Series de Fourier. Laplace.

Introducción

Sea $f(x)$ una función que satisface las siguientes condiciones:

$f(x)$ está definida en el intervalo $c<x<c+2l$ .
$f(x)$ y $f'(x)$ son continuas seccionalmente en $c<x<c+2l$ .
$f(x+2l) = f(x)$ , es decir, $f(x)$ es periódica con período $2l$ .

Estas condiciones se llaman condiciones de Dirichlet y son condiciones suficientes (pero no necesarias) para la convergencia de las series de Fourier.

Entonces, en cada punto de continuidad se tiene que

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{a_n \cos{\frac{n\pi x}{l}} + n_b \sin{\frac{n \pi x}{l}}}$ – – – (1)

donde

$\displaystyle a_n = \frac{1}{l} \int_{c}^{c + 2l}{f(x) \cos{\frac{n \pi x}{l}} \, dx}$ – – – (2)

$\displaystyle b_n = \frac{1}{l} \int_{c}^{c + 2l}{f(x) \sin{\frac{n \pi x}{l}} \, dx}$ – – – (3)

En un punto de discontinuidad el miembro izquierdo de la ecuación (1) se remplaza por $\frac{1}{2} {f(x+0) + f(x-0)}$ , es decir, el valor medio en la discontinuidad.

La serie de la ecuación (1) en la cual los coeficientes están dados por la ecuación (2) se llama la serie de Fourir de $f(x)$ . En muchos problemas se tiene que $c$ vale 0 o $-l$ . Si $l=\pi$ , $f(x)$ tiene período $2\pi$ y las ecuaciones (1) y (2) se pueden simplificar.

Forma compleja de una serie de Fourier

En notación compleja, la serie de Fourier

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{a_n \cos{\frac{n\pi x}{l}} + n_b \sin{\frac{n \pi x}{l}}}$ – – – (4)

con coeficientes dado

$\displaystyle a_n = \frac{1}{l} \int_{c}^{c + 2l}{f(x) \cos{\frac{n \pi x}{l}} \, dx}$ – – – (5)

$\displaystyle b_n = \frac{1}{l} \int_{c}^{c + 2l}{f(x) \sin{\frac{n \pi x}{l}} \, dx}$ – – – (6)

puede expresarse como

$\displaystyle f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}{c_n \ e^{i n \pi x / l}}$

al tomar $c=-\infty$ ,

$\displaystyle c_n = \frac{1}{2l} \int_{-l}^{l}{f(x) \ e^{-i n \pi x / l} \, dx}$

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web. Ver todas las entradas de Cesar Reyes

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