Teorema de Parseval y el espectro de energía. Fourier.

Teoremas

Teorema 1. Si $\displaystyle \mathcal{F}[f_1(t)] = F_1(\omega)$ y $\mathcal{F}[f_2(t)] = F_2(\omega)$ , entonces

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{[f_1(t) \, f_2(t)] \, dt} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F_1 (\omega) F_2(-\omega) \, d\omega}$

Teorema 2. Si las funciones $f_1(t)$ y $f_2(t)$ son reales, $\mathcal{F}[f_1(t)] = F_1(\omega)$ , y $\mathcal{F}[f_2(t)] = F_2(\omega)$ , entonces

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{f_1(t) f_2 (t) \, dt} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F_1 (\omega) F_2^* (\omega) \, d\omega}$

donde $F_2^*(\omega)$ denota el conjugado complejo de $F_2(\omega)$ .

Teorema de Parseval

Teorema 3. El teorema de Parseval afirma que si $\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega)$ , entonces

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{|f(t)|^2 \, dt} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{|F(\omega)|^2 \, d\omega}$

Espectro de energía

En el tema Contenido de potencia de una función periódica: teorema de Parseval, se mencionó que la potencia de una señal periódica, se puede relacionar con la potencia contenida en cada uno de los componentes de frecuencia discreta. Este mismo concepto se extiende a funciones no periódicas, para las cuales se usará un concepto útil: el contenido de energía $E$ , el cual está definido por

$\displaystyle E = \int_{-\infty}^{\infty}{|f(t)|^2 \, dt}$

En verdad, si se supone que $f(t)$ es el voltaje de una fuente conectada a través de una resistencia de 1 $\Omega$ , entonces la cantidad $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{|f(t)|^2 \, dt}$ es igual a la energía total entregada por la fuente.

Ahora bien, según el teorema de Parseval, se tiene

$\displaystyle E = \int_{-\infty}^{\infty}{|f(t)|^2 \, dt}$

$\displaystyle E = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{|F(\omega)|^2 \, d\omega}$

$\displaystyle E = \int_{-\infty}^{\infty}{|F(\omega)|^2 \, df}$

Esta ecuación afirma que el contenido de energía $f(t)$ está dado por $\pi/2$ multiplicado por el área bajo la curva $|F(\omega)|^2$ . Por esta razón la cantidad $|F(\omega)|^2$ se denomina espectro de energía o función densidad de energía espectral.

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web. Ver todas las entradas de Cesar Reyes

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