Transformada de Fourier de una función periódica. Fourier.

Transformada de Fourier de una función periódica «f(t)»

Una función periódica $f(t)$ con período $T$ , se puede expresar como

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n \, e^{jn \omega_0 t}}$ , $\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$

Aplicando la transformada de Fourier en ambos miembros

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n \, e^{jn \omega_0 t}}$

$\displaystyle \mathcal{F}[f(t)] = \mathcal{F}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n \, e^{jn \omega_0 t}} \right]$

$\displaystyle F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n \, \mathcal{F} [e^{jn \omega_0 t}]}$

$\displaystyle F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n \, [2\pi \, \delta(\omega - n \omega_0)]}$

$\displaystyle \therefore F(\omega) = 2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n \, \delta(\omega - n \omega_0)}$

Esta ecuación establece que la transformada de Fourier de una función periódica, consta de una sucesión de impulsos equidistantes localizados en las frecuencias armónicas de la función.

Teorema 1. La sucesión de pulsos equidistantes

$\displaystyle F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{A_n \delta(\omega - n \omega_0)}$ , $\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ ,

es la transformada de Fourier de una función periódica $f(t)$ con período $T$ .

Demostración. De la transformada de Fourier de una función periódica

$\displaystyle F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{A_n \delta(\omega - n \omega_0)}$

la función periódica es

$\displaystyle f(t) = \mathcal{F}^{-1} \left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}{A_n \delta(\omega - n \omega_0)} \right]$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{A_n \, \mathcal{F}^{-1}[\delta(\omega - n \omega_0)]}$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{A_n \, \left( \frac{1}{2\pi} e^{jn\omega_0 t} \right)}$

Como $e^{jn\omega_0 (t + 2\pi/\omega_0)} = e^{jn\omega_0 t}$ , se tiene

$\displaystyle f \left[t + \left( \frac{2\pi}{\omega} \right) \right] = f(t+T) = f(t)$ ;

es decir, $f(t)$ es una función periódica con período $T=2\pi/\omega_0$

Transformada de Fourier de un tren de impulsos unitarios «δ_T(t)«

El tren de impulsos unitarios está definido como

$\displaystyle \delta_T(t) = \cdots + \delta(t + 2T) + \delta(t + T) + \delta(t) + \delta(t - T) + \delta(t - 2T) + \cdots$

$\displaystyle \delta_T (t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta(t-nT)}$

Como $\delta_T (t)$ es una función periódica con período $T$ , la serie de Fourier de esa función está dada por

$\displaystyle \delta_T (t) = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{j \omega_0 t}}$

donde $\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ , entonces, aplicando la transformada de Fourier en ambos miembros

$\displaystyle \mathcal{F}[\delta_T (t)] = \mathcal{F} \left[\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{j \omega_0 t}} \right]$

$\displaystyle \mathcal{F}[\delta_T (t)] = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\mathcal{F}[e^{j \omega_0 t}]}$

$\displaystyle \mathcal{F}[\delta_T (t)] = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty}{2\pi \, \delta(\omega - n \omega_0)}$

$\displaystyle \mathcal{F}[\delta_T (t)] = \frac{2 \pi}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta(\omega - n \omega_0)}$

$\displaystyle \mathcal{F}[\delta_T (t)] = \omega_0 \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta(\omega - n \omega_0)}$

$\displaystyle \mathcal{F}[\delta_T (t)] = \omega_0 \, \delta_{\omega_0} (\omega)$

Este expresión también se puede interpretar de otra manera

$\displaystyle \therefore \mathcal{F}[\delta_T (t)] = \omega_0 \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta(\omega - n \omega_0)}$

$\displaystyle \therefore \mathcal{F} \left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta (t - nT)} \right] = \omega_0 \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta(\omega - n \omega_0)}$

**Figura 1. Tren de impulsos unitarios.**

Teorema 2. Los coeficientes complejos $c_n$ de la expansión en serie de Fourier de una función periódica $f(t)$ con período $T$ igualan a los valores de la transformada de Fourier $F_0 (\omega)$ de la función $f_0 (t)$ en $\omega = n\omega_0 = n2\pi/T$ multiplicada por $1/T$ , donde $f_0(t)$ está definido por

$\displaystyle \large f_0 (t) = \left\{ \begin{matrix} f(t), \quad \, |t| < \frac{1}{2} T \\0, \quad \quad \, |t|>\frac{1}{2} T \end{matrix} \right.$

Demostración. La función periódica $f(t)$ con período $T$ se puede expresar como

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{jn\omega_0 t}}$ , $\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$

donde

$\displaystyle c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \, e^{-jn\omega_0 t} \, dt}$

Ahora

$\displaystyle F_0 (\omega) = \mathcal{F}[f_0 (t)]$

$\displaystyle F_0 (\omega) = \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty}{f_0 (t) \, e^{-j \omega t} \, dt}$

$\displaystyle F_0 (\omega) = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f (t) \, e^{-j \omega t} \, dt}$

Haciendo que $\omega=n\omega_0$ , resulta que

$\displaystyle F_0 (n\omega_0) = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f (t) \, e^{-j n \omega_0 t} \, dt}$

Finalmente

$\displaystyle c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \, e^{-jn\omega_0 t} \, dt}$

$\displaystyle c_n = \frac{1}{T} F_0 (n\omega_0)$

Por lo que se concluye que los coeficientes complejos $c_n$ de la expansión en serie de Fourier de una función periódica $f(t)$ con período $T$ igualan a los valores de la transformada de Fourier $F_0 (\omega)$ de la función $f_0 (t)$ en $\omega = n\omega_0 = n2\pi/T$ multiplicada por $1/T$ .

Problemas resueltos

Problema 1. Encontrar los coeficientes complejos de la serie de Fourier de un tren de pulsos rectangulares cuyo ancho es $d$ y cuyo período es $T$ , como se muestra en la figura 5.4.3.

Figura 5.4.3 Tren de pulsos rectangulares — *Figura 3. Tren de pulsos rectangulares para el problema 1.*

Solución. Sea

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{jn\omega_0 t}}$ , $\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$

Después, el pulso rectangular $p_d (t)$ definido por

$\displaystyle p_d (t) = \left\{ \begin{matrix} 1, \quad |t| < \frac{1}{2} d \\0, \quad |t|> \frac{1}{2} d \end{matrix} \right.$

Figura 5.4.4 Un sólo pulso rectangular — *Figura 4. Un sólo pulso rectangular.*

Por lo que su transformada de Fourier es

$\displaystyle F(\omega) = \frac{2}{\omega} \sin{\left(\frac{\omega d}{2} \right)} = d \cdot \frac{\sin{\left(\frac{\omega d}{2} \right)}}{\frac{\omega d}{2}}$

Por analogía

$\displaystyle f_0 (t) = p_d (t)$

$\displaystyle \mathcal{F}[f_0 (t)] = \mathcal{F}[p_d (t)]$

$\displaystyle F_0 (\omega) = d \cdot \frac{\sin{\left(\frac{\omega d}{2} \right)}}{\frac{\omega d}{2}}$

Cambiando $\omega$ por $n\omega_0$ , resulta que

$\displaystyle F_0 (n \omega_0) = d \cdot \frac{\sin{\left(\frac{n \omega_0 d}{2} \right)}}{\frac{n \omega_0 d}{2}}$

Por lo tanto, los coeficientes $c_n$ de la serie de Fourier de $f(t)$ están dados por

$\displaystyle c_n = \frac{1}{T} F_0 (n \omega_0)$

$\displaystyle c_n = \frac{1}{T} \left[d \cdot \frac{\sin{\left(\frac{n \omega_0 d}{2} \right)}}{\frac{n \omega_0 d}{2}} \right]$

$\displaystyle \therefore c_n = \frac{d}{T} \cdot \frac{\sin{\left(\frac{n \omega_0 d}{2} \right)}}{\frac{n \omega_0 d}{2}}$

Problema 2. Hallar la transformada de Fourier del tren de pulsos rectangulares de ancho $d$ y período $T$ , el cual se muestra en la figura 5.

Del resultado obtenido del problema 1

$\displaystyle c_n = \frac{d}{T} \cdot \frac{\sin{\left(\frac{n \omega_0 d}{2} \right)}}{\frac{n \omega_0 d}{2}}$

Recordando que $\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$

$\displaystyle c_n = \frac{d}{T} \cdot \frac{\sin{\left(\frac{n \left(\frac{2\pi}{T} \right) d}{2} \right)}}{\frac{n \left(\frac{2\pi}{T} \right) d}{2}}$

$\displaystyle c_n = \frac{d}{T} \cdot \frac{\sin{\left(\frac{n \pi d}{T} \right)}}{\frac{n \pi d}{T}}$

$\displaystyle c_n = \frac{d}{T} \, \text{Sa} \left(\frac{n \pi d}{T} \right)$

Sustituyendo en la serie de Fourier

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{jn\omega_0 t}}$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\frac{d}{T} \, \text{Sa} \left(\frac{n \pi d}{T} \right) e^{jn\omega_0 t}}$

$\displaystyle f(t) = \frac{d}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\text{Sa} \left(\frac{n \pi d}{T} \right) e^{jn\omega_0 t}}$

Aplicando la transformada de Fourier en ambos miembros

$\displaystyle \mathcal{F}[f(t)] = \mathcal{F}\left[\frac{d}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\text{Sa} \left(\frac{n \pi d}{T} \right) e^{jn\omega_0 t}} \right]$

$\displaystyle F(\omega) = \frac{d}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\text{Sa} \left(\frac{n \pi d}{T} \right) \mathcal{F}[e^{jn\omega_0 t}}]$

$\displaystyle F(\omega) = \frac{d}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\text{Sa} \left(\frac{n \pi d}{T} \right) \cdot 2\pi \delta(\omega - n\omega_0)}$

$\displaystyle \therefore F(\omega) = \frac{2 \pi d}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\text{Sa} \left(\frac{n \pi d}{T} \right) \delta(\omega - n\omega_0)}$

donde $\displaystyle \text{Sa} \left(\frac{n \pi d}{T} \right) = \frac{\sin{\left(\frac{n \pi d}{T} \right)}}{\frac{n \pi d}{T}}$ .

Este último resultado indica que la transformada de Fourier de un tren de pulsos rectangulares consta de impulsos localizados en $\omega = 0, \pm \omega_0, \pm 2\omega_0, \cdots$ , etc. La intensidad del impulso localizado en $\omega=n \omega_0$ está dada por $(2\pi/T) Sa (n\pi d/T)$ . El espectro se muestra en la figura 6 (para $d/T = 1/%$ ).