Transformada de Fourier de la función escalón unitario. Fourier.

Introducción

La función escalón unitario está definido como

$\displaystyle u(t) = \left\{ \begin{matrix} 1, \quad t>0 \\ 0, \quad t<0 \end{matrix} \right.$

Después, se va a suponer que

$\displaystyle \mathcal{F} [u(t)] = F(\omega)$

Se recuerda que $\mathcal{F}[f(-t)] = F(-\omega)$ , se observa también que

$\displaystyle \mathcal{F}[u(-t)] = F(-\omega)$

Donde $u(-t)$ está definido por

$\displaystyle u(-t) = \left\{ \begin{matrix} 0 \quad t>0 \\1 \quad t<0 \end{matrix} \right.$

Por lo que

$u(t) + u(-t) = 1$

excpeto cuando $t=0$ . Por la linealidad de la transformada de Fourier

$u(t) + u(-t) = 1$

$\mathcal{F}[u(t)] + \mathcal{F}[u(-t)] = \mathcal{F}[1]$

$\displaystyle F(\omega) + F(-\omega) = 2\pi \, \delta(\omega)$

Ahora, se agrega una nueva suposición

$\displaystyle F(\omega) = k \delta (\omega) + B(\omega)$

donde $B(\omega)$ es una función ordinaria y $k$ es una constante.

Se recuerda que $\delta(-\omega) = \delta(\omega)$ , por lo que

$\displaystyle F(\omega) = k \delta (\omega) + B(\omega)$

$\displaystyle F(\omega) + F(-\omega) = k \delta (\omega) + B(\omega) + k \delta(-\omega) + B(-\omega)$

$\displaystyle F(\omega) + F(-\omega) = 2k \delta(\omega) + B(\omega) + B(-\omega)$

$\displaystyle F(\omega) + F(-\omega) = 2\pi \delta(\omega)$

de donde se concluye que $k=\pi$ , y $B(\omega)$ es una función impar.

Para encontrar $B(\omega)$ , se determina de la siguiente manera

$\displaystyle u'(t) = \delta(t)$

$\displaystyle \mathcal{F}[u'(t)] = \mathcal{F}[\delta(t)]$

$\displaystyle j \omega \, F(\omega) = 1$

$\displaystyle j \omega [\pi \delta(\omega) + B(\omega)] = 1$

$\displaystyle j \pi \omega \delta(\omega) + j \omega B(\omega) = 1$

Como $\omega \delta(\omega) = 0$

$\displaystyle j \pi (0) + j \omega B(\omega) = 1$

$\displaystyle j \omega B(\omega) = 1$

$\displaystyle B(\omega) = \frac{1}{j\omega}$

Regresando

$\displaystyle \mathcal{F}[u(t)] = F(\omega)$

$\displaystyle \mathcal{F}[u(t)] = k \delta(\omega) + B(\omega)$

$\displaystyle \therefore \mathcal{F}[u(t)] = \pi \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}$

La función signum

Sea $f(t) = \text{sgn} \, t$ y $\displaystyle \mathcal{F}[\text{sgn} \, t] = F(\omega)$ . La función $\text{sgn} \, t$ se llama signum y está definido como

$\displaystyle \text{sgn} = \left\{ \begin{matrix} 1 & t>0 \\-1 & t<0 \end{matrix} \right.$

Como la función $\text{sgn} \, t$ es una función impar de la figura 4, $F(\omega)$ será imaginaria pura, en consecuencia, es una función impar de $\omega$ .