Integrales

Si f(x) es una función definida y continua en \mathbf R, se define que la integral a lo largo de algún camino C en \mathbf R desde un punto z_1 = x_1 + iy_1 hasta un punto z_2 = x_2 + iy_2 como

\displaystyle \int_{C}{f(z) dz} = \int_{(x_1, y_1)}^{(x_2,y_2)}{(u+iv)(dx+idy)}

\displaystyle \int_{C}{f(z) dz} = \int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)}{u dx - v dy} + i \int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)}{v dx + u dy}

Según esta definición, el concepto de integral de una función de variable compleja puede hacerse depender del de la integral de línea.

Las reglas de integración compleja son análogas a la de la integración real; un importante resultado es el siguiente:

\displaystyle \left|\int_{C}{f(z) dz} \right| \le \int_{C}{|f(z)| |dz|} \le M \int_{C}{ds} = ML

donde M es una cota superior de |f(z)| en C, es decir, |f(z)| \le M, y L es la longitud del camino C.

Integrales de línea

Sean C una curva en el plano xy que une los puntos (x_1, y_1) y (x_2, y_2) y, P, Q funciones de x y y. La integral

\displaystyle \int_{C}{P dx + Q dy}

o también

\displaystyle \int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)}{P dx + Q dy}

se llama integral de línea a lo largo de la curva C. Como en el caso del cálculo elemental, se pueden definir como el límite de una suma.

Dos propiedades importantes de la integral de línea son:

1.- \displaystyle \int_{(x_1, y_1)}^{(x_2, y_2)}{P dx + Q dy} = - \int_{(x_2,y_2)}^{(x_1, y_1)}{P dx + Q dy}

2.- Si (x_3, y_3) es cualquier otro punto de C, entonces

\displaystyle \int_{(x_1, y_1)}^{(x_2, y_2)}{P dx + Q dy} = \int_{(x_1, y_1)}^{(x_3, y_3)}{P dx + Q dy} + \int_{(x_3, y_3)}^{(x_2, y_2)}{P dx + Q dy}

Si C es una curva simple cerrada (que no se corta a si misma), la integral de línea a lo largo C, recorrida en el sentido positivo (sentido antihorario), se denota como

\displaystyle \oint_{C}{P dx + Q dy}

Representación de una curva simple cerrada.jpg
Figura 1. Representación de una curva simple cerrada.

Teorema de green en el plano

Sea C una curva cerrada simple que encierra una región \mathcal{R}. Suponiendo que P, Q y sus derivadas parciales primeras con respecto a x y y son continuas en \mathcal{R} y \mathcal{C}. Se tiene entonces que

\displaystyle \oint_{C}{Pdx + Qdy} = \int \! \! \! \! \int_{\mathcal{R}}{(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) \,dx \,dy}

este resultado se llama el teorema de Green en el plano.

Teorema de Cauchy

Sea C una curva cerrada simple. Si latex f(z)$ es analítica en una región y en su contorno C, entonces

\displaystyle \oint_{C}{f(z) dz} = 0

Este resultado se llama teorema de Cauchy.

Dicho de otra manera, el teorema de Cauchy es equivalente a la siguiente afirmación: El valor de \displaystyle \int_{z_1}^{z_2}{f(z) dz} es independiente del camino que une a z_1 con z_2. El valor de dichas integrales es F(z_2) - F(z_1) donde F'(z) = f(z)

Formulas integrales de Cauchy

Si f(z) es analítica dentro y sobre una curva simple cerrada C y a es un punto interior a C, entonces

\displaystyle f(a) = \frac{1}{2\pi I} \oint_{C}{\frac{f(z)}{z-a} dz}

donde C se recorre en el sentido positivo (sentido antihorario).

Además, la n-ésima derivada de f(z) en z=a está dada por

\displaystyle f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_{C}{\frac{f(z)}{{(z-a)}^{n+1}} dz}

Estas son llamadas fórmulas integrales de Cauchy. Esta fórmula es notable ya que si se conocen los valores de f(z) en un contorno C, se conocerán también dentro de la región acotada por C; además es posible calcular las diversas derivadas de f(z) dentro de la región. Se deduce que si para una función de variable compleja existe su primera derivada, entonces existirán todas las derivadas de diferentes órdenes.

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Publicado por Cesar Reyes

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