La parábola y el retángulo. Máximos y mínimos. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema. Dada la parábola $y^2=16x$ , calcular el área del mayor rectángulo que se puede inscribir en la parábola entre el vértice y su lado recto.

*Figura 4.11.1 Representando la parábola y el rectángulo*

Solución.

Paso 1. La parábola tiene vértice en el origen y sobre el eje y, por lo que, su ecuación general es

$y^2 = 4px$

Si compara con la ecuación del problema

$y^2 = 16x$

Se tiene que $p=4$ , el foco tiene su coordenada como $(p,0)$ o $(4,0)$ , y la ecuación del lado recto es $x=p$ o $x=4$ .

En el rectángulo, su área es

$A = \mathrm{base} \cdot \mathrm{altura}$

$A = (4-x)(2y)$

Paso 2. De la ecuación de la parábola, se despeja la variable “ $y$ ”

$y^2 = 16x$

$\displaystyle y = \pm \sqrt{16x}$

$\displaystyle y = 4\sqrt{x} = 4x^{1/2}$

Paso 3. Sustituyendo este último resultado en la ecuación del área

$A = (4-x)(2y)$

$\displaystyle A = (4-x) \cdot 2(4x^{1/2})$

$\displaystyle A=8 \left(4x^{1/2} - x^{3/2} \right)$

$\displaystyle A = 32x^{1/2} - 8x^{3/2}$

Paso 4. Derivando la ecuación “ $A$ ” con respecto a la variable independiente

$\displaystyle \frac{d}{dx} (A) = \frac{d}{dx} \left(32x^{1/2} - 8x^{3/2} \right)$

$\displaystyle \frac{dA}{dx} = 32 \frac{d}{dx} (x^{1/2}) - 8 \frac{d}{dx} (x^{3/2})$

$\displaystyle \frac{dA}{dx} = 32 \left(\frac{1}{2} x^{-1/2} \right) - 8 \left(\frac{3}{2} x^{1/2} \right)$

$\displaystyle \frac{dA}{dx} = 16x^{-1/2} - 12x^{1/2}$

Paso 5. Si $\displaystyle \frac{dA}{dx} = 0$

$\displaystyle \frac{dA}{dx} = 16x^{-1/2} - 12x^{1/2}$

$\displaystyle 0 = 16x^{-1/2} - 12x^{1/2}$

$\displaystyle 12x^{1/2} = 16x^{-1/2}$

$\displaystyle \frac{x^{1/2}}{x^{-1/2}} = \frac{16}{12}$

$\displaystyle x = \frac{4}{3}$

Sustituyendo el valor de “ $x$ ” con la ecuación “ $y$ ” despejada por la ecuación de la parábola

$\displaystyle y = 4x^{1/2}$

$\displaystyle y = 4\left(\frac{4}{3} \right)^{1/2} = 4 \sqrt{\frac{4}{3}}$

$\displaystyle y = 4 \left( \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} \right) = 4 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$

$\displaystyle y = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8}{3} \sqrt{3}$

De los valores de “ $x$ ” y “ $y$ ” calculados, se sustituirán en la fórmula del área

$A = (4-x)(2y)$

$\displaystyle A = \left(4 - \frac{4}{3} \right) \cdot 2 \left(\frac{8}{3} \sqrt{3} \right)$

$\displaystyle A = \frac{128}{9} \sqrt{3}$

Paso 6. De la ecuación del área, se calcula su segunda derivada

$\displaystyle \frac{dA}{dx} = 16x^{-1/2} - 12x^{1/2}$

$\displaystyle \frac{d}{dx} \left(\frac{dA}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( 16x^{-1/2} - 12x^{1/2} \right)$

$\displaystyle \frac{d^2A}{dx^2} = 16 \frac{d}{dx} (x^{-1/2}) - 12 \frac{d}{dx} (x^{1/2})$

$\displaystyle \frac{d^2A}{dx^2} = 16 \left(-\frac{1}{2} x^{-3/2} \right) - 12 \left(\frac{1}{2} x^{-1/2} \right)$

$\displaystyle \frac{d^2A}{dx^2} = -\frac{16}{2} x^{-3/2} - \frac{12}{2} x^{-1/2}$

$\displaystyle \frac{d^2 A}{dx^2} = -8x^{-3/2} - 6x^{-1/2}$

$\displaystyle \frac{d^2 A}{dx^2} = - \frac{8}{x^{3/2}} - \frac{6}{x^{1/2}}$

Tomando el valor de $\displaystyle x = \frac{4}{3}$

$\displaystyle \left. \frac{d^2 A}{dx^2} \right|_{x=4/3} = - \frac{8}{(\frac{4}{3})^{3/2}} - \frac{6}{(\frac{4}{3})^{1/2}}$

$\displaystyle \frac{d^2 A}{dx^2} = -10.3924$

Como $\displaystyle \frac{d^2 A}{dx^2} < 0$ por lo que el valor del área se trata de un máximo.

De la base del rectángulo

$\text{base} = 4- x$

$\displaystyle \text{base} = 4 - \frac{4}{3}$

$\displaystyle \text{base} = \frac{8}{3}$

De la altura del rectángulo

$\displaystyle \text{altura} = 2y$

$\displaystyle \text{altura} = 2 \left(\frac{8}{3} \sqrt{3} \right)$

$\displaystyle \text{altura} = \frac{16}{3} \sqrt{3}$

Finalmente, el área rectangular tendrá un mayor valor cuando su base sea de $\displaystyle \frac{8}{3}$ y su altura de $\displaystyle \frac{16}{3} \sqrt{3}$ .

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Publicado por Cesar Reyes

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