Transformada de Laplace de la integral de una función. Laplace.

Introducción

Si $\mathcal{L} [f(t)] = F(s)$ , entonces

$\displaystyle \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{f(\tau) \ d\tau} \right] = \frac{F(s)}{s}$

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar $\displaystyle \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{\frac{\sin{\tau}}{\tau} \ d\tau} \right]$ .

Solución. Primero se determina la transformada de Laplace de $\sin{t}$

$\displaystyle \mathcal{L} [\sin{t}] = \frac{1}{s^2+1}$

Entonces, con la integral incluida, resulta

$\displaystyle \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{\sin{\tau} \ d\tau} \right] = \frac{\frac{1}{s^2+1}}{s}$

$\displaystyle \therefore \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{\sin{\tau} \ d\tau} \right] = \frac{1}{s(s^2+1)}$

Problema 2. Determinar $\displaystyle \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{\left(\tau^2 - \tau + e^{-\tau} \right) \ d\tau} \right]$ .

Solución. Primero se distribuye cada término con su respectiva integral definida

$\displaystyle \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{\left(\tau^2 - \tau + e^{-\tau} \right) \ d\tau} \right] = \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{\tau^2 \ d\tau} - \int_{0}^{t}{\tau \ d \tau} + \int_{0}{t}{e^{-\tau} \ d\tau} \right]$

Aplicando la propiedad de linealidad

$\displaystyle \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{\tau^2 \ d\tau} - \int_{0}^{t}{\tau \ d \tau} + \int_{0}{t}{e^{-\tau} \ d\tau} \right] = \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{\tau^2 \ d\tau} \right] - \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{\tau \ d \tau} \right] + \mathcal{L} \left[\int_{0}{t}{e^{-\tau} \ d\tau} \right]$

Ahora, analizando el segundo miembro, las transformadas de Laplace de cada término son

$\displaystyle \mathcal{L} [t^2] = \frac{2!}{s^3} = \frac{2}{s^3}$

$\displaystyle \mathcal{L} [t] = \frac{1!}{s^2} = \frac{1}{s^2}$

$\displaystyle \mathcal{L} [e^{-t}] = \frac{1}{s+1}$

Entonces, aplicando la propiedad de la transformada de Laplace de la integral de una función por cada término del segundo miembro, resulta que

$\displaystyle \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{\left(\tau^2 - \tau + e^{-\tau} \right) \ d\tau} \right] = \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{\tau^2 \ d\tau} \right] - \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{\tau \ d \tau} \right] + \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{e^{-\tau} \ d\tau} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{\left(\tau^2 - \tau + e^{-\tau} \right) \ d\tau} \right] = \frac{\frac{2}{s^3}}{s} - \frac{\frac{1}{s^2}}{s} + \frac{\frac{1}{s+1}}{s}$

$\displaystyle \therefore \mathcal{L} \left[\int_{0}^{t}{\left(\tau^2 - \tau + e^{-\tau} \right) \ d\tau} \right] = \frac{2}{s^4} - \frac{1}{s^3} + \frac{1}{s(s+1)}$

Transformada de Laplace de la integral de una función. Laplace.

Introducción

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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