Respuestas senusoidales en estado estacionario. Fourier.

Las respuestas en estado estacionario del sistema especificado por $H(j \omega)$ , a las funciones de entrada $\cos{\omega t}$ y $\sin{\omega t}$ están dadas por $Re[H(j \omega) e^{j \omega t}]$ y $Im[H(j\omega t) e^{j \omega t}]$ respectivamente, donde Re denota «la parte real de» e Im denota «la parte imaginaria de».

Para demostrar esto, se va a suponer que la respuesta en estado estacionario del sistema a la entrada $\cos{\omega t}$ es $r_c(t)$ , y que la respuesta en estado estacionario a $\sin{\omega t}$ es $r_s(t)$ . Entonces

$L \left\{ \cos{\omega t} \right\} = r_c (t)$

$L \left\{ \sin{\omega t} \right\} = r_s (t)$

De la propiedad de linealidad, se sigue que

$L \left\{\cos{\omega t} + j \sin{\omega t} \right\} = L \left\{\cos{\omega t} \right\} + L \left\{j \sin{\omega t} \right\}$

$L \left\{\cos{\omega t} + j \sin{\omega t} \right\} = L \left\{\cos{\omega t} \right\} + j \, L \left\{ \sin{\omega t} \right\}$

$L \left\{\cos{\omega t} + j \sin{\omega t} \right\} = r_c (t) + j \ r_s (t)$

Por la identidad de Euler, se expresa lo siguiente

$L \left\{\cos{\omega t} + j \sin{\omega t} \right\} = r_c (t) + j \, r_s (t)$

$L \left\{e^{j \omega t} \right\} = r_c (t) + j \, r_s (t)$

$H(j \omega) e^{j \omega t} = r_c (t) + j \, r_s (t)$

Como $r_c(t)$ y $r_s(t)$ son funciones reales de $t$ , se tiene

$r_c (t) = \text{Re} [H(j\omega) e^{j\omega t}]$

$r_s (t) = \text{Im} [H(j\omega) e^{j\omega t}]$

Finalmente

$L \left\{\cos{\omega t} \right\} = \text{Re} [H(j\omega) e^{j\omega t}]$

$L \left\{ \sin{\omega t} \right\} = \text{Im} [H(j\omega) e^{j\omega t}]$

En análisis de estado estacionario senusoidal se suelen emplear fasores para representar funciones senusoidales. Así, la función coseno $v(t)$ se puede expresar como

$\displaystyle v(t) = v_m \cos{(\omega t + \beta)} = \text{Re} [\mathbf{V}_m \ e^{j \omega t}]$

donde $\mathbf{V}_m = v_m \ e^{j \beta} = v_m \measuredangle \beta$ . La cantidad compleja $\mathbf{V}_m$ es el fasor que representa la función $v(t)$ .

Si la función del sistema $H(j\omega)$ se expresa en forma de fasor, es decir,

$\mathbf{H} (j\omega) = |\mathbf{H}(j\omega)| e^{j \theta (\omega)} = |\mathbf{H}(j\omega)| \measuredangle \theta(\omega)$

las respuestas en estado estacionario del sistema a las entradas $v_m \cos{(\omega t + \beta)}$ y $v_m \sin{(\omega t + \beta)}$ están dadas, respectivamente, por

$\displaystyle \text{Re} [\mathbf{H} (j\omega) \ \mathbf{V}_m \ e^{j \omega t}] = v_m |\mathbf{H} (j\omega)| \cos{(\omega t + \beta + \theta)}$

$\displaystyle \text{Im} [\mathbf{H} (j\omega) \ \mathbf{V}_m \ e^{j \omega t}] = v_m |\mathbf{H} (j\omega)| \sin{(\omega t + \beta + \theta)}$

En esta parte, se concluye que la salida $f_o (t)$ se puede representar por el fasor $\mathbf{V}_m \ \mathbf{H} (j\omega)$ , si la entrada $f_i (t)$ está representada por el fasor $\mathbf{V}_m$ . Por consiguiente, si la entrada y la salida son funciones senusoidales estacionarias, entonces la función del sistema $H(j\omega)$ es el cociente de los valores complejos de la salida y la entrada.

Respuesta de un sistema lineal cuando la entrada es periódica y está expresada en serie de Fourier

La entrada $f_i(t)$ de un sistema lineal es periódica y está expresada en serie de Fourier

$\displaystyle f_i(t) = C_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{C_n \ \cos{(n \omega_0 t + \phi_n)}}$ , $\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$

Para determinar la respuesta $f_o (t)$ de ese sistema, se aplica el principio de superposición y propiedad de linealidad

$\displaystyle f_o (t) = L \left\{ f_i(t) \right\}$

$\displaystyle f_o (t) = L \left\{C_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{C_n \ \cos{(n \omega_0 t + \phi_n)}} \right\}$

$\displaystyle f_o (t) = L \left\{C_0 \right\} + L \left\{\sum_{n=1}^{\infty}{C_n \ \cos{(n \omega_0 t + \phi_n)}} \right\}$

$\displaystyle f_o (t) = L \left\{C_0 \right\} + \sum_{n=1}^{\infty}{L \left\{C_n \ \cos{(n \omega_0 t + \phi_n)} \right\} }$

$\displaystyle \therefore f_o (t) = C_0 \ H(0) + \sum_{n=1}^{\infty}{C_n \ |H(j n \omega_0)| \cos{[n \omega_0 t + \phi_n + \theta(n \omega_o)]}}$

Respuestas senusoidales en estado estacionario. Fourier.

Respuesta de un sistema lineal cuando la entrada es periódica y está expresada en serie de Fourier

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