Aplicaciones físicas. Ecuaciones diferenciales

Problemas resueltos

Problema 1. En cierto cultivo de bacterias la velocidad de aumento es proporcional al número presente.

a) Si se ha hallado que el número se duplica en 4 horas, ¿qué número se debe esperar al cabo de 12 horas?

b) Si hay $10^4$ al cabo de 3 horas y $4 \cdot 10^4$ al cabo de 5 horas, ¿cuántos habría en un principio?

Solución a)

Sea $x$ el número de bacterias a las $t$ horas. Así que

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = kx$

$\displaystyle \frac{dx}{x} = k \ dt$

$\ln{x} = kt + C$

$x = Ce^{kt}$

Para $t=0$ , se tendrá $x(0)=x_0$ , entonces

$x(0) = Ce^0$

$x_0 = C$

Remplazando

$x = x_0 e^{kt}$

Para $t=4$ , se tendrá $x(4) = 2x_0$ , entonces

$x(4) = x_0 e^{4k}$

$2x_0 = x_0 e^{4k}$

$2 = e^{4k}$

$\ln{2} = 4k$

$k = \frac{1}{4} \ln{2}$

Remplazando

$\displaystyle x = x_0 e^{\frac{1}{4} \ln {2} t}$

Finalmente, para $t=12$

$\displaystyle x = x_0 e^{\frac{1}{4} \ln{2} (12)} = x_0 e^{3 \ln{2}}$

$x = 8 x_0$

Esto significa que en 12 horas habrá 8 veces el valor de la población de bacterias.

Solución b. Para saber la respuesta, primero se determinan los valores correspondientes de $C$ para cada condición mencionada por el problema.

Sea $x$ el número de bacterias a las $t$ horas. Después

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = kx$

$x = Ce^{kt}$

Para $t=3$ , se tendrá $x(3) = 10^4$ . Entonces

$\displaystyle x(3) = Ce^{3 k}$

$\displaystyle 10^4 = Ce^{3k}$

$\displaystyle C = \frac{10^4}{e^{3k}}$

Para $t=5$ , se tendrá $x(5) = 4 \times 10^4$ . Así que

$\displaystyle x (5) = C e^{5k}$

$\displaystyle 4 \times 10^4 = e^{5k}$

$\displaystyle C = \frac{4 \times 10^4}{e^{5k}}$

Aplicando el método de igualación

$\displaystyle \frac{10^4}{e^{3k}} = \frac{4 \times 10^4}{e^{5k}}$

$\displaystyle \frac{e^{5k}}{e^{3k}} = 4$

$e^{5k-3k} = 4$

$\displaystyle e^{2k} = 4$

$\ln{e^{2k}} = \ln{4}$

$2k = \ln{4}$

$\displaystyle \frac{1}{2} \ln{4}$

Tomando la primera expresión de la constante de integración

$\displaystyle C = \frac{10^4}{e^{3k}} = \frac{10^4}{e^{3 \cdot \frac{1}{2} \ln{4}}}$

$\displaystyle = \frac{10^4}{e^{\ln{8}}} = \frac{10^4}{8}$

Por tanto, en un principio habia $10^4/8$ bacterias.

Problema 2. Según la ley de Newton de enfriamiento, la velocidad a que se enfría una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. Si la temperatura del aire es 30° y la sustancia se enfría de 100 a 70° en 15 minutos, ¿cuándo será 40° la temperatura de la sustancia?

Solución. Sea $T$ la temperatura de la sustancia y sea $t$ los minutos. Desarrollando la siguiente ecuación diferencial

$\displaystyle \frac{dT}{dt} = k(T-30)$

Continuando

$\displaystyle \frac{dT}{(T-30)} = k \ dt$

Al momento de integrar, en el primer miembro se asignan los límites, que son $t=100$ y $t=70$ y en el segundo miembro los límites son $t=0$ y $t=15$ .

$\displaystyle \int_{100}^{70}{\frac{dT}{(T-30)}} = k \int_{0}^{15}{dt}$

$\displaystyle \ln{(70-30)} - \ln{(100-30)} = k(15-0)$

$\displaystyle \ln{40} - \ln{70} = 15k$

Despejando $k$

$\displaystyle k = \frac{1}{15} \ln{\frac{4}{7}}$

Ahora, regresando a la expresión de la ecuación diferencial, al momento de integrar, en el primer miembro los límites a tomar son $T=100$ y $T=40$ mientras que en el segundo miembro los límites son $t=0$ y $t=t$ ya que es lo que se necesita

$\displaystyle \int_{100}^{40}{\frac{dT}{(T-30)}} = k \int_{0}^{t}{dt}$

$\displaystyle \ln{(40-30)} - \ln{(100-30)} = k (t-0)$

$\ln{10} - \ln{70} = kt$

$\ln{\frac{1}{7}} = kt$

Despejando $t$ resulta que

$\displaystyle t = \frac{\ln{\frac{1}{7}}}{k}$

Recordando el valor de $k$ , se tiene el resultado final

$\displaystyle t = \frac{\ln{\frac{1}{7}}}{\frac{1}{15} \ln{\frac{4}{7}}} = 52.158 \ (min)$

$t \approx 52 \ (min)$

Se concluye que para que la sustancia tenga una temperatura de 40° debe transcurrir 52 minutos aproximadamente.

Problema 3. Cierto producto químico se disuelve en el agua a una velocidad proporcional al producto de la cantidad aún no disuelta y la diferencia entre la concentración en una solución saturada y la concentración en la solución real. -se sabe que en 100 gramos de una solución saturada están disueltos 50 gramos de la sustancia. Si se agitan 30 gramos del producto químico con 100 gramos de agua, en dos horas se disuelven 10 gramos, ¿cuántos se disolverán en 5 horas?

Solución. Sea $x$ el número de gramos del producto químico aún no disuelto y sea $t$ el tiempo en horas. En este tiempo la concentración de la solución real es $\displaystyle \frac{30-x}{100}$ , y la de una solución saturada es $\frac{50}{100}$ .

Ahora, por el enunciado

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = kx \left(\frac{50}{100} - \frac{30-x}{100} \right)$

Continuando

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = kx \left(\frac{x+20}{100} \right)$

$\displaystyle \frac{dx}{x} - \frac{dx}{x+20} = \frac{k}{5} dt$

Al momento de integrar, los límites a tomar en el primer miembro son $x=30$ y $x=30-10=20$ mientras que en el segundo miembro serán $t=0$ y $t=2$ .

$\displaystyle \int_{30}^{20}{\frac{dx}{x}} - \int_{30}^{20}{\frac{dx}{(x+20)}} = \frac{k}{5} \int_{0}^{2}{dt}$

Integrando, evaluando los límites y despejando $k$ , resulta que

$\displaystyle \ln{20} - \ln{30} - \ln{(20+20)} + \ln{(20+30)} = \frac{k}{5} (2-0)$

$\displaystyle \ln{\frac{20}{30}} + \ln{\frac{50}{40}} = \frac{2}{5} k$

$\displaystyle \ln{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4}} = \frac{2}{5} k$

$\displaystyle \ln{\frac{5}{6}} = \frac{2}{5} k$

$\displaystyle k = \frac{5}{2} \ln{\frac{5}{6}}$

$\displaystyle k = \ln{ \left(\frac{5}{6} \right)^{5/2} }$

Regresando a la ecuación diferencial e integrando nuevamente ahora con los límites $t=0$ a $t=5$ y $x=30$ a $x=x$ , resulta lo siguiente

$\displaystyle \frac{dx}{x} - \frac{dx}{x+20} = \frac{k}{5} dt$

$\displaystyle \int_{30}^{x}{\frac{dx}{x}} - \int_{30}^{x}{\frac{dx}{(x+20)}} = \frac{k}{5} \int_{0}^{5}{dt}$

$\displaystyle \ln{x} - \ln{30} - \ln{(x+20)} + \ln{(30+20)} = \frac{k}{5} (5-0)$

$\displaystyle \ln{50x} - \ln{30(x+20)} = k$

$\displaystyle \ln{\frac{50x}{30(x+20)}} = k$

$\displaystyle \frac{50x}{30(x+20)} = e^{k}$

Recordando el valor de $k$ obtenido ante los incisos anteriores, se puede despejar $x$

$\displaystyle \frac{50x}{30(x+20)} = e^{\ln{(\frac{5}{6})^{(5/2)}}}$

$\displaystyle \frac{50x}{30(x+20)} = (\frac{5}{6})^{5/2}$

$\displaystyle 50x = (\frac{5}{6})^{5/2} \cdot (30x + 600)$

$\displaystyle 50x = 30 (\frac{5}{6})^{5/2} x + 600 (\frac{5}{6})^{5/2}$

$\displaystyle 50x = 19.0181x + 380.3629$

$\displaystyle 30.9819x = 380.3629$

$x = 12.277 \approx 12$

Finalmente, en 5 horas, la cantidad disuelta es

$30 - x = 30 - 12 = 18 \ g$

Problema 4. Se ha comprobado que hay una concentración de 0.2% $CO_2$ en una galería subterránea de 150x50x12 dm, por lo que se trata de renovar esa atmósfera con aire del exterior, cuya concentración de $CO_2$ es del 0.05%, mediante ventiladores a una velocidad de 9000 $dm^3/min$ . Hallar el porcentaje de $CO_2$ después de 20 minutos.

Solución. (Nota: se hará que 0.05% es 0.0005; lo mismo aplica para cualquier otro valor de porcentaje). Sea $x$ el número de $dm^3$ de $CO_2$ en la galería en el instante $t$ (en minutos); la concentración de $CO_2$ , en ese momento, es