Problema. ¿Cuál es el número tal que el cociente de su logaritmo neperiano y el número es máximo?

Solución.

Paso 1. El enunciado del problema menciona, cociente entre el logaritmo neperiano y un número. Entonces, asignando a “x” como un número cualquiera, se  obtiene una función denominado como “y” que represente dicho cociente.

\displaystyle y = \frac{\ln{x}}{x}

Paso 2. Derivando “y” con respecto a “x”

\displaystyle \frac{d}{dx} (y) = \frac{d}{dx} \left(\frac{\ln{x}}{x} \right)

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - 1 \cdot \ln{x}}{x^2}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1 - \ln{x}}{x^2}

Paso 3. Si \displaystyle \frac{dy}{dx} = 0

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1 - \ln{x}}{x^2}

\displaystyle 0 = \frac{1 - \ln{x}}{x^2}

Si x \ne 0

0 = 1 - \ln{x}

\ln{x} = 1

\displaystyle \ln{x} = \ln{e}

x = e

Del valor de “x” calculado, sustituyendo en la ecuación “y”

\displaystyle y = \frac{\ln{x}}{x}

\displaystyle y = \frac{\ln{e}}{e}

\displaystyle y = \frac{1}{e}

Paso 4. Del resultado de la primera derivada de “y”, se determina su segunda derivada

\displaystyle \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1 - \ln{x}}{x^2} \right)

\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{x^2 \left(-\frac{1}{x} \right) - (1 - \ln{x})(2x)}{x^4}

\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{- x - 2x + 2x \ln{x}}{x^4}

\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-3x + 2x \ln{x}}{x^4}

\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-3 + 2 \ln{x}}{x^3}

Tomando el valor de “x” y sustituyendo en este último resultado

\displaystyle \left. \frac{d^2 y}{dx^2} \right|_{x=e} = \frac{- 3 + 2 \ln{e}}{e^3}

\displaystyle \left. \frac{d^2 y}{dx^2} \right|_{x=e} = \frac{-3+2}{e^3}

\displaystyle \left. \frac{d^2 y}{dx^2} \right|_{x=e} = - \frac{1}{e^3}

Donde \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}<0. Se trata de un máximo.

Por lo tanto, el número es e=2.7183 para que su cociente tenga un resultado máximo.

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Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web.

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