Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes variables utilizando la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

Una ecuación especial en la cual el método resulta útil es aquella en la cual cada uno de sus términos es de la forma

$t^n y^{(n)}(t)$

donde su transformada de Laplace es

$\displaystyle {(-1)}^m \frac{d^m}{ds^m} \mathcal{L}[y^{(n)}(t)]$

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver $\displaystyle ty'' + y' + 4ty = 0$ , para $y(0) = 3$ y $y'(0) = 0$ .

Solución. Utilizando la transformada de Laplace en ambos miembros

$\displaystyle ty'' + y' + 4ty = 0$

$\displaystyle \mathcal{L} [ty'' + y' + 4ty] = \mathcal{L} [0]$

$\displaystyle \mathcal{L} [ty''] + \mathcal{L} [y'] + \mathcal{L} [4ty] = \mathcal{L} [0]$

$\displaystyle \mathcal{L} [ty''] + \mathcal{L} [y'] + 4 \mathcal{L} [ty] = \mathcal{L} [0]$

$\displaystyle {(-1)}^{1} \frac{d}{ds}[s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)] + [s Y(s) - y(0)] + 4 {(-1))}^{1} \frac{d}{ds}[Y(s)] = 0$

$\displaystyle - \frac{d}{ds}[s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)] + [s Y(s) - y(0)] - 4 \frac{d}{ds}[Y(s)] = 0$

Sabiendo $y(0)=3$ y $y'(0)=0$ ,

$\displaystyle - \frac{d}{ds}[s^2 Y(s) - s (3) - 0] + [s Y(s) - (3)] - 4 \frac{dY}{ds} = 0$

$\displaystyle - \frac{d}{ds}[s^2 Y(s) - 3s] + s Y(s) - 3 - 4 \frac{dY}{ds} = 0$

$\displaystyle - \left[s^2 \frac{dY}{ds} + 2s Y(s) - 3 \right] + s Y(s) - 3 - 4 \frac{dY}{ds} = 0$

$\displaystyle - s^2 \frac{dY}{ds} - 2s Y(s) + 3 + s Y(s) - 3 - 4 \frac{dY}{ds} = 0$

$\displaystyle - (s^2 + 4) \frac{dY}{ds} - s Y(s) = 0$

$\displaystyle (s^2 + 4) \frac{dY}{ds} + s Y(s) = 0$

$\displaystyle \frac{dY}{Y(s)} + \frac{s \ ds}{s^2+4} = 0$

$\displaystyle \ln{Y(s)} + \frac{1}{2} \ln{(s^2+4)} = C_1$

$\displaystyle \ln{[Y(s) \sqrt{s^2+4}]} = \ln{e^{C_1}}$

$\displaystyle Y(s) \sqrt{s^2+4} = C$

$\displaystyle Y(s) = \frac{C}{\sqrt{s^2+4}}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros, resulta que

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{C}{\sqrt{s^2+4}} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = C \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{\sqrt{s^2+4}} \right]$

$\displaystyle y(t) = C \ J_0 (2t)$

Por último, se determinará el valor de $C$ . Utilizando $y(0)=3$ , el valor de $C$ es

$\displaystyle y(t) = C \ J_0 (2t)$

$\displaystyle y(0) = C \ J_0 [2(0)]$

$\displaystyle 3 = C \ J_0$

$\displaystyle 3 = C$

Sustituyendo en el resultado de $y(t)$ ,

$\displaystyle y(t) = C \ J_0 (2t)$

$\displaystyle y(t) = 3 J_0 (2t)$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore y(t) = 3 J_0 (2t)$

Problema 2. Resolver $\displaystyle t y'' + 2y' + ty =0$ , donde $y(0+) = 1$ y $y(\pi) = 0$ .

Solución. Aplicando la transformada de Laplace en ambos miembros

$\displaystyle t y'' + 2y' + ty =0$

$\displaystyle \mathcal{L} [t y'' + 2y' + ty] = \mathcal{L} [0]$

$\displaystyle \mathcal{L} [t y''] + \mathcal{L} [2y'] + \mathcal{L} [ty] = \mathcal{L} [0]$

$\displaystyle \mathcal{L} [t y''] + 2 \mathcal{L} [y'] + \mathcal{L} [ty] = \mathcal{L} [0]$

Al momento de aplicar el teorema de la multiplicación de potencias de $t$ , se toma el valor de 0 hacia la derecha (es decir $0+$ ), en vez de utilizar simplemente el cero ya que el problema brinda una condición inicial con $0+$ . Entonces,

$\displaystyle {(-1)}^{1} \frac{d}{ds} [s^2 Y(s) - s y(0+) - y'(0+)] + 2 [sY(s) - y(0+)] + {(-1)}^{-1} \frac{d}{ds} [Y(s)] = 0$

$\displaystyle - \frac{d}{ds} [s^2 Y(s) - s y(0+) - y'(0+)] + 2 [sY(s) - y(0+)] - \frac{d}{ds} [Y(s)] = 0$

Sabiendo $y(0+) = 1$ ,

$\displaystyle - \frac{d}{ds} [s^2 Y(s) - s (1) - y'(0)] + 2 [sY(s) - (1)] - \frac{d}{ds} [Y(s)] = 0$

$\displaystyle - \frac{d}{ds} [s^2 Y(s) - s - y'(0)] + 2 [sY(s) - 1] - \frac{d}{ds} [Y(s)] = 0$

Como se desconoce el valor de $y'(0)$ , sea $y'(0)=c$ . Así que

$\displaystyle - \frac{d}{ds} [s^2 Y(s) - s - c] + 2 [sY(s) - 1] - \frac{d}{ds} [Y(s)] = 0$

$\displaystyle - \left[s^2 \frac{dY}{ds} + 2s Y(s) - 1 \right] + 2 [sY(s) - 1] - \frac{d}{ds} [Y(s)] = 0$

$\displaystyle - s^2 \frac{dY}{ds} - 2s Y(s) + 1 + 2s Y(s) - 2 - \frac{dY}{ds} = 0$

$\displaystyle - (s^2+1) \frac{dY}{ds} - 1 = 0$

$\displaystyle (s^2+1) \frac{dY}{ds} + 1 = 0$

$\displaystyle dY + \frac{ds}{s^2+1} = 0$

$\displaystyle Y(s) + \tan^{-1}{s} = C$

$\displaystyle Y(s) = - \tan^{-1}{s} + C$

Si $Y(s)$ tiende a cero cuando $s$ tienda a infinito, el valor de $C$ es,

$\displaystyle Y(s) = - \tan^{-1}{s} + C$

$\displaystyle Y(\infty) = - \tan^{-1} (\infty) + C$

$\displaystyle 0 = -\frac{\pi}{2} + C$

$\displaystyle C = \frac{\pi}{2}$

Sustituyendo en el resultado de $Y(s)$ , resulta

$\displaystyle Y(s) = - \tan^{-1}{s} + C$

$\displaystyle Y(s) = - \tan^{-1}{s} + \frac{\pi}{2}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}{s}$

$\displaystyle Y(s) = \tan^{-1}{\frac{1}{s}}$

Tomando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros,

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\tan^{-1}{\frac{1}{s}} \right]$

$\displaystyle y(t) = \frac{\sin{t}}{t}$

Como satisface la condición $y(\pi) = 0$ , es el resultado final. Por tanto,

$\displaystyle \therefore y(t) = \frac{\sin{t}}{t}$

Problema 3. Resolver $\displaystyle y'' - ty' + y = 1$ , donde $y(0)=1$ y $y'(0)=2$ .

Solución. Tomando la transformada de Laplace en ambos lados, se tiene lo siguiente

$\displaystyle y'' - ty' + y = 1$

$\displaystyle \mathcal{L} [y'' - ty' + y] = \mathcal{L} [1]$

$\displaystyle \mathcal{L} [y''] - \mathcal{L} [ty'] + \mathcal{L} [y] = \mathcal{L} [1]$

$\displaystyle [s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)] - {(-1)}^{-1} \frac{d}{ds} [s Y(s) - y(0)] + Y(s) = \frac{1}{s}$

$\displaystyle s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - (-1) \frac{d}{ds} [s Y(s) - y(0)] + Y(s) = \frac{1}{s}$

$\displaystyle s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + \frac{d}{ds} [s Y(s) - y(0)] + Y(s) = \frac{1}{s}$

Sabiendo que $y(0) =1$ y $y'(0) = 2$ ,

$\displaystyle s^2 Y(s) - s (1) - (2) + \frac{d}{ds} [s Y(s) - (1)] + Y(s) = \frac{1}{s}$

$\displaystyle s^2 Y(s) - s - 2 + \frac{d}{ds} [s Y(s) - 1] + Y(s) = \frac{1}{s}$

$\displaystyle s^2 Y(s) - s - 2 + [s \frac{dY}{ds} + Y(s)] + Y(s) = \frac{1}{s}$

$\displaystyle s^2 Y(s) - s - 2 + s \frac{dY}{ds} + Y(s) + Y(s) = \frac{1}{s}$

$\displaystyle s \frac{dY}{ds} + (s^2 + 2) Y(s) =s + 2 + \frac{1}{s}$

$\displaystyle \frac{dY}{ds} + \left(\frac{s^2 + 2}{s} \right) Y(s) = \frac{s}{s} + \frac{2}{s} + \frac{1}{s \cdot s}$

$\displaystyle \frac{dY}{ds} + \left(s + \frac{2}{s} \right) Y(s) = 1 + \frac{2}{s} + \frac{1}{s^2}$

Resolviendo esta ecuación diferencial por el método del factor integrante, se tiene lo siguiente

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{e^{\int{\left(s + \frac{2}{s} \right) \ ds}}} \int{e^{\int{\left(s + \frac{2}{s} \right)} \ ds} \cdot \left(1 + \frac{2}{s} + \frac{1}{s^2} \right) \ ds}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} s^2 + 2 \ln{s}}} \int{e^{\frac{1}{2} s^2 + 2 \ln{s}} \cdot \left(1 + \frac{2}{s} + \frac{1}{s^2} \right) \ ds}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} s^2 + \ln{s^2}}} \int{e^{\frac{1}{2} s^2 + \ln{s^2}} \cdot \left(1 + \frac{2}{s} + \frac{1}{s^2} \right) \ ds}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{s^2 e^{\frac{1}{2} s^2}} \int{e^{\frac{1}{2} s^2} \cdot s^2 \left(1 + \frac{2}{s} + \frac{1}{s^2} \right) \ ds}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{s^2 e^{\frac{1}{2} s^2}} \int{e^{\frac{1}{2} s^2} \left(s^2 + 2s + 1 \right) \ ds}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{s^2 e^{\frac{1}{2} s^2}} \left(s e^{\frac{1}{2}s^2} + 2e^{\frac{1}{2} s^2} + C \right)$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{s} + \frac{2}{s^2} + \frac{C}{s^2} e^{-\frac{1}{2} s^2}$

Como apoyo, se desarrolla en serie la función exponencial. Entonces

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{s} + \frac{2}{s^2} + \frac{C}{s^2} \left(1 - \frac{1}{2}s^2 + \frac{1}{8} s^4 + \cdots \right)$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{s} + \frac{2}{s^2} + \frac{c}{s^2} + C \left(- \frac{1}{2}s^2 + \frac{1}{8} s^4 + \cdots \right)$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{s} + \frac{2+c}{s^2} - C \left(\frac{1}{2}s^2 - \frac{1}{8} s^4 + \cdots \right)$

Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados,

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s} + \frac{2+C}{s^2} - c \left(\frac{1}{2}s^2 - \frac{1}{8} s^4 + \cdots \right) \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s} \right] + \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{2+C}{s^2} \right] - \mathcal{L}^{-1} \left[c \left(\frac{1}{2}s^2 - \frac{1}{8} s^4 + \cdots \right) \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s} \right] + (2+C) \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \right] - c \ \mathcal{L}^{-1} \left[\left(\frac{1}{2}s^2 - \frac{1}{8} s^4 + \cdots \right) \right]$