Problema 2. Un balón cae desde una altura de 100 (ft), el sol marca con el horizonte un ángulo de 40°. Hallar la velocidad a la cual la sombra de la bola se desplaza sobre el suelo cuando ha caído 50 (ft) sabiendo que la bola cae según la ley \displaystyle s= \frac{1}{2} gt^2, siendo g=32.3( ft/seg^2).

Solución. Se obtiene la ecuación estática. Por triángulo rectángulo

\displaystyle \tan{40} = \frac{y}{x}

Despejando “x”

\displaystyle x = \frac{y}{\tan{40}}

Esta expresión es la ecuación estática.

Antes de obtener la ecuación cinemática, se calculan otros datos. Del espacio recorrido por el balón que va cayendo, su ecuación es

\displaystyle s = \frac{1}{2} gt^2

\displaystyle s = \frac{1}{2} (-32.2) t^2

\displaystyle s = -16.1 t^2

El tiempo que caerá el balón a 50 (ft) es:

s = -16.1 t^2

\displaystyle t = \pm {- \frac{s}{16.1}} = +\sqrt{-\frac{s}{16.1}}

\displaystyle t = \sqrt{- \frac{(-50)}{16.1}}

t = 1.762 \ (seg)

La ecuación que representa la caída del balón es:

s = -16.1 t^2

\displaystyle \frac{ds}{dt} = -16.1 \frac{d}{dt} (t^2 ) = -16.1(2t)

\displaystyle \frac{ds}{dt} = -32.2t

La velocidad de caída del balón en ese instante es

\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{ds}{dt}

\displaystyle \frac{dy}{dt} = -32.2t

\displaystyle \frac{dy}{dt} = -32.2(1.762) = -56.7364 \ (ft/seg)

Obteniendo la ecuación cinemática

\displaystyle x = \frac{y}{\tan{40}} = \left( \frac{1}{\tan{40}} \right)y

\displaystyle \frac{dx}{dt} = \left(\frac{1}{\tan{40}}\right) \ \frac{dy}{dt}

Esta es la ecuación cinemática.

Para obtener el resultado final, se sustituye los siguiente

\displaystyle \frac{dx}{dt} = \left(\frac{1}{\tan{40}}\right) \ \frac{dy}{dt}

\displaystyle \frac{dx}{dt} = \left(\frac{1}{\tan{40}} \right)(-56.7364)

\displaystyle \therefore \frac{dx}{dt} = -67.616\ (ft/seg)

Por lo tanto, la sombra se aproxima al punto de caída del balón a razón de 67.616 (ft/seg).

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Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web.

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