Otras transformaciones que se reducen al método separación de variables. Ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones de la forma $y \cdot f(xy) \ dx + x \cdot g(xy) \ dy = 0$

Cuando la ecuación diferencial tiene la forma

$y \cdot f(xy) \ dx + x \cdot g(xy) \ dy = 0$

sugiere la transformación siguiente

$xy = z$ , $\displaystyle y = \frac{z}{x}$ , $\displaystyle dy = \frac{x \ dz - z \ dx}{x^2}$

reduce una ecuación de este tipo a la forma

$P(x,z) \ dx + Q(x,z) \ dz = 0$

en la que las variables son separables.

Otras sustituciones

Hay ecuaciones que no pertenecen a ninguno de los tipos que se mencionan en este tema y en el tema (1.5) y que mediante una transformación adecuadamente escogida se pueden reducir a una forma en la que las variables sean separables. No es posible dar una regla general; en cada caso la forma de la ecuación sugiere la transformación.

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver $y(xy+1) \ dx + x(1+xy+x^2 y^2) \ dy = 0$ .

Solución. Esta ecuación diferencial tiene la forma $y \cdot f(x,y) + x \cdot g(x,y) = 0$ . Aplicando la transformación $y = v/x$ y $dy = (x \ dv - v \ dx)/x^2$ , la ecuación diferencial tendrá la siguiente expresión

$\displaystyle \frac{v}{x} (v + 1) \ dx + x(1+v+v^2) \ \left( \frac{x \ dv - v \ dx}{x^2} \right) = 0$

Continuando

$\displaystyle \frac{v}{x} (v+1) \ dx + \frac{x^2}{x^2} (1+v+v^2) \ dv - \frac{xv}{x^2} (1+v+v^2) \ dx = 0$

$\displaystyle \left[ \frac{v}{x} (v+1) - \frac{xv}{x^2} (1+v+v^2) \right] dx - \frac{x^2}{x^2} (1+v+v^2) \ dv = 0$

$\displaystyle \left[ \frac{v}{x} (v+1) - \frac{v}{x} (1+v+v^2) \right] \ dx - (1+v+v^2) \ dv = 0$

$\displaystyle \frac{v}{x} (v+1-1-v-v^2) \ dx - (1+v+v^2) \ dv = 0$

$\displaystyle \frac{v}{x} (v^2) \ dx - (1+v+v^2) \ dv = 0$

$\displaystyle v^3 \ dx - x(1+v+v^2) \ dv = 0$

Esta ecuación diferencial tiene la forma

$f_1 (x) \cdot g_2 (v) \ dx + f_2 (x) \cdot g_1 (v) \ dv = 0$

Determinando el factor integrante

$\displaystyle \frac{1}{f_2 (x) \cdot g_2 (v)} = \frac{1}{x\cdot v^3}$

Se multiplica el factor integrante por toda la ecuación diferencial transformada

$\displaystyle \frac{1}{x \cdot v^3} [v^3 \ dx - x(1+v+v^2) \ dv = 0]$

$\displaystyle \frac{1}{x} \ dx - \left(\frac{1}{v^3} + \frac{1}{v^2} + \frac{1}{v} \right) \ dv = 0$

Integrando en ambos miembros

$\displaystyle \int{\frac{1}{x} \ dx} - \int{\left(\frac{1}{v^3} + \frac{1}{v^2} + \frac{1}{v} \right) \ dv} = \int{0 \ dx}$

$\displaystyle \ln{x} + \frac{1}{2v^2} + \frac{1}{v} - \ln{v} = C$

$\displaystyle \ln{\left( \frac{x}{v} \right)} + \frac{1}{2v^2} + \frac{1}{v} = C$

$\displaystyle 2v^2 \ln{\left(\frac{x}{v} \right)} + 1 + 2v = 2Cv^2$

$\displaystyle 2v^2 \ln{\left( \frac{x}{v} \right)} + 1 + 2v = Cv^2$

Recordando que $v=xy$

$\displaystyle 2(x y)^2 \ln{\left( \frac{x}{xy} \right)} + 1 + 2xy = C(x y)^2$

$\displaystyle \therefore 2x^2 y^2 \ln{\left(\frac{1}{y} \right)} + 1 + 2xy = Cx^2 y^2$

Problema 2. Resolver $(y-xy^2) \ dx - (x + x^2 y) \ dy = 0$ .

Solución. Tomando la transformación $y=v/x$ (obtenida de $v = yx$ ) y $dy=(x \ dv - v \ dx)/x^2$ , la ecuación diferencial toma una nueva expresión

$\displaystyle \left(\frac{v}{x} - x \cdot \frac{v^2}{x^2} \right) \ dx - \left(x + x^2 \cdot \frac{v}{x} \right) \ \left(\frac{x \ dv - v \ dx}{x^2} \right) = 0$

$\displaystyle \left(\frac{v}{x} - \frac{v^2}{x} \right) \ dx - (x + xv) \left(\frac{x \ dv - v \ dx}{x^2} \right) = 0$

$\displaystyle \left(\frac{v}{x} - \frac{v^2}{x} \right) \ dx - (1+v) \left(\frac{x \ dv - v \ dx}{x} \right) = 0$

$\displaystyle \left(\frac{v}{x} - \frac{v^2}{x} \right) \ dx - (1+v) \left(dv - \frac{v}{x} \ dx \right) = 0$

$\displaystyle \left[\frac{v}{x} - \frac{v^2}{x} + (1+v) \frac{v}{x} \right] \ dx - (1+v) \ dv = 0$

$\displaystyle \left(\frac{v}{x} - \frac{v^2}{x} + \frac{v}{x} + \frac{v^2}{x} \right) \ dx - (1+v) \ dv = 0$

$\displaystyle \frac{2v}{x} \ dx - (1+v) \ dv = 0$

$2v \ dx - x (1+v) \ dv = 0$

Esta integral es idéntica a

$f_1 (x) \cdot g_2 (v) \ dx + f_2 (x) \cdot g_1 (v) \ dv = 0$

Determinando el factor integrante

$\displaystyle \frac{1}{f_2 (x) \cdot g_2 (v)} = \frac{1}{(-x)(2v)} = - \frac{1}{2xv}$

Se multiplica en la ecuación diferencial

$\displaystyle -\frac{1}{2xv} [2v \ dx - x(1+v) \ dv = 0]$

$\displaystyle -\frac{2v}{2xv} \ dx + \frac{x(1+v)}{2xv} \ dv = 0$

$\displaystyle - \frac{1}{x} \ dx + \frac{1+v}{2v} \ dv = 0$

$\displaystyle - \frac{1}{x} \ dx + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{v} + 1 \right) \ dv = 0$

Integrando en ambos miembros

$\displaystyle -\int{\frac{1}{x} \ dx} + \frac{1}{2} \int{\left(\frac{1}{v} + 1 \right) \ dv} = \int{0 \, dx}$

$\displaystyle - \ln{x} + \frac{1}{2} \ln{v} + \frac{1}{2} v = C$

$\displaystyle 2\ln{x} - \ln{v} - v = -2C$

$\displaystyle \ln{x^2} - \ln{v} - v = C$

$\displaystyle \ln{\frac{x^2}{v}} - v = C$

Recordando que $v=xy$ , la ecuación resultante es

$\displaystyle \ln{\frac{x^2}{xy}} - xy = C$

$\displaystyle \ln{\frac{x}{y}} - xy = C$

$\displaystyle \ln{\frac{x}{y}} + \ln{e^{-xy}} = \ln{C}$

$\displaystyle \frac{xe^{-xy}}{y} = C$

$\displaystyle \therefore x = Cye^{xy}$

Problema 3. Resolver $\displaystyle \frac{dy}{dx} = (y-4x)^2$ .

Solución. Se realiza un acomodo en los términos de la ecuación diferencial

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = (y-4x)^2$

$\displaystyle dy = (y-4x)^2 \ dx$

$dy - (y-4x)^2 \ dx = 0$

Para este caso, tomando $v=y-4x$ , despejando la variable $y$ y determinando su diferencial

$y = v + 4x$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} + 4 \frac{dx}{dx}$

$dy = dv + 4 dx$

Se sustituye en la ecuación diferencial

$dy - (y-4x)^2 \ dx = 0$

$(dv + 4dx) - (v + 4x - 4x)^2 \ dx = 0$

$dv + 4 \ dx - v^2 \ dx = 0$

$-(v^2 - 4) \ dx + dv = 0$

$(v^2 - 4) \ dx - dv = 0$

Esta ecuación diferencial es idéntica a su forma general

$f_1 (x) \cdot g_2 (v) \ dx + f_2 (x) \cdot g_1 (v) \ dv = 0$

Al determinar su factor integrante

$\displaystyle \frac{1}{f_2{x} \cdot g_2 (v)} = \frac{1}{(v^2 - 4)(1)} = \frac{1}{(v^2 - 4)}$

Se multiplica el factor integrante por la ecuación diferencial del problema

$\displaystyle \frac{1}{(v^2 - 4)}[(v^2 - 4) \ dx - dv = 0]$

$\displaystyle dx - \frac{1}{(v^2-4)} \ dv = 0$

Integrando en ambos miembros

$\displaystyle \int{dx} - \int{\frac{1}{v^2 - 4} \ dv} = \int{0 \ dx}$

$\displaystyle x - \ln{\left(\frac{v+2}{v-2} \right)} = C$

$\displaystyle -x + \ln{\left(\frac{v+2}{v-2} \right)} = C$

Recordando que $v=y - 4x$ , se sustituye en la ecuación resultante

$\displaystyle -x + \ln{\left(\frac{y - 4x + 2}{y - 4x - 2} \right)} = C$

$\displaystyle \ln{\left(\frac{y-4x+2}{y-4x-2}\right)} = C + x$

$\displaystyle \therefore \left(\frac{y-4x+2}{y-4x-2}\right) = Ce^x$

Problema 4. Resolver $\displaystyle (2 + 2x^2 y^{\frac{1}{2}}) y \ dx + (x^2 y^{\frac{1}{2}} + 2)x \ dy = 0$ .

Solución. Se toma la siguiente transformación

$\displaystyle x^2 y^{\frac{1}{2}} = v$

Despejando $y$ y determinando su diferencial

$\displaystyle y^{\frac{1}{2}} = \frac{v}{x^2}$

$\displaystyle y = \left(\frac{v}{x^2} \right)^2 = \frac{v^2}{x^4}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\frac{v^2}{x^4} \right)$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x^4 \cdot 2v \ \frac{dv}{dx} - v^2 \cdot 4x^3}{x^8}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2x^4 v}{x^8} \ \frac{dv}{dx} - \frac{4x^3 v^2}{x^8}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2v}{x^4} \frac{dv}{dx} - \frac{4v^2}{x^5}$

$\displaystyle dy = \frac{2v}{x^4} \ dv - \frac{4v^2}{x^5} \ dx$

Sustituyendo la transformación despejada y su diferencial en la ecuación diferencial del problema, se tiene la siguiente reducción

$\displaystyle (2 + 2x^2 y^{\frac{1}{2}}) y \ dx + (x^2 y^{\frac{1}{2}} + 2)x \ dy = 0$

$\displaystyle (2 + 2v) \frac{v^2}{x^4} \ dx + (v + 2)x \ \left( \frac{2v}{x^4} \ dv - \frac{4v^2}{x^5} \ dx \right) = 0$

$\displaystyle (2v^2 + 2v^3) \cdot \frac{1}{x^4} \ dx + (2v^2+4v) \cdot \frac{1}{x^3} \ dv - (4v^3 + 8v^2) \cdot \frac{1}{x^4} \ dx = 0$

$\displaystyle (2v^2 + 2v^3 - 4v^3 - 8v^2) \cdot \frac{1}{x^4} \ dx + (2v^2+4v) \cdot \frac{1}{x^3} \ dv = 0$

$\displaystyle (-2v^3 - 6v^2) \cdot \frac{1}{x^4} \ dx + (2v^2 + 4v) \cdot \frac{1}{x^3} \ dv = 0$

$\displaystyle -2v^2(v + 3) \cdot \frac{1}{x^4} \ dx + 2v(v + 2) \cdot \frac{1}{x^3} \ dv = 0$

$\displaystyle v(v+3) \ dx - x \left(v+2 \right) \ dv =0$

Esta ecuación diferencial tiene la forma

$\displaystyle f_1 (x) \cdot g_2(v) \ dx + f_2 (x) \cdot g_1 (v) \ dv = 0$

Al determinar el factor integrante

$\displaystyle \frac{1}{f_2 (x) \cdot g_2(v)} = \frac{1}{(-x)(v)(v+3)} = -\frac{1}{xv(v+3)}$

Se multiplica por toda la ecuación diferencial transformada

$\displaystyle - \frac{1}{xv(v+3)} [v(v+3) \ dx - x (v+2) \ dv = 0]$

$\displaystyle - \frac{1}{x} \ dx + \frac{v+2}{v(v+3)} \ dv = 0$

Del segundo termino del primer miembro de la ecuación diferencial, al resolverlo por fracción parcial, este término es equivalente a

$\displaystyle \frac{(v+2)}{v(v+3)} = \frac{2}{3v} + \frac{1}{3(v+3)}$

Entonces

$\displaystyle - \frac{1}{x} \ dx + \frac{2}{3v} \ dv + \frac{1}{3(v+3)} \ dv = 0$

Integrando en ambos miembros

$\displaystyle - \int{\frac{1}{x} \ dx} + \frac{2}{3} \int{\frac{1}{v} \ dv} + \frac{1}{3} \int{\frac{1}{(v+3)} \ dv} = \int{0 \ dx}$

$\displaystyle -\ln{x} + \frac{2}{3} \ln{v} + \frac{1}{3} \ln{(v+3)} = C$

$\displaystyle 3 \ln{x} - 2\ln{v} - \ln{(v+3)} = C$

$\displaystyle \ln{x^3} - \ln{v^2} - \ln{(v+3)} = C$

$\displaystyle \ln{x^3} - \ln{v^2(v+3)} = C$

$\displaystyle \ln{\frac{x^3}{v^2(v+3)}} = \ln{C}$

$\displaystyle \frac{x^3}{v^2(v+3)} = C$

Recordando que $v= x^2 y^{1/2}$ , la ecuación resultante tiene la siguiente forma

$\displaystyle \frac{x^3}{(x^2 y^{1/2})^2 (x^2 y^{1/2} + 3)} = C$

$\displaystyle \frac{x^3}{x^4 y (x^2 y^{1/2} + 3)} = C$

$\displaystyle \frac{x^3}{x^6 y^{3/2} + 3x^4 y} = C$

$\displaystyle \frac{1}{x^3 y^{3/2} + 3xy} = C$

$\displaystyle 1 = C(x^3 y^{3/2} + 3xy)$

$\therefore Cxy(x^2y^{1/2} + 3) = 1$

Problema 5. Resolver $(2x^2 + 3y^2 - 7) x \ dx - (3x^2 + 2y^2 -8)y \ dy = 0$ .

Solución. Para este caso, se realiza la siguiente transformación: $u=x^2$ y $v = y^2$ , donde sus diferenciales son $du = 2x \ dx$ y $dv = 2y \ dy$ . Al aplicarlos en la ecuación dfierencial del problema, resulta lo siguiente

$\displaystyle (2x2 + 3y^2 - 7) x \ dx - (3x^2 + 2y^2 - 8)y \ dy = 0$

$\displaystyle (2u + 3v - 7) \frac{1}{2} du - (3u + 2v -8) \frac{1}{2} dv = 0$

$\displaystyle (2u + 3v - 7) \ du - (3u + 2v -8) \ dv = 0$

Esta ecuación diferencial es lineal pero no homogénea. Extrayendo los términos que acompañan a cada diferencial de la ecuación y resolviendo el sistema, se tiene lo siguiente

$2u+3v-7 = 0$ y $3u + 2v - 8=0$

Donde los valores de «u» y «v» son $u = h = 2$ y $v = k = 1$ . Aquí se utilizará una segunda transformación, por lo que, las nuevas variables a utilizar son

$u = u' + h = u' + 2$ y $v = v' + 1$

Determinando sus diferenciales

$du = du'$ y $dv = dv'$

Al sustituirlas en la ecuación diferencial transformada, resulta que

$\displaystyle [2(u'+2) + 3(v'+1) - 7]\ du' - [3(u'+2) + 2(v'+1) - 8] \ dv' = 0$

$\displaystyle (2u'+4+3v'+3-7) \ du' - (3u'+6+2v'+2-8) \ dv' = 0$

$\displaystyle (2u' + 3v') \ du' - (3u'+2v') \ dv' = 0$

Al analizar esta ecuación diferencial, se observa que es homogénea de primer grado. Para resolverlo, por tercera ocasión se utilizará una transformación; tomando $u' = sv'$ , que al hallar su diferencial $du' = s \ dv' + v' \ ds$ , se sustituye en la ecuación diferencial transformada.

$\displaystyle (2u' + 3v') \ du' - (3u' + 2v') \ dv' = 0$

$\displaystyle (2sv'+3v') \ (s \ dv'+ v' \ ds) - (3sv' + 2v') \ dv' = 0$

$\displaystyle (2s^2 v' +3sv') \ dv' + (2sv'^2+3v'^2) \ ds - (3sv' + 2v') \ dv' = 0$

$(2s^2 v' + 3sv' - 3sv' - 2v') \ dv' + (2sv'^2+3v'^2) \ ds = 0$

$\displaystyle (2s^2 v' - 2v') \ dv' + (2sv'^2 + 3v'^2) \ ds = 0$

$\displaystyle 2v'(s^2-1) \ du' + v'^2(2s+3) \ ds =0$

Esta última ecuación diferencial tiene la forma

$f_1(v') \cdot g_2 (s) \ du' + f_2 (v') \cdot g_1 (s) \ ds = 0$

Observando que la variable independiente es $v'$ y la dependiente es $s$ (temporalmente). Determinando el factor integrante

$\displaystyle \frac{1}{f_2(v') \ g_2(s)} = \frac{1}{v'^2 (s^2-1)}$

Se multiplica por toda la ecuación diferencial

$\displaystyle \frac{1}{v'^2 (s^2 -1)} [2v'(s^2-1) \ dv' + v'^2(2s+3) \ ds = 0]$

$\displaystyle \frac{2}{v'} \ dv' + \frac{(2s+3)}{(s^2-1)} \ ds = 0$

El segundo término del primer miembro de la ecuación diferencial transformada es equivalente a (resuelto por fracciones parciales)

$\displaystyle \frac{(2s+3)}{(s^2-1)} = \frac{2s+3}{(s+1)(s-1)} = - \frac{1/2}{(s+1)} + \frac{5/2}{(s-1)}$

Así que

$\displaystyle \frac{2}{v'} \ dv' + \left[-\frac{1/2}{(s+1)} + \frac{5/2}{(s-1)} \right] \ ds = 0$

$\displaystyle 2 \cdot \frac{1}{v'} \ dv' + \left[-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s+1} + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{s-1} \right] \ ds = 0$

Integrando en ambos miembros

$\displaystyle 2 \int{\frac{1}{v'} \, dv'} - \frac{1}{2} \int{\frac{1}{s+1} \ ds} + \frac{5}{2} \int{\frac{1}{s-1} \ ds} = \int{0 \ dv'}$

$\displaystyle 2\ln{v'} - \frac{1}{2} \ln{(s+1)} + \frac{5}{2} \ln{(s-1)} = C$

$\displaystyle 4\ln{v'} - \ln{(s+1)} + 5 \ln{(s-1)} = C$

$\displaystyle \ln{v'^4} - \ln{(s+1)} + \ln{(s-1)^5} = \ln{C}$

$\displaystyle \ln{\left[\frac{v'^4(s-1)^5}{(s+1)} \right]} = \ln{C}$

$\displaystyle \frac{v'^4(s-1)^5}{(s+1)} = C$

Recordando que $s= u'/v'$

$\displaystyle \frac{v'^4 \left(\frac{u'}{v'}- 1 \right)^5}{\frac{u'}{v'} + 1} = C$

$\displaystyle \frac{(u'-v')^5}{u'+v'} = C$

Recordando que $u=u'+2$ y $v = v'+1$ , despejándolas resulta $u' = u-2$ y $v'=v-1$ . Sustityéndolas en la ecuación diferencial resultante

$\displaystyle \frac{(u-2-v+1)^5}{u-2+v-1} = C$

$\displaystyle \frac{(u-v-1)^5}{u+v-3} = C$

Por último, recordando que $u = x^2$ y $v=y^2$ , la ecuación diferencial resultante es

$\displaystyle \therefore \frac{(x^2-y^2-1)^5}{(x^2+y^2-3)} = C$

Otras transformaciones que se reducen al método separación de variables. Ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones de la forma $y \cdot f(xy) \ dx + x \cdot g(xy) \ dy = 0$

Otras sustituciones

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

Deja un comentario Cancelar la respuesta

Otras transformaciones que se reducen al método separación de variables. Ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones de la forma

Otras sustituciones

Problemas resueltos

Comparte esto:

Relacionado

Publicado por Cesar Reyes

Deja un comentario Cancelar la respuesta

Ecuaciones de la forma $y \cdot f(xy) \ dx + x \cdot g(xy) \ dy = 0$