Introducción a la electrónica de potencia. Problema 4. Máquinas eléctricas.

Problema. ¿Cuál sería el voltaje rms en la carga del circuito de la figura siguiente, si el ángulo de disparo del SCR fuera a) 0°, b) 30°, c) 90°?

Figura 3.4.1 Circuito del problema para determinar el voltaje rms de diferentes ángulos de disparo de un SCR.

Solución. La relación de vueltas del transformador es

$\displaystyle a = \frac{v_p (t)}{v_s (t)} = \frac{N_P}{N_S} = \frac{2}{1}$

$a = 2$

El voltaje de entrada en el circuito mostrado en la figura 3.4.1 es

$\displaystyle v_{ac,P} (t) = 339 \sin{\omega t} \ (V)$

donde $\omega = 377 \ rad/s$ .

Por tanto, el voltaje en el lado secundario del transformador es

$\displaystyle a = \frac{v_p (t)}{v_s (t)} = \frac{v_{ac,P} (t)}{v_{ac,S} (t)} = 2$

$\displaystyle \frac{v_{ac,S} (t)}{v_{ac,P} (t)} = \frac{1}{2}$

$\displaystyle v_{ac,S} (t) = \frac{v_{ac,P} (t)}{2}$

$\displaystyle v_{ac,S} (t) = \frac{339 \sin{377t}}{2}$

$\displaystyle v_{ac,S} (t) = 169.5 \sin{377t} \ (V)$

Ahora, el voltaje promedio aplicado a la carga será la integral a través de la porción de conducción en medio ciclo, dividido por $\pi/\omega$ , el periodo de un medio ciclo. Para un ángulo de disparo de 0°, el voltaje promedio será

$\displaystyle V_{prom} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}{v(t) \ dt}$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{1}{\frac{\pi}{\omega}} \int_{0}^{\pi/\omega}{V_M \sin{\omega t} \ dt}$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{\omega}{\pi} \int_{0}^{\pi/\omega}{V_M \sin{\omega t} \ dt}$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{\omega}{\pi} V_M \left[ - \cos{\omega t} \right]_{0}^{\pi/\omega}$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{\omega}{\pi} V_M \left[ - \frac{1}{\omega} \cos{(\omega \cdot \frac{\pi}{\omega})} + \frac{1}{\omega} \cos{0} \right]$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{\omega}{\pi} V_M \left[ - \frac{1}{\omega} \cos{\pi} + \frac{1}{\omega} \cos{0} \right]$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{\omega}{\pi} V_M \left(\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega} \right)$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{\omega}{\pi} V_M \left(\frac{2}{\omega} \right)$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{2}{\pi}V_M = \frac{2}{\pi}(169.5)$

$\displaystyle \therefore V_{prom} = 107.907 \ (V) \approx 108 \ (V)$

Solución b). Para un ángulo de disparo de 30° (es decir, $\pi/6$ ), el voltaje promedio será

$\displaystyle V_{prom} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}{v(t) \ dt}$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{1}{\frac{\pi}{\omega}} \int_{\pi/6}^{\pi/\omega}{V_M \sin{\omega t} \ dt}$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{\omega}{\pi} \int_{\pi/6}^{\pi/\omega}{V_M \sin{\omega t} \ dt}$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{\omega}{\pi} V_M \left[ - \frac{1}{\omega} \cos{\omega t} \right]_{\pi/6}^{\pi/\omega}$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{\omega}{\pi} V_M \left[ - \frac{1}{\omega} \cos{(\omega \cdot \frac{\pi}{\omega})} + \frac{1}{\omega} \cos{\frac{\pi}{6}} \right]$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{\omega}{\pi} V_M \left[ - \frac{1}{\omega} \cos{\pi} + \frac{1}{\omega} \cos{\frac{\pi}{6}} \right]$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{\omega}{\pi} V_M \left(\frac{1}{\omega} + \frac{\sqrt{3}}{2 \omega} \right)$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{\omega}{\pi} V_M \left(\frac{2 + \sqrt{3}}{2\omega} \right)$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2\pi}V_M = \frac{2+\sqrt{3}}{2\pi}(169.5)$

$\displaystyle \therefore V_{prom} = 100.678 \ (V) \approx 101 \ (V)$

Solución c). Para un ángulo de disparo de 90° (es decir, $\pi/2$ ), el voltaje promedio será

$\displaystyle V_{prom} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}{v(t) \ dt}$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{1}{\frac{\pi}{\omega}} \int_{\pi/2}^{\pi/\omega}{V_M \sin{\omega t} \ dt}$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{\omega}{\pi} \int_{\pi/2}^{\pi/\omega}{V_M \sin{\omega t} \ dt}$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{\omega}{\pi} V_M \left[ - \frac{1}{\omega} \cos{\omega t} \right]_{\pi/2}^{\pi/\omega}$

$\displaystyle V_{prom} = \frac{\omega}{\pi} V_M \left[ - \frac{1}{\omega} \cos{(\omega \cdot \frac{\pi}{\omega})} + \frac{1}{\omega} \cos{\frac{\pi}{2}} \right]$