El avión ataca al enemigo. Razón de cambio. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema. Un avión vuela a una velocidad de 300 (km/hr) en línea recta y en vuelo horizontal, adelanta a un avión enemigo que vuela paralelamente al mismo nivel y en la misma dirección con una velocidad de 250 (km/hr). El ametralladorista del primer avión dirige el tiro sobre el aeroplano enemigo y gira su arma mientras se adelanta. Si las rutas de los dos aeroplanos tienen una separación de 114 (m), hallar la velocidad de giro de la ametralladora:

a) En el momento de adelantar un avión al otro.
b) Cuando ha transcurrido medio minuto después.

*Figura 3.3.1 Imagen ilustrativa del problema 3.*

Solución a). Se determina la ecuación estática por medio del triángulo rectángulo.

*Figura 3.3.2 Cuando el avión se adelanta del otro.*

*Figura 3.3.3 Triángulo rectángulo del inciso a).*

Utilizando trigonometría

$\displaystyle \tan{\theta} = \frac{0.114}{x}$

Despejando θ

$\displaystyle \theta = \arctan{(\frac{0.114}{x})}$

Este resultado es la ecuación estática.

Se deriva la ecuación estática con respecto a “ $t$ ”:

$\displaystyle \theta = \arctan{(\frac{0.114}{x})}$

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt} \left[\arctan{(\frac{0.114}{x})} \right]$

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = \frac{\frac{d}{dt} (\frac{0.114}{x})}{1+(\frac{0.114}{x})^2}$

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = \frac{- \frac{0.114}{x^2} (\frac{dx}{dt})}{1 + \frac{0.013}{x^2}}$

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = -\frac{0.114}{x^2+0.013} \ \frac{dx}{dt}$

El término “ $\displaystyle \frac{dx}{dt}$ ” representa la velocidad relativa de los aviones A y B, por lo que

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = 50 \ (km/hr)$

*Figura 3.3.4 Posición del avión A cuando está justo sobre el avión B.*

Del a), la velocidad de giro de la ametralladora en el momento de que el avión A adelanta al avión B.

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = -(\frac{0.114}{x^2+0.013}) \ (\frac{dx}{dt})$

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = - \left[ \frac{0.114}{(0)^2+0.013} \right](50)$

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = -438.4615 \ (rad/hr)$

De este último resultado, realizando la conversión de radianes a grados y de horas a minutos:

*Figura 3.3.5 Posición del avión A cuando se adelanta del avión B,*

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = -438.4615 \ (rad/hr)$

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = -438.4615 \ (rad/hr)(\frac{180 \ grados}{\pi \ rad})(\frac{1 \ hr}{3600 \ seg})$

$\displaystyle \therefore \frac{d\theta}{dt} = -6.9783 \ (grados/seg)$

Por lo tanto, el ángulo de tiro disminuye a razón de 6.97 (°/seg).

Del b), primero se determina la distancia horizontal que ha avanzado el avión A con respecto al avión B en medio minuto:

$\displaystyle v_x = \frac{dx}{dt} = 50 \ (km/hr)$

$\displaystyle v_x = 50 \ (km/hr) (\frac{1 \ hr}{3600 \ seg}) = 0.0139 \ (km/seg)$

Despejando la distancia horizontal, representado como “ $x$ ”:

$\displaystyle v_x = \frac{x}{t}$

$x = t \ v_x$

$x = (30 seg)(0.0139 km/seg)$

$x=0.417 \ (km)$

La velocidad de giro de la ametralladora, después de medio minuto, es:

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = -(\frac{0.114}{x^2+0.013})(\frac{dx}{dt})$

$\displaystyle {d\theta}{dt} = - \left[ \frac{0.114}{(0.417)^2+0.013} \right](50 \ km/hr)$

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = -30.499 \ (rad/hr)$

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = (-30.499 \ rad/hr) \left(\frac{1 \ hr}{3600 \ seg} \right) \left( \frac{180 \ grados}{\pi \ rad} \right)$

$\displaystyle \therefore \frac{d\theta}{dt} = -0.485$ (°/seg)

Por lo tanto, después de medio minuto, la ametralladora disminuirá su velocidad de giro a 0.485 (°/seg).

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Publicado por Cesar Reyes

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