Introducción a la electrónica de potencia. Problema 2. Máquinas eléctricas.

Problema. Calcule el factor de rizado de un circuito rectificador trifásico de onda completa, en forma analítica y utilizando MATLAB.

Solución.

Forma analítica. El circuito rectificador trifásico de onda completa y el voltaje de salida son mostrados a continuación.

*Figura 3.2.1 Circuito rectificador trifásico de onda completa.*

Figura 3.2.2 Forma de onda de la salida de voltaje.
Figura 3.2.3 Forma de onda de la entrada del circuito.

Estudiando la figura 3.2.3, los voltajes de entrada tienen las siguientes expresiones

$\displaystyle v_A (t) = V_M \sin{\omega t}$

$\displaystyle v_B (t) = V_M \sin{(\omega t - \frac{2\pi}{3})}$

$\displaystyle v_C (t) = V_M \sin{(\omega t + \frac{2\pi}{3})}$

Después, por simetría, el voltaje rms está sobre el intervalo desde 0 hasta $T/12$ que será el mismo tanto el voltaje rms como todo el intervalo. En base al intervalo, el voltaje de salida es

$\displaystyle v(t) = v_c (t) - v_b (t)$

$\displaystyle v(t) = V_M \sin{(\omega t + \frac{2\pi}{3})} - V_M \sin{(\omega t - \frac{2\pi}{3})}$

$\displaystyle v(t) = V_M \left(\sin{\omega t} \cos{\frac{2\pi}{3}} + \cos{\omega t} \sin{\frac{2\pi}{3}} \right) - V_M \left(\sin{\omega t}\cos{\frac{2\pi}{3}} - \cos{\omega t} \sin{\frac{2\pi}{3}} \right)$

$\displaystyle v(t) = V_M \left(\sin{\omega t} \cos{\frac{2\pi}{3}} + \cos{\omega t} \sin{\frac{2\pi}{3}} - \sin{\omega t}\cos{\frac{2\pi}{3}} + \cos{\omega t} \sin{\frac{2\pi}{3}} \right)$

$\displaystyle v(t) = V_M \left(2\cos{\omega t} \sin{\frac{2\pi}{3}} \right)$

$\displaystyle v(t) = \sqrt{3} V_M \cos{\omega t}$

Estudiando el periodo de la forma de onda

$\displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega}$

$\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{T}$

$\displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega}$

$\displaystyle \frac{T}{12} = \frac{2\pi}{12 \omega}$

$\displaystyle \frac{T}{12} = \frac{\pi}{6 \omega}$

El voltaje promedio sobre el intervalo 0 a $T/12$ es

$\displaystyle V_{CD} = \frac{1}{T} \int{v(t) \ dt}$

$\displaystyle V_{CD} = \frac{1}{\frac{\pi}{6 \omega}} \int_{0}^{\pi/6}{\sqrt{3} V_M \cos{\omega t} \ dt}$

$\displaystyle V_{CD} = \frac{6 \sqrt{3}}{\pi} V_M \int_{0}^{\pi/6\omega}{\cos{\omega t} \ (\omega \ dt)}$

$\displaystyle V_{CD} = \frac{6 \sqrt{3}}{\pi} \omega V_M \left[\sin{\omega t} \right]_{0}^{\pi/6\omega}$

$\displaystyle V_{CD} = \frac{6 \sqrt{3}}{\pi} V_M \left(\sin{\frac{\pi}{6}} - \sin{0} \right)$

$\displaystyle V_{CD} = \frac{6 \sqrt{3}}{\pi} V_M \cdot \frac{1}{2}$

$\displaystyle V_{CD} = \frac{3\sqrt{3}}{\pi} V_M = 1.654 \ V_M$

El voltaje rms es

$\displaystyle V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int{v^2 (t) \ dt}}$

$\displaystyle V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{\frac{\pi}{6 \omega}} \int_{0}^{6\omega/\pi}{\left(\sqrt{3} V_M \cos{\omega t} \right)^2 \ dt}}$

$\displaystyle V_{rms} = \sqrt{\frac{6 \omega}{\pi} \int_0^{6\omega/\pi}{3 V^2_M \cos^2{\omega t}\ dt}}$

$\displaystyle V_{rms} = \sqrt{\frac{18 \omega}{\pi} V^2_M \int_0^{6\omega/\pi}{\cos^2{\omega t}\ dt}}$

$\displaystyle V_{rms} = \sqrt{\frac{18 \omega}{\pi} V^2_M \int_0^{6\omega/\pi}{\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos{2\omega t} \right) \ dt}}$

$\displaystyle V_{rms} = \sqrt{\frac{18 \omega}{2\pi} V^2_M \int_0^{6\omega / \pi}{\left(1 + \cos{2\omega t} \right) \ dt}}$

$\displaystyle V_{rms} = \sqrt{\frac{9 \omega}{\pi} V^2_M \left[t + \frac{1}{2\omega} \sin{2\omega t} \right]_{0}^{\pi/6\omega}}$

$\displaystyle V_{rms} = \sqrt{\frac{9 \omega}{\pi} V^2_M \left[\frac{\pi}{6 \omega} + \frac{1}{2\omega} \sin{(2\omega \frac{\pi}{6 \omega})}) - (0 + \frac{1}{2\omega}\sin{0} \right]}$

$\displaystyle V_{rms} = \sqrt{\frac{9 \omega}{\pi} V^2_M \left(\frac{\pi}{6 \omega} + \frac{1}{2\omega} \sin{\frac{\pi}{3}} \right)}$

$\displaystyle V_{rms} = \sqrt{\frac{9 \omega}{\pi} V^2_M \left(\frac{\pi}{6 \omega} + \frac{1}{2\omega} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$

$\displaystyle V_{rms} = \sqrt{9 V^2_M \left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4 \pi} \right)} = 1.6554 V_M$

Finalmente, el factor de rizado es

$\displaystyle r = \sqrt{(\left(\frac{V_{rms}}{V_{CD}} \right)^2 - 1} \times 100$ %

$\displaystyle r = \sqrt{(\left(\frac{1.655 V_M}{1.654 V_M} \right)^2 - 1} \times 100$ %

$\displaystyle r = 0.0042 \times 100$ %

$\displaystyle r = 4.2$ %

Utilizando MATLAB

Primero se escribe el siguiente código y guardarlo en formato .m

 function volts = fullwave3(wt)

 %Función para simular la salida de un rectificador trifásico de onda
 %completa.
 %wt = fase en radianes (=omega * time).

 %Convertir la entrada al rango 0<= wt <=2pi while wt >= 2pi
     wt = wt - 2*pi;
 end
 while wt < 0
     wt = wt + 2*pi;
 end

 %Simula la salida del rectificador
 a = sin(wt);
 b = sin(wt - 2pi/3); c = sin(wt + 2pi/3);
 volts = max([a b c]) - min([a b c]);

Al momento de guardar este archivo, debe llamarse «fullwave3.m». Después. escribiendo el siguiente código en otro archivo

 function r = ripple(waveform)

 %Funcion para calcular el rizado de la forma de onda de la entrada.

 %Calcular el valor promedio de la forma onda
 nvals = size(waveform,2);
 temp = 0;
 for ii = 1:nvals
     temp = temp + waveform(ii);
 end
 promedio = temp/nvals;

 %Calculo de los valores rms de la forma de onda.
 temp = 0;
 for ii = 1:nvals
     temp = temp + waveform(ii)^2;
 end
 rms = sqrt(temp/nvals);

 %Cálculo del factor de rizado
 r = sqrt((rms/promedio)^2-1) * 100;

Al momento de guardar el archivo, debe llamarse «ripple.m». Y escribiendo el último código en otro archivo en formato «.m»

 %Archivo .m para calcular el rizado de la salida de un rectificador
 %trifásico de media onda.

 % Primero, se general la salida del rectificador trifásico de media onda.
 waveform = zeros(1,128);
 for ii = 1:128
     waveform(ii) = fullwave3(ii*pi/64);
 end

 %Ahora, se calcula el factor de rizado
 r = ripple(waveform);

 %Muestra el resultado
 string = ['El rizado es de ' num2str(r) '%.'];
 disp(string);

Al momento de guardar este archivo, puede llamarse cualquier nombre. Al ejecutar este último código, en la ventana «Command Window», se observa lo siguiente

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Publicado por Cesar Reyes

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