Transformadores. Problema 8. Máquinas eléctricas.

Problema. Un transformador de potencia monofásico de 5000 (kVA) y 230/13.8 (kV) tiene una resistencia de 1% por unidad y una reactancia de 5% por unidad (estos datos se tomaron de la placa de características del transformador). Los siguientes datos son el resultado de la prueba de circuito abierto que se realizó en el lado de bajo voltaje del transformador: $V_{CAb} = 13.8 \ (kV)$ , $I_{CAb} = 21.1 \ (A)$ , $P_{CAb} = 90.8 \ (kW)$ .

a) Encuentre el circuito equivalente referido al lado de bajo voltaje de este transformador.

b) Si el voltaje en el lado secundario es de 13.8 (kV) y la potencia suministrada es de 4000 (kW) con un $FP=0.8$ en retraso,encuentre la regulación de voltaje del transformador. Determine su eficiencia.

Solución a). Primero se determina la magnitud de la admitancia de excitación

$\displaystyle |Y_{EX}| = \frac{I_{CAb}}{V_{CAb}}$

$\displaystyle |Y_{EX}| = \frac{21.1 \ (A)}{13.8 \times 10^{3} (V)}$

$\displaystyle |Y_{EX}| = 1.529 \times 10^{-3} (S) = 1.529 \ (mS)$

Después, el ángulo del factor de potencia

$\displaystyle \theta = \cos^{-1}{(\frac{P_{CAb}}{V_{CAb} I_{CAb}})}$

$\displaystyle \theta = \cos^{-1}{(\frac{90.8 \times 10^{3}}{(13.8 \times 10^3)(21.1)})}$

$\displaystyle \theta = 71.83$ °

Por lo que, su admitancia es

$Y_{EX} = G_C - j B_M = |Y_M| \angle -\theta$

$Y_{EX} = (1.529 \times 10^{-3}) \angle (-71.83) \ (S)$

$Y_{EX} = (0.477 \times 10^{-3}) - j(1.453 \times 10^{-3}) \ (S)$

De la rama de excitación, sus elementos son

$\displaystyle G_C = \frac{1}{R_C} \rightarrow R_C = \frac{1}{G_C}$

$\displaystyle R_C = \frac{1}{0.477 \times 10^{-3}} = 2096.436 \ (\Omega)$

$\displaystyle B_M = \frac{1}{X_M} \rightarrow X_M = \frac{1}{B_M}$

$\displaystyle X_M = \frac{1}{1.453 \times 10^{-3}} = 688.231 \ (\Omega)$

Ahora, se determina la impedancia base referida al lado secundario

$\displaystyle Z_{base} = \frac{V_{base}^2}{S_{base}}$

$\displaystyle Z_{base} = \frac{(13.8 \times 10^3)^2}{5000 \times 10^3}$

$\displaystyle Z_{base} = 38.088 \ (\Omega)$

Se recuerda que la impedancia equivalente por unidad es

$Z_{eq,pu} = 0.01 + j0.05 \ (pu)$

Así que, los elementos de la impedancia son

$\displaystyle Z_{eq,pu} = \frac{Z_{eq,S}}{Z_{base}}$

$\displaystyle Z_{eq,S} = Z_{eq,pu} Z_{base}$

$\displaystyle R_{eq,S} = (0.01)(38.088) = 0.381 \ (\Omega)$

$\displaystyle X_{eq,S} = (0.05)(38.088) = 1.904 \ (\Omega)$

Teniendo estos datos, el circuito esperado se muestra a continuación

Figura 2.8.1 Circuito final esperado (referido al lado de bajo voltaje).

Solución b). Cálculo de theta

$\cos{\theta} = FP$

$\cos{\theta} = 0.8$

$\theta = \cos^{-1}{(0.8)} = 36.87$ °

Cálculo de la magnitud de la corriente secundaria

$\displaystyle I_S = \frac{P_{carga}}{V_S \cos{\theta}}$

$\displaystyle I_S = \frac{4000 \times 10^3}{(13.8 \times 10^3)(0.8)}$

$\displaystyle I_S = 362.319 \ (A)$

El fasor de la corriente secundaria es

$\displaystyle \boldsymbol{I_S} = 362.319 \angle (-36.87) \ (A)$

El voltaje primario referido al lado secundario es

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = \boldsymbol{V_S} + R_{eq,S} \cdot \boldsymbol{I_S} + jX_{eq,S} \cdot \boldsymbol{I_S}$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 13800 \angle 0 + (0.381) (362.319 \angle (-36.87)) + j1.904(362.319 \angle (-36.87))$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 13800 \angle 0 + (0.381 \angle 0) (362.319 \angle (-36.87)) + (1.904 \angle 90)(362.319 \angle (-36.87))$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 13800 \angle 0 + 138.044 \angle (-36.87) + 689.855 \angle 53.13$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 13800 + j0 + 110.435 - j82.83 + 413.914 + j551.883 = 14324.349 + j469.053$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 14332.027 \angle 1.88 \ (V)$

Teniendo este dato, se puede calcular la regulación de voltaje, y es

$\displaystyle RV = \frac{\frac{V_P}{a}-V_S}{V_S} \times 100$ %

$\displaystyle RV = \frac{14332.027 - 13800}{13800} \times 100$ %

$\displaystyle \therefore RV = 3.86$ %

Para determinar la eficiencia se deben tener los valores de la potencia de salida (que es 4,000 kW = 4,000,000 W), la potencia por las pérdidas en el cobre

$\displaystyle P_{Cu} = I_S^2 R_{eq,S}$