (1 - t^2)^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2} t^2 + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} t^4 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} t^6 + \cdots

Entonces

\displaystyle (1 - t^2)^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2} t^2 + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} t^4 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} t^6 + \cdots

Recordando el signo negativo

\displaystyle - (1 - t^2)^{-1/2} = - \left( 1 + \frac{1}{2} t^2 + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} t^4 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} t^6 + \cdots \right)

Integrando, resulta

\displaystyle - \int{(1 - t^2)^{-1/2} \, dt} = - \int{\left(1 + \frac{1}{2} t^2 + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} t^4 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} t^6 + \cdots \right) \, dt}

\displaystyle = - \left( \int{dt} + \frac{1}{2} \int{t^2 \, dt} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int{t^4 \, dt} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \int{t^6 \, dt} \cdots \right)

\displaystyle = - \left(t + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} t^3 + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{1}{5} t^5 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac{1}{7} t^7 + \cdots +C \right)

\displaystyle = - \left(t + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} t^3 + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5} t^5 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} t^7 + \cdots +C \right)

\displaystyle = - t - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} t^3 - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5} t^5 - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} t^7 - \cdots + C

\displaystyle = - t - \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) t^3 - \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5} \right) t^5 - \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} \right) t^7 - \cdots + C

Recordando que \displaystyle t=\frac{1}{x}, el resultado final es

\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}}} = - \int{(1 - t^2)^{-1/2} \, dt}

\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}}} = - t - \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) t^3 - \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5} \right) t^5 - \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} \right) t^7 - \cdots + C

\displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}}} = - \frac{1}{x} - \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) \frac{1}{x^3} - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5} \right) \frac{1}{x^5} - \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} \right) \frac{1}{x^7} - \cdots + C

Problema 5. Resolver la integral de Fresnel \displaystyle \int_{0}^{x}{\sin{x^2} \, dx}

Solución. Aplicando el desarrollo en serie para la función seno (observando que a=1)

\displaystyle \sin{x^2} = (x^2) - \frac{1}{3!} (x^2)^3 + \frac{1}{5!} (x^2)^5 - \frac{1}{7!} (x^2)^7 + \cdots + (-1)^n \frac{1}{(2n + 1)!} (x^2)^{2n + 1}

\displaystyle = x^2 - \frac{1}{3!} x^6 + \frac{1}{5!} x^{10} - \frac{1}{7!} x^{14} + \cdots + (-1)^n \frac{1}{(2n + 1)!} x^{4n + 2}

Integrando

\displaystyle \int_{0}^{x}{\sin{x^2} \, dx} = \int_{0}^{x}{ \left(x^2 - \frac{1}{3!} x^6 + \frac{1}{5!} x^{10} - \frac{1}{7!} x^{14} + \cdots + (-1)^n \frac{1}{(2n + 1)!} x^{4n + 2} \right) \, dx}

\displaystyle = \int_{0}^{x}{x^2 \, dx} - \frac{1}{3!} \int_{0}^{x}{x^6 \, dx} + \frac{1}{5!} \int_{0}^{x}{x^{10} \, dx} - \frac{1}{7!} \int_{0}^{x}{x^{14} \, dx} + \cdots + (-1)^n \frac{1}{(2n + 1)!} \int_{0}^{x}{x^{4n + 2} \, dx}

\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} x^3\right]_{0}^{x} - \frac{1}{3!} \left[ \frac{1}{7} x^7 \right]_{0}^{x} + \frac{1}{5!} \left[\frac{1}{11} x^{11} \right]_{0}^{x} - \frac{1}{7!} \left[ \frac{1}{15} x^{15} \right]_{0}^{x} + \cdots + (-1)^n \frac{1}{(2n+1)!} \left[ \frac{1}{4n + 3}x^{4n + 3}\right]_{0}^{x}

\displaystyle = \left( \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{3} 0^3\right) - \frac{1}{3!} \left( \frac{1}{7} x^7 - \frac{1}{7} 0^7 \right) + \frac{1}{5!} \left( \frac{1}{11} x^{11} - \frac{1}{11} 0^{11} \right) - \frac{1}{7!} \left( \frac{1}{15} x^{15} - \frac{1}{15} 0^{15} \right) + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{1}{(2n+1)!} \left( \frac{1}{4n + 3}x^{4n + 3} - \frac{1}{4n + 3} 0^{4n + 3}\right)

\displaystyle = \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{3!} \cdot \frac{1}{7} x^7 + \frac{1}{5!} \cdot \frac{1}{11} x^{11} - \frac{1}{7!} \cdot \frac{1}{15} x^{15} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{1}{(2n+1)!} \cdot \frac{1}{4n + 3}x^{4n + 3}

\displaystyle = \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{3! \cdot 7} x^7 + \frac{1}{5! \cdot 11} x^{11} - \frac{1}{7! \cdot 15} x^{15} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{1}{(2n+1)! \cdot (4n+3)} x^{4n + 3}

Finalmente

\displaystyle \therefore \int_{0}^{x}{\sin{x^2} \, dx} = \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{3! \cdot 7} x^7 + \frac{1}{5! \cdot 11} x^{11} - \frac{1}{7! \cdot 15} x^{15} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{1}{(2n+1)! \cdot (4n+3)} x^{4n + 3}

Problema 6. Resolver la integral de Fresnel \displaystyle \int_{0}^{x}{\cos{x^2} \, dx}

Solución. Aplicando el desarrollo en serie para la función coseno (observando que a=1)

\displaystyle \cos{x^2} = 1 - \frac{1}{2!} (x^2)^2 + \frac{1}{4!} (x^2)^4 - \frac{1}{6!} (x^2)^6 + \cdots + (-1)^{n} \frac{1}{(2n)!} (x^2)^{2n}

\displaystyle \cos{x^2} = 1 - \frac{1}{2!} x^4 + \frac{1}{4!} x^8 - \frac{1}{6!} x^{12} + \cdots + (-1)^{n} \frac{1}{(2n)!} x^{4n}

Integrando

\displaystyle \int_{0}^{x}{\cos{x^2} \, dx} = \int_{0}^{x}{\left(1 - \frac{1}{2!} x^4 + \frac{1}{4!} x^8 - \frac{1}{6!} x^{12} + \cdots + (-1)^{n} \frac{1}{(2n)!} x^{4n} \right) \, dx}

\displaystyle = \int_{0}^{x}{dx} - \frac{1}{2!} \int_{0}^{x}{x^4 \, dx} + \frac{1}{4!} \int_{0}^{x}{x^8 \, dx} - \frac{1}{6!} \int_{0}^{x}{x^{12} \, dx} + \cdots + (-1)^{n} \frac{1}{(2n)!} \int_{0}^{x}{x^{4n} \, dx}

\displaystyle = \left[x \right]_{0}^{x} - \frac{1}{2!} \left[\frac{1}{5} x^5 \right]_{0}^{x} + \frac{1}{4!} \left[ \frac{1}{9} x^9 \right]_{0}^{x} - \frac{1}{6!} \left[\frac{1}{13} x^{13} \right]_{0}^{x} + \cdots + (-1)^{n} \frac{1}{(2n)!} \left[\frac{1}{4n+1} x^{4n+1} \right]_{0}^{x}

\displaystyle = \left(x - 0 \right) - \frac{1}{2!} \left(\frac{1}{5} x^5 - \frac{1}{5} 0^5 \right) + \frac{1}{4!} \left( \frac{1}{9} x^9 - \frac{1}{9} 0^9 \right) - \frac{1}{6!} \left( \frac{1}{13} x^{13} - \frac{1}{13} 0^{13} \right) + \cdots + (-1)^{n} \frac{1}{(2n)!} \left( \frac{1}{4n+1} x^{4n+1} - \frac{1}{4n+1} x^{4n+1} \right)

\displaystyle = x - \frac{1}{2!} \cdot \frac{1}{5} x^5 + \frac{1}{4!} \cdot \frac{1}{9} x^9 - \frac{1}{6!} \cdot \frac{1}{13} x^{13} + \cdots + (-1)^{n} \frac{1}{(2n)!} \cdot \frac{1}{4n+1} x^{4n+1}

\displaystyle = x - \frac{1}{2! \cdot 5} x^5 + \frac{1}{4! \cdot 9} x^9 - \frac{1}{6! \cdot 13} x^{13} + \cdots + (-1)^{n} \frac{1}{(2n)! \cdot (4n+1)} x^{4n+1}

Finalmente

\displaystyle \therefore \int_{0}^{x}{\cos{x^2} \, dx} = x - \frac{1}{2! \cdot 5} x^5 + \frac{1}{4! \cdot 9} x^9 - \frac{1}{6! \cdot 13} x^{13} + \cdots + (-1)^{n} \frac{1}{(2n)! \cdot (4n+1)} x^{4n+1}

Problema 7. Resolver la siguiente integral \displaystyle \int_{0}^{1}{x^x \, dx}, sabiendo que \displaystyle \int_{0}^{1}{(x \ln{x})^n} = (-1)^n \frac{n!}{(n+1)^{n+1}}

Solución. Transformando el integrando

\displaystyle x^x = e^{\ln{x^x}} = e^{x \ln{x}}

Y desarrollándolo en serie la función de base exponencial (sabiendo que a=1)

\displaystyle e^{x \ln{x}} = 1 + x \ln{x} + \frac{1}{2!} (x \ln{x})^2 + \frac{1}{3!} (x \ln{x})^3 + \cdots + \frac{1}{n!} (x \ln{x})^{n}

La integral tiene la siguiente expresión

\displaystyle \int_{0}^{1}{x^x \, dx} = \int_{0}^{1}{e^{x \ln{x}} \, dx} = \int_{0}^{1}{\left[1 + x \ln{x} + \frac{1}{2!} (x \ln{x})^2 + \frac{1}{3!} (x \ln{x})^3 + \cdots + \frac{1}{n!} (x \ln{x})^{n} \right] \, dx}

\displaystyle = \int_{0}^{1}{dx} + \int_{0}^{1}{x \ln{x} \, dx} + \frac{1}{2!} \int_{0}^{1}{(x \ln{x})^2 \, dx} + \frac{1}{3!} \int_{0}^{1}{(x \ln{x})^3 \, dx} + \cdots + \frac{1}{n!} \int_{0}^{1}{(x \ln{x})^{n} \, dx}

\displaystyle = (1-0) + (-1)^1 \frac{1!}{(1+1)^{1+1}} + \frac{1}{2!} \cdot (-1)^2 \frac{2!}{(2+1)^{2+1}} + \frac{1}{3!} \cdot (-1)^3 \frac{3!}{(3+1)^{3+1}} + \cdots + \frac{1}{n!} \cdot (-1)^n \frac{n!}{(n+1)^{n+1}}

\displaystyle = 1 + (-1) \frac{1!}{(2)^{2}} + \frac{1}{2!} \cdot (1) \frac{2!}{(3)^{3}} + \frac{1}{3!} \cdot (-1) \frac{3!}{(4)^{4}} + \cdots + \frac{1}{n!} \cdot (-1)^n \frac{n!}{(n+1)^{n+1}}

\displaystyle = 1 + (-1) \frac{1}{(2)^{2}} + (1) \frac{1}{(3)^{3}} + (-1) \frac{1}{(4)^{4}} + \cdots + (-1)^n \frac{1}{(n+1)^{n+1}}

\displaystyle = 1 - \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{3}} - \frac{1}{4^{4}} + \cdots + (-1)^n \frac{1}{(n+1)^{n+1}}

Finalmente

\displaystyle \therefore \int_{0}^{1}{x^x \, dx} = 1 - \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{3}} - \frac{1}{4^{4}} + \cdots + (-1)^n \frac{1}{(n+1)^{n+1}}

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Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web.

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