Funciones periódicas. Fourier.

Una función periódica se define como una función para la cual

para todo valor de $t$ . La constante mínima $T$ que satisface a (1) se llama el período de la función. Mediante (1), se tiene obtiene

Si una función tiene la siguiente expresión

$f(t) = \cos{\omega_1 t} + \cos{\omega_2 t}$

es periódica, con período $T$ , y es posible encontrar dos enteros $m$ y $n$ tales que

Y mediante (3) y (4)

\displaystyle \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{m}{n}

es decir, la relación $\displaystyle \frac{\omega_1}{\omega_2}$ debe ser un número racional.

Demostración 1. Si $f(t+T)=f(t)$ , entonces

\displaystyle \int_{a-\frac{T}{2}}^{a+\frac{T}{2}}{f(t) dt} = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t) dt}

\displaystyle \int_{T}^{T+t}{f(t) dt} = \int_{0}^{t}{f(t) dt}

De $f(t+T) = f(t)$ , si $t=\tau - T$

Comenzando con la siguiente integral

$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}{f(t) dt}$

Realizando la sustitución $t = \tau - T$

$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}{f(t) dt} = \int_{\alpha+T}^{\beta+T}{f(\tau-T) d\tau} = \int_{\alpha+T}^{\beta+T}{f(\tau) d\tau}$

Cualquier símbolo puede representar la variable comodín, entonces

$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}{f(t) dt} = \int_{\alpha+T}^{\beta+T}{f(\tau) d\tau}$

De (9), si $\alpha = 0$ y $\beta = t$ , se tiene lo siguiente

$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}{f(t) dt} = \int_{\alpha+T}^{\beta+T}{f(t) dt}$

$\displaystyle \int_{0}^{t}{f(t) dt} = \int_{0+T}^{t+T}{f(t) dt}$

\displaystyle \int_{0}^{t}{f(t) dt} = \int_{T}^{T+t}{f(t) dt}

Luego, del primer miembro de (6) puede escribirse como

Aplicando el resultado de (9) en la primera integral del segundo miembro de (11), resulta

$\displaystyle \int_{a-\frac{T}{2}}^{a+\frac{T}{2}}{f(t) dt} = \int_{a-\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}}{f(t) dt} + \int_{-\frac{T}{2}}^{a+\frac{T}{2}}{f(t) dt}$

$\displaystyle = \int_{a-\frac{T}{2}+T}^{-\frac{T}{2}+T}{f(t) dt} + \int_{-\frac{T}{2}}^{a+\frac{T}{2}}{f(t) dt} = \int_{a+\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t) dt} + \int_{-\frac{T}{2}}^{a+\frac{T}{2}}{f(t) dt}$

\displaystyle = \int_{-\frac{T}{2}}^{a+\frac{T}{2}}{f(t) dt} + \int_{a+\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t) dt} = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t) dt}

De (12), si $\displaystyle a=\frac{T}{2}$ , resulta

$\displaystyle \int_{a-\frac{T}{2}}^{a+\frac{T}{2}}{f(t) dt} = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t) dt}$

$\displaystyle \int_{\frac{T}{2}-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}+\frac{T}{2}}{f(t) dt} = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t) dt}$

\displaystyle \int_{0}^{T}{f(t) dt} = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t) dt}

Demostración 2. Sea $f(t+T) = f(t)$ y

$\displaystyle g(t) = \int_{0}^{t}{f(\tau) d\tau}$

A continuación se va a demostrar que $g(t+T)=g(t)$ si y sólo si

$\displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t) dt}=0$

Comenzando con

$\displaystyle g(t) = \int_{0}^{t}{f(\tau) d\tau}$

Sustituyendo $g(t)=g(t+T)$ , resulta

\displaystyle g(t+T) = \int_{0}^{t+T}{f(\tau) d\tau} = \int_{0}^{T}{f(\tau) d\tau} + \int_{T}^{t+T}{f(\tau) d\tau}

De la ecuación (13) (tomando la variable τ en vez de t, para que después sea retornada como variable comodín)

$\displaystyle \int_{0}^{T}{f(\tau) d\tau} = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(\tau) d\tau}$

Y de la ecuación (7)

$\displaystyle \int_{T}^{T+t}{f(t) dt} = \int_{0}^{T}{f(t) dt}$

Se sustituyen en la ecuación (14)

$\displaystyle g(t+T) = \int_{0}^{T}{f(\tau) d\tau} + \int_{T}^{t+T}{f(\tau) d\tau}$

$\displaystyle = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(\tau) d\tau} + \int_{0}^{t}{f(t) dt}$

Si $\displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(\tau) d\tau}=0$

$\displaystyle g(t+T) = \int_{0}^{t}{f(\tau) d\tau}$

Si $\displaystyle g(t) = \int_{0}^{t}{f(\tau) d\tau}$ , entonces

$g(t+T) = g(t)$

Como se esperaba.

$\omega_1 T = 2 \pi m$	(3)
$\omega_2 T = 2 \pi n$	(4)

$\displaystyle \int_{a-\frac{T}{2}}^{a+\frac{T}{2}}{f(t) dt} = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t) dt}$	(6)
$\displaystyle \int_{T}^{T+t}{f(t) dt} = \int_{0}^{t}{f(t) dt}$	(7)

Funciones periódicas. Fourier.

Publicado por Cesar Reyes

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