13 agosto, 201918 agosto, 2019 Cesar Reyes blog, laplace

Primera propiedad de traslación en la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

Si $\mathcal{L} [f(t)] = F(s)$ entonces

$\mathcal{L} [f(t) \cdot e^{at}] = F(s-a)$

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver $f(t) = t^2 e^{3t}$ .

Solución. La transformada de Laplace de $t^2$ es

$\displaystyle \mathcal{L} [t^2] = \frac{2!}{s^3}$

$\displaystyle \mathcal{L} [t^2] = \frac{2}{s^3}$

Por tanto, la transformada de Laplace del problema es

$\displaystyle \therefore \mathcal{L} [t^2 e^{3t}] = \frac{2}{(s-3)^3}$

Problema 2. Obtener la transformada de Laplace de $\displaystyle e^{-2t} \sin{4t}$ .

Solución. La transformada de Laplace de $\sin{4t}$ es

$\displaystyle \mathcal{L} [\sin{4t}] = \frac{4}{s^2 + 4^2}$

$\displaystyle \mathcal{L} [\sin{4t}] = \frac{4}{s^2 + 16}$

Por tanto, la transformada de Laplace de $e^{-2t} \sin{4t}$ es

$\displaystyle \mathcal{L} [e^{-2t} \sin{4t}] = \frac{4}{(s+2)^2 + 16}$

$\displaystyle \mathcal{L} [e^{-2t} \sin{4t}] = \frac{4}{s^2 + 4s + 4 + 16}$

$\displaystyle \therefore \mathcal{L} [e^{-2t} \sin{4t}] = \frac{4}{s^2 + 4s + 20}$

Problema 3. Calcular la transformada de Laplace para $e^{4t} \cosh{5t}$ .

Solución. Se determina la transformada de Laplace de $\cosh{5t}$ .

$\displaystyle \mathcal{L} [\cosh{5t}] = \frac{s}{s^2 - 5^2}$

$\displaystyle \mathcal{L} [\cosh{5t}] = \frac{s}{s^2 - 25}$

Por lo que la transformada de Laplace de $e^{4t} \cosh{5t}$ es

$\displaystyle \mathcal{L} [e^{4t} \cosh{5t}] = \frac{(s-4)}{(s-4)^2 - 25}$

$\displaystyle \mathcal{L} [e^{4t} \cosh{5t}] = \frac{(s-4)}{s^2 - 8s + 16 - 25}$

$\displaystyle \therefore \mathcal{L} [e^{4t} \cosh{5t}] = \frac{(s-4)}{s^2 - 8s - 9}$

Problema 4. Resolver $f(t) = 3 e^{-2t} \cos{6t} - 8 e^{3t} \sin{8t}$ .

Solución. Aplicando la transformada de Laplace en ambos miembros y tomando la propiedad de linealidad resulta que

$\displaystyle f(t) = 3 e^{-2t} \cos{6t} - 8 e^{3t} \sin{8t}$

$\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = \mathcal{L} [3 e^{-2t} \cos{6t} - 8 e^{3t} \sin{8t}]$

$\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = \mathcal{L} [3 e^{-2t} \cos{6t}] - \mathcal{L} [8 e^{3t} \sin{8t}]$

$\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = 3 \ \mathcal{L} [e^{-2t} \cos{6t}] - 8 \ \mathcal{L} [e^{3t} \sin{8t}]$

En el primer termino del segundo miembro, la transformada de Laplace de $\cos{6t}$ es

$\displaystyle \mathcal{L} [\cos{6t}] = \frac{s}{s^2 + 6^2}$

$\displaystyle \mathcal{L} [\cos{6t}] = \frac{s}{s^2 + 36}$

Por lo que la transformada de Laplace de $e^{-2t} \cos{6t}$ es

$\displaystyle \mathcal{L} [e^{-2t} \cos{6t}] = \frac{(s+2)}{(s+2)^2 + 36}$

$\displaystyle \mathcal{L} [e^{-2t} \cos{6t}] = \frac{(s+2)}{s^2 + 4s + 4 + 36}$

$\displaystyle \mathcal{L} [e^{-2t} \cos{6t}] = \frac{(s+2)}{s^2 + 4s + 40}$

En el segundp termino del segundo miembro, la transformada de Laplace de $\sin{8t}$ es

$\displaystyle \mathcal{L} [\sin{8t}] = \frac{8}{s^2 + 8^2}$

$\displaystyle \mathcal{L} [\sin{8t}] = \frac{8}{s^2 + 64}$

Por lo que la transformada de Laplace de $e^{3t} \sin{8t}$ es

$\displaystyle \mathcal{L} [e^{3t} \sin{8t}] = \frac{8}{(s-3)^2 + 64}$

$\displaystyle \mathcal{L} [e^{3t} \sin{8t}] = \frac{8}{s^2 - 6s + 9 + 64}$

$\displaystyle \mathcal{L} [e^{3t} \sin{8t}] = \frac{8}{s^2 - 6s + 73}$

Entonces

$\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = 3 \ \mathcal{L} [e^{-2t} \cos{6t}] - 8 \ \mathcal{L} [e^{3t} \sin{6t}]$

$\displaystyle F(s) = 3 \left[ \frac{(s+2)}{s^2 + 4s + 40} \right] - 8 \left( \frac{8}{s^2 - 6s + 73} \right)$

$\displaystyle \therefore F(s) = \frac{3(s+2)}{s^2 + 4s + 40} - \frac{64}{s^2 - 6s + 73}$

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web. Ver todas las entradas de Cesar Reyes

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