Segunda propiedad de traslación en la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

Si $f(t) = F(s)$ , para $f(t-a)$ si $t>a$ es

$\mathcal{L} [f(t-a)] = e^{-as} F(s)$

Problemas resueltos

Problema 1. Obtener la transformada de Laplace para la función

$\displaystyle f(t) = \left\{ \begin{matrix} \cos{(t - \frac{2\pi}{3})} \quad \text{para} \ t > \frac{2\pi}{3} \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad \ \text{para} \ t < \frac{2\pi}{3} \end{matrix} \right.$

Solución. Primero, se determina la transformada de Laplace de la función $\cos{t}$ .

$\displaystyle \mathcal{L} [\cos{t}] = \frac{s}{s^2+1^2}$

$\displaystyle \mathcal{L} [\cos{t}] = \frac{s}{s^2+1}$

Observando la función $\cos{(t - \frac{2\pi}{3})}$ y comparando con $f(t-a)$ , se tiene que

$\displaystyle f(t-a) = \cos{(t - \frac{2\pi}{3})}$

Luego

$\displaystyle t-a = t - \frac{2\pi}{3}$

$\displaystyle a = \frac{2\pi}{3}$

Así que

$\displaystyle e^{-as} \cdot \left(\frac{s}{s^2+1} \right) = e^{-\frac{2\pi}{3} s} \cdot \left(\frac{s}{s^2+1} \right)$

$\displaystyle e^{-as} \cdot \left(\frac{s}{s^2+1} \right) = \frac{s \ e^{-\frac{2\pi}{3} s} }{s^2+1}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore f(t) = \frac{s \ e^{-\frac{2\pi}{3} s}}{s^2+1}$

Problema 2. Obtener la transformada de Laplace para la función

$\displaystyle f(t) = \left\{\begin{matrix} (t-1)^2 \quad \quad \quad \text{para} \ t > 1 \\ 0 \quad \quad \quad \quad \text{para} \ 0 < t < 1 \end{matrix} \right.$

Solución. Primero, se determina la transformada de Laplace de la función $t^2$ .

$\displaystyle \mathcal{L} [t^2] = \frac{2!}{s^3}$

$\displaystyle \mathcal{L} [t^2] = \frac{2}{s^3}$

Observando la función $(t - 1)^2$ y comparando con $f(t-a)$ , se tiene que

$\displaystyle f(t-a) = (t-1)^2$

Luego

$\displaystyle t-a = t - 1$

$\displaystyle a = 1$

Así que

$\displaystyle e^{-as} \cdot \left(\frac{2}{s^3} \right) = e^{-1 \cdot s} \cdot \left(\frac{2}{s^3} \right)$

$\displaystyle e^{-as} \cdot \left(\frac{2}{s^3} \right) = e^{-s} \cdot \left(\frac{2}{s^3} \right)$

$\displaystyle e^{-as} \cdot \left(\frac{2}{s^3} \right) = \frac{2 e^{-s}}{s^3}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore f(t) = \frac{2 e^{-s}}{s^3}$

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web. Ver todas las entradas de Cesar Reyes

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