Reloj de arena. Razón de cambio. Aplicaciones del cálculo diferencial.

Problema. Hay un reloj de arena cuyo cono inferior tiene en un momento dado 60 (cm) de altura y 30 (cm) de radio en la base. Al voltearlo, la arena desciende a velocidad constante de 1 ( $cm^3/min$ ). ¿A qué velocidad sube el nivel en el cono inferior si suponiendo que la superficie es plana y horizontal cuando la altura de la área es de 20 (cm)?

Solución. Utilizando la ecuación del volumen del tronco de cono formado por la arena

$\displaystyle V = \frac{1}{3} h(B_1 + B_2 + \sqrt{B_1 B_2})$

Para determinar la base mayor, se sabe que $r_1=30$ , entonces

$B_1 = \pi r_1^2$

$B_1 = \pi (30)^2$

$B_1 = 900 \pi$

Y en el caso de la base menor, $r_2=r$

$B_2 = \pi r_2^2$

$B_2 = \pi r^2$

Sustituyendo estos parámetros en la ecuación del volumen del tronco

$\displaystyle V = \frac{1}{3} h (B_1 + B_2 + \sqrt{B_1 B_2})$

$\displaystyle V = \frac{1}{3} h(900 \pi + \pi r^2 + \sqrt{(900 \pi)(\pi r^2)}$

$\displaystyle V = \frac{1}{3} h(900 \pi + \pi r^2 + \sqrt{900\pi^2 r^2})$

$\displaystyle V = \frac{1}{3} h(900\pi + \pi r^2 + 30\pi r)$

$\displaystyle V = \frac{1}{3} \pi h(900 + r^2 + 30r)$

$\displaystyle V = \frac{1}{3} \pi h(r^2 + 30r + 900)$

Del cono inferior se observa lo siguiente

Por triángulos semejantes

$\displaystyle \frac{60}{30} = \frac{60-h}{r}$

$\displaystyle 2 = \frac{60-h}{r}$

$\displaystyle r = \frac{60-h}{2}$

Sustituyendo en la ecuación del volumen del tronco de cono

$\displaystyle V = \frac{1}{3} \pi h(r^2+30r+900)$

$\displaystyle V = \frac{1}{3} \pi h \left[(\frac{60-h}{2})^2 + 30(\frac{60-h}{2}) + 900 \right]$

$\displaystyle V = \frac{1}{3} \pi h(\frac{3600-120h+h^2}{4} + \frac{1800-30h}{2} + 900)$

$\displaystyle V = \frac{1}{3} \pi h(900 - 30h + \frac{h^2}{4} + 900 - 15h + 900)$

$\displaystyle V = \frac{1}{3} \pi h(\frac{h^2}{4} - 45h + 2700)$

$\displaystyle V = \frac{1}{3} \pi (\frac{h^3}{4} - 45h^2 + 2700h)$

Esto representa la ecuación estática.

Ahora, derivando en ambos miembros con respecto a “ $x$ ”

$\displaystyle \frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left[\frac{1}{3} \pi (\frac{h^3}{4} - 45h^2 + 2700h) \right]$

$\displaystyle \frac{dV}{dt} = (\frac{1}{3} \pi) \frac{d}{dt} (\frac{h^3}{4} - 45h^2 + 2700h)$

$\displaystyle \frac{dV}{dt} = (\frac{1}{3} \pi) \left[\frac{1}{4} \frac{d}{dt} (h^3) - 45 \frac{d}{dt} (h^2) + 2700 \frac{d}{dt} (h) \right]$

$\displaystyle \frac{dV}{dt} = (\frac{1}{3} \pi) \left[\frac{1}{4} (3h^2) \frac{dh}{dt} - 45(2h) \frac{dh}{dt} + 2700 \frac{dh}{dt} \right]$

$\displaystyle \frac{dV}{dt} = (\frac{1}{3} \pi)(\frac{3}{4} h^2 \frac{dh}{dt} - 90h \frac{dh}{dt} + 2700 \frac{dh}{dt})$

$\displaystyle \frac{dV}{dt} = (\frac{1}{3} \pi)(\frac{3}{4} h^2 - 90h + 2700) \frac{dh}{dt}$

Despejando “ $\displaystyle dh/dt$ ”

$\displaystyle \frac{dV}{dt} = (\frac{1}{3} \pi)(\frac{3}{4} h^2 - 90h + 2700) \frac{dh}{dt}$

$\displaystyle \frac{\frac{dV}{dt}}{\frac{1}{3} \pi (\frac{3}{4} h^2 - 90h + 2700)} = \frac{dh}{dt}$

$\displaystyle \frac{dh}{dt} = \frac{\frac{dV}{dt}}{\frac{1}{3} \pi (\frac{3}{4} h^2 - 90h + 2700)}$

Y esto es la ecuación cinemática. Para obtener el resultado deseado, se sabe que los datos son $\displaystyle \frac{dV}{dt} = 1$ y $h=20$ . Entonces

$\displaystyle \frac{dh}{dt} = \frac{\frac{dV}{dt}}{\frac{1}{3} \pi (\frac{3}{4} h^2 - 90h + 2700)}$

$\displaystyle \frac{dh}{dt} = \frac{1}{(\frac{1}{3} \pi)[\frac{3}{4} (20)^2 - 90(20) + 2700]}$

$\displaystyle \therefore \frac{dh}{dt} = \frac{1}{400 \pi} \approx 7.95 \times 10^{-4} \ (cm / min)$

Por lo tanto, el nivel de la área sube a razón de 7.95×10^(-4) (cm/min).

Reloj de arena. Razón de cambio. Aplicaciones del cálculo diferencial.

Publicado por Cesar Reyes

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