Cuerda vibrante. Problemas de valor frontera. Laplace.

Introducción

Para este caso, se tiene la ecuación de onda para una dimensión

$\displaystyle \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$

Se aplica a vibraciones transversales pequeñas de una cuerda flexible tensa localizada inicialmente sobre el eje $x$ y puesta en movimiento (figura 8.1.1). La variable $y(x,t)$ es el desplazamiento de cualquier punto $x$ de la cuerda en el tiempo $t$ . La constante $a_2 = T/\rho$ , donde $T$ es la tensión (constate) y $P$ es la masa por unidad de longitud (constante) de la cuerda.

Problemas resueltos

Problema 1. Una cuerda infinitamente larga con uno de sus extremos en $x=0$ está inicialmente en reposo sobre el eje $x$ . El extremo $x=0$ se somete a un desplazamiento transversal periódico dado por $A_0 \sin{\omega t}$ , $t>0$ . Hallar el desplazamiento de cualquier punto de la cuerda en cualquier tiempo.

*Figura 2. Representación de una cuerda infinitamente larga.*

Solución. Si $y(x,t)$ es el desplazamiento transversal de la cuerda en cualquier punto $x$ en cualquier tiempo $t$ , entonces el problema de valor frontera es

$\displaystyle \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ para $x>0$ y $t>0$

Además,

$y(x,0)=0$ , $y_t (x,0) = 0$ , $y(0,t)=A_0 \sin{\omega t}$ , $|y(x,t)| < M$

Estos últimos, al determinar sus transformadas de Laplace

$\mathcal{L} [y(x,0)] = Y(x,0) =0$ , $\mathcal{L} [y_t (x,0)] = Y_t (x,0) = 0$ , $\displaystyle \mathcal{L} [y(0,t)] = Y(0,s) = \frac{A_0 \omega}{s^2+\omega^2}$

Luego, la transformada de Laplace de la ecuación de onda es

$\displaystyle \mathcal{L} \left[ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \right] = a^2 \mathcal{L} \left[\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \right]$

$\displaystyle s^2 Y(x,s) - s y(x,0) - y_t (x,0) = a^2 \frac{d^2 Y}{dx^2}$

$\displaystyle s^2 Y(x,s) - s (0) - 0 = a^2 \frac{d^2 Y}{dx^2}$

$\displaystyle s^2 Y(x,s) = a^2 \frac{d^2 Y}{dx^2}$

$\displaystyle a^2 \frac{d^2 Y}{dx^2} - s^2 Y(x,s) = 0$

Su solución general es

$\displaystyle Y (x,s) = C_1 e^{sx/a} + C_2 e^{-sx/a}$

Por la condición de acotación es necesario que $C_1=0$ . Así que,

$\displaystyle Y (x,s) = C_2 e^{-sx/a}$

Tomando la condición $\displaystyle \mathcal{L} [y(0,t)] = Y(0,s) = \frac{A_0 \omega}{s^2+\omega^2}$ , se puede determinar el valor de $C_2$ .

$\displaystyle Y (0,s) = C_2 e^{-s(0)/a}$

$\displaystyle \frac{A_0 \omega}{s^2+\omega^2} = C_2 e^{0} = C_2 (1)$

$\displaystyle \frac{A_0 \omega}{s^2+\omega^2} = C_2$

$\displaystyle C_2 = \frac{A_0 \omega}{s^2+\omega^2}$

Regresando y sustituyendo

$\displaystyle Y (x,s) = \frac{A_0 \omega}{s^2+\omega^2} e^{-sx/a}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros,

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y (x,s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{A_0 \omega}{s^2+\omega^2} e^{-sx/a} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y (x,s)] = A_0 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{\omega}{s^2+\omega^2} e^{-sx/a} \right]$

$\displaystyle y(x,t) = \left\{ \begin{matrix} A_0 \sin{\omega \left(t - \frac{x}{a} \right)} & t > \frac{x}{a} \\ 0 & t < \frac{x}{a} \end{matrix} \right.$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore y(x,t) = \left\{ \begin{matrix} A_0 \sin{\omega \left(t - \frac{x}{a} \right)} & t > \frac{x}{a} \\ 0 & t < \frac{x}{a} \end{matrix} \right.$

Físicamente se interpreta como un punto $x$ de la cuerda que permanece en reposo hasta el tiempo $t=x/a$ . Después tendrá un movimiento idéntico al del extremo $x=0$ pero retardado en un tiempo $t=x/a$ . La constante $a$ es la velocidad con la cual viaja la onda.

Problema 2. Una cuerda tensa elástica y flexible tiene fijos sus extremos en $x=0$ y $x=l$ . Al tiempo $t=0$ se le da a la cuerda la forma definida por $f(x) = \mu x(l-x)$ , donde $\mu$ es una constante, y luego se le suelta. Hallar el desplazamiento de cualquier punto $x$ de la cuerda en cualquier tiempo $t>0$ .

Solución. El problema de valor frontera es

$\displaystyle \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ para $0<x<l$ y $t>0$

Además,

$y(0,t)=0$ , $y (l,t) = 0$ , $y(x,0)=\mu x (l-x)$ , $y_t (x,0) = 0$

Estos últimos, al determinar sus transformadas de Laplace

$\mathcal{L} [y(0,t)] = Y(0,s) = 0$ , $\mathcal{L} [y (l,t)] = Y(l,s) = 0$

Tomando la transformada de Laplace en la ecuación de onda

$\displaystyle \mathcal{L} \left[\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \right] = a^2 \ \mathcal{L} \left[\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \right]$

$\displaystyle s^2 Y(x,s) - s \mu x (l-x) - (0) = a^2 \frac{d^2 Y}{dx^2}$

$\displaystyle a^2 \frac{d^2 Y}{dx^2} - s^2 Y(x,s) = - s \mu x (l-x)$

$\displaystyle \frac{d^2 Y}{dx^2} - \frac{s^2}{a^2} Y(x,s) = - \frac{s \mu x (l-x)}{a^2}$

Su solución general es

$\displaystyle Y(x,s) = C_1 \cosh{\frac{sx}{a}} + C_2 \sinh{\frac{sx}{a}} + \frac{\mu x(l-x)}{s} - \frac{2a^2 \mu}{s^3}$

Utilizando $Y(0,s)=0$ , resulta los siguiente

$\displaystyle Y(0,s) = C_1 \cosh{\frac{s(0)}{a}} + C_2 \sinh{\frac{s(0)}{a}} + \frac{\mu (0)(l-0)}{s} - \frac{2a^2 \mu}{s^3}$

$\displaystyle 0 = C_1 \cosh{0} + C_2 \sinh{0} + 0 - \frac{2a^2 \mu}{s^3}$

$\displaystyle 0 = C_1 (1) + C_2 (0) + 0 - \frac{2a^2 \mu}{s^3}$

$\displaystyle 0 = C_1 - \frac{2a^2 \mu}{s^3}$

$\displaystyle C_1 = \frac{2a^2 \mu}{s^3}$

Regresando a la solución general y sustituyendo,

$\displaystyle Y(x,s) = \frac{2a^2 \mu}{s^3} \cosh{\frac{sx}{a}} + C_2 \sinh{\frac{sx}{a}} + \frac{\mu x(l-x)}{s} - \frac{2a^2 \mu}{s^3}$

Ahora tomando la condición $Y(l,s) =0$ , resulta que

$\displaystyle Y(l,s) = \frac{2a^2 \mu}{s^3} \cosh{\frac{sl}{a}} + C_2 \sinh{\frac{sl}{a}} + \frac{\mu l(l-l)}{s} - \frac{2a^2 \mu}{s^3}$

$\displaystyle 0 = \frac{2a^2 \mu}{s^3} \cosh{\frac{sl}{a}} + C_2 \sinh{\frac{sl}{a}} + 0 - \frac{2a^2 \mu}{s^3}$

$\displaystyle C_2 \sinh{\frac{sl}{a}} = \frac{2a^2 \mu}{s^3} - \frac{2a^2 \mu}{s^3} \cosh{\frac{sl}{a}}$

$\displaystyle C_2 \sinh{\frac{sl}{a}} = \frac{2a^2 \mu}{s^3} (1 - \cosh{\frac{sl}{a}})$

$\displaystyle C_2 = \frac{2a^2 \mu}{s^3} \left(\frac{1 - \cosh{\frac{sl}{a}}}{\sinh{\frac{sl}{a}}} \right)$

Regresando a la solución general y sustituyendo,

$\displaystyle Y(x,s) = \frac{2a^2 \mu}{s^3} \cosh{\frac{sx}{a}} - \frac{2a^2 \mu}{s^3} \left(\frac{1 - \cosh{\frac{sl}{a}}}{\sinh{\frac{sl}{a}}} \right) \sinh{\frac{sx}{a}} + \frac{\mu x(l-x)}{s} - \frac{2a^2 \mu}{s^3}$

$\displaystyle Y(x,s) = \frac{2a^2 \mu}{s^3} \frac{\cosh{\frac{sx}{a}}}{\sinh{\frac{sl}{a}}} \cdot \sinh{\frac{sl}{a}} - \frac{2a^2 \mu}{s^3} \left(\frac{1 - \cosh{\frac{sl}{a}}}{\sinh{\frac{sl}{a}}} \right) \sinh{\frac{sx}{a}} + \frac{\mu x(l-x)}{s} - \frac{2a^2 \mu}{s^3}$

$\displaystyle Y(x,s) = \frac{2a^2 \mu}{s^3} \left(\frac{\cosh{\frac{sx}{a}} \sinh{\frac{sl}{a}} - \sinh{\frac{sx}{a}} + \cosh{\frac{sl}{a}} \sinh{\frac{sx}{a}}}{\sinh{\frac{sl}{a}}} \right) + \frac{\mu x(l-x)}{s} - \frac{2a^2 \mu}{s^3}$

$\displaystyle Y(x,s) = \frac{2a^2 \mu}{s^3} \frac{\cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{\cosh{\frac{sl}{2a}}} + \frac{\mu x(l-x)}{s} - \frac{2a^2 \mu}{s^3}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambs miembros, se tiene lo siguiente

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(x,s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{2a^2 \mu}{s^3} \frac{\cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{\cosh{\frac{sl}{2a}}} \right] + \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{\mu x(l-x)}{s} \right] - \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{2a^2 \mu}{s^3} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(x,s)] = 2a^2 \mu \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{\cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{s^3 \cosh{\frac{sl}{2a}}} \right] + \mu x(l-x) \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s} \right] - 2a^2 \mu \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3} \right]$

$\displaystyle y(x,t) = 2a^2 \mu \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{\cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{s^3 \cosh{\frac{sl}{2a}}} \right] + \mu x(l-x) - a^2 \mu \ t^2$

El primer término del segundo miembro se puede resolver utilizando la fórmula de inversión compleja y el teorema de los residuos.

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{\cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{s^3 \cosh{\frac{sl}{2a}}} \right] = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i \infty}^{\gamma + i \infty}{\frac{e^{st} \cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{s^3 \cosh{\frac{sl}{2a}}} \ ds}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{\cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{s^3 \cosh{\frac{sl}{2a}}} \right] = \frac{1}{2\pi i} \oint_C{\frac{e^{st} \cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{s^3 \cosh{\frac{sl}{2a}}} \ ds}$

Haciendo $\displaystyle h = \frac{2x-l}{2a}$ y $\displaystyle b = \frac{l}{2a}$ ,

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{\cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{s^3 \cosh{\frac{sl}{2a}}} \right] = \frac{1}{2\pi i} \oint_C{\frac{e^{st} \cosh{sh}}{s^3 \cosh{sb}} \ ds}$

La expresión

$\displaystyle F(s) = \frac{e^{st} \cosh{sh}}{s^3 \cosh{sb}}$

Donde $s=0$ es un polo triple (polo de orden tres) y $\displaystyle s=\frac{(2k+1) \pi i}{2b}$ para $k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$ (las raíces de $\cosh{sb}=0$ ) son polos simples. Continuando, se tiene que

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{\cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{s^3 \cosh{\frac{sl}{2a}}} \right] = \sum{\text{residuos de } \frac{e^{st} \cosh{sh}}{s^3 \cosh{sb}} \text{ para los polos } s=s_k \text{ y } s=0}$

El residuo en $s=s_k$ es

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow s_k}{(s-s_k) \frac{e^{st} \cosh{sh}}{s^3 \cosh{sb}}} = \lim_{s \rightarrow s_k}{\frac{s-s_k}{\cosh{sb}}} \cdot \lim_{s \rightarrow s_k}{\frac{e^{st} \cosh{sh}}{s^3}}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow s_k}{(s-s_k) \frac{e^{st} \cosh{sh}}{s^3 \cosh{sb}}} = \lim_{s \rightarrow s_k}{\frac{1}{b \sinh{sb}}} \cdot \lim_{s \rightarrow s_k}{\frac{e^{st} \cosh{sh}}{s^3}}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow s_k}{(s-s_k) \frac{e^{st} \cosh{sh}}{s^3 \cosh{sb}}} = \frac{1}{b \sinh{s_k b}} \cdot \frac{e^{s_k t} \cosh{s_k h}}{s_k^3}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow s_k}{(s-s_k) \frac{e^{st} \cosh{sh}}{s^3 \cosh{sb}}} = \frac{1}{b \sinh{\left[\frac{(2k+1)\pi i}{2b} \right] b}} \cdot \frac{e^{(2k+1) \pi i t/2b} \cosh{\frac{(2k+1)\pi i h}{2b}}}{\left[\frac{(2k+1)\pi i}{2b} \right]^3}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow s_k}{(s-s_k) \frac{e^{st} \cosh{sh}}{s^3 \cosh{sb}}} = \frac{{(-1)}^k 8b^2 e^{(2k+1) \pi i t/2b}}{(2k+1) \pi^3} \cos{\frac{(2k+1) \pi x}{2b}}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow s_k}{(s-s_k) \frac{e^{st} \cosh{sh}}{s^3 \cosh{sb}}} = \frac{8b^2}{\pi^3} \cdot \frac{{(-1)}^k e^{(2k+1) \pi i t/2b}}{(2k+1)} \cos{\frac{(2k+1) \pi x}{2b}}$

El residuo en $s=0$ es

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow 0}{\frac{1}{2!} \frac{d^2}{{ds}^2} \left[s^3 \cdot \frac{e^{st} \cosh{sh}}{s^3 \cosh{sb}} \right]} = \frac{1}{2} \lim_{s \rightarrow 0}{\frac{d^2}{{ds}^2} \left[\left(1 + st + \frac{1}{2!} st + \cdots \right) \left(\frac{1 + \frac{1}{2!} s^2 h^2 + \frac{1}{4!} s^4 h^4 + \cdots}{1 + \frac{1}{2!} s^2 b^2 + \frac{1}{4!} s^4 b^4 + \cdots} \right) \right]}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow 0}{\frac{1}{2!} \frac{d^2}{{ds}^2} \left[s^3 \cdot \frac{e^{st} \cosh{sh}}{s^3 \cosh{sb}} \right]} = \frac{1}{2} \lim_{s \rightarrow 0}{\frac{d^2}{{ds}^2} \left[\left(1 + st + \frac{1}{2!} st + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{2!} s^2 h^2 + \frac{1}{4!} s^4 h^4 + \cdots \right) \left(1 - \frac{1}{2} s^2 b^2 + \frac{5}{24} s^4 b^4 + \cdots \right) \right]}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow 0}{\frac{1}{2!} \frac{d^2}{{ds}^2} \left[s^3 \cdot \frac{e^{st} \cosh{sh}}{s^3 \cosh{sb}} \right]} = \frac{1}{2} \lim_{s \rightarrow 0}{\frac{d^2}{{ds}^2} \left(1 + st + \frac{1}{2} s^2 t^2 + \frac{1}{2} s^2 h^2 - \frac{1}{2} s^2 b^2 + \cdots \right)}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow 0}{\frac{1}{2!} \frac{d^2}{{ds}^2} \left[s^3 \cdot \frac{e^{st} \cosh{sh}}{s^3 \cosh{sb}} \right]} = \frac{1}{2} \left(t^2 + h^2 - b^2 \right)$

Regresando a la suma de los residuos

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{\cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{s^3 \cosh{\frac{sl}{2a}}} \right] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\frac{8b^2}{\pi^3} \cdot \frac{{(-1)}^k e^{(2k+1) \pi i t/2b}}{(2k+1)} \cos{\frac{(2k+1) \pi x}{2b}}} + \frac{1}{2} \left(t^2 + h^2 - b^2 \right)$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{\cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{s^3 \cosh{\frac{sl}{2a}}} \right] = - \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{16b^2}{\pi^3} \cdot \frac{{(-1)}^n}{{(2n-1)}^3} \cos{\frac{(2n-1)\pi t}{2b}} \cos{\frac{(2n-1) \pi h}{2b}} } + \frac{1}{2} \left(t^2 + h^2 - b^2 \right)$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{\cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{s^3 \cosh{\frac{sl}{2a}}} \right] = \frac{1}{2} \left(t^2 + h^2 - b^2 \right) - \frac{16b^2}{\pi^3} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{{(-1)}^n}{{(2n-1)}^3} \cos{\frac{(2n-1)\pi t}{2b}} \cos{\frac{(2n-1) \pi h}{2b}} }$

Recordando que $\displaystyle h = \frac{2x-l}{2a}$ y $\displaystyle b = \frac{l}{2a}$ ,

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{\cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{s^3 \cosh{\frac{sl}{2a}}} \right] = \frac{1}{2} \left[t^2 + {\left(\frac{2x-l}{2a} \right)}^2 - {\left(\frac{l}{2a} \right)}^2 \right] - \frac{16 {\left(\frac{l}{2a} \right)}^2}{\pi^3} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{{(-1)}^n}{{(2n-1)}^3} \cos{\frac{(2n-1)\pi t}{2 \left(\frac{l}{2a} \right)}} \cos{\frac{(2n-1) \pi \cdot \frac{2x-l}{2a}}{2 \left(\frac{l}{2a} \right)}} }$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{\cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{s^3 \cosh{\frac{sl}{2a}}} \right] = \frac{1}{2} \left[t^2 + {\left(\frac{2x-l}{2a} \right)}^2 - {\left(\frac{l}{2a} \right)}^2 \right] - \frac{16}{\pi^3} {\left(\frac{l}{2a} \right)}^2 \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{{(-1)}^n}{{(2n-1)}^3} \cos{\frac{(2n-1)\pi a t}{l}} \cos{\frac{(2n-1) \pi (2x-l)}{2l}} }$

Y regresando a la expresión de la transformada de Laplace,

$\displaystyle y(x,t) = 2a^2 \mu \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{\cosh{\frac{s(2x-l)}{2a}}}{s^3 \cosh{\frac{sl}{2a}}} \right] + \mu x(l-x) - a^2 \mu \ t^2$

$\displaystyle y(x,t) = 2a^2 \mu \left\{\frac{1}{2} \left[t^2 + {\left(\frac{2x-l}{2a} \right)}^2 - {\left(\frac{l}{2a} \right)}^2 \right] - \frac{16}{\pi^3} {\left(\frac{l}{2a} \right)}^2 \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{{(-1)}^n}{{(2n-1)}^3} \cos{\frac{(2n-1)\pi a t}{l}} \cos{\frac{(2n-1) \pi (2x-l)}{2l}} } \right\} + \mu x(l-x) - a^2 \mu \ t^2$

$\displaystyle y(x,t) = a^2 \mu \left[t^2 + {\left(\frac{2x-l}{2a} \right)}^2 - {\left(\frac{l}{2a} \right)}^2 \right] - \frac{32a^2 \mu}{\pi^3} {\left(\frac{l}{2a} \right)}^2 \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{{(-1)}^n}{{(2n-1)}^3} \cos{\frac{(2n-1)\pi a t}{l}} \cos{\frac{(2n-1) \pi (2x-l)}{2l}} } + \mu x(l-x) - a^2 \mu \ t^2$

$\displaystyle y(x,t) = a^2 \mu t^2 + \frac{4 a^2 \mu x^2}{4a^2} - \frac{4a^2 \mu xl}{4a^2} + \frac{a^2 \mu l^2}{4a^2}- \frac{a^2 \mu l^2}{4a^2} - \frac{32a^2 \mu}{\pi^3} \left(\frac{l^2}{4a^2} \right) \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{{(-1)}^n}{{(2n-1)}^3} \cos{\frac{(2n-1)\pi a t}{l}} \cos{\frac{(2n-1) \pi (2x-l)}{2l}} } + \mu x(l-x) - a^2 \mu \ t^2$

$\displaystyle y(x,t) = a^2 \mu t^2 + \mu x^2 - \mu xl - \frac{8l^2 \mu}{\pi^3} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{{(-1)}^n}{{(2n-1)}^3} \cos{\frac{(2n-1)\pi a t}{l}} \cos{\frac{(2n-1) \pi (2x-l)}{2l}} } + \mu xl - \mu x^2 - a^2 \mu \ t^2$

$\displaystyle y(x,t) = - \frac{8l^2 \mu}{\pi^3} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{{(-1)}^n}{{(2n-1)}^3} \cos{\frac{(2n-1)\pi a t}{l}} \cos{\frac{(2n-1) \pi (2x-l)}{2l}} }$

$\displaystyle y(x,t) = \frac{8l^2 \mu}{\pi^3} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{{(2n-1)}^3} \cos{\frac{(2n-1)\pi a t}{l}} \cos{\frac{(2n-1) \pi x}{l}} }$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore y(x,t) = \frac{8l^2 \mu}{\pi^3} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{{(2n-1)}^3} \cos{\frac{(2n-1)\pi a t}{l}} \cos{\frac{(2n-1) \pi x}{l}} }$

Cuerda vibrante. Problemas de valor frontera. Laplace.

Introducción

Problemas resueltos

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