Conducción del calor en un cilindro. Problemas de valor frontera. Laplace.

Introducción

La ecuación que se utiliza para determinar la conducción del calor en un cilindro es

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = k \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} \right)$

donde $u(x,t)$ es la temperatura en cualquier tiempo $t$ de un punto del sólido cilíndrico que está a una distancia $r$ del eje $x$ . Aquí se supondrá que el flujo de calor se representa solamente en dirección radial.

Problema resuelto

Problema. Un cilindro circular infinitamente largo y de radio unidad tiene una temperatura inicial constante $T$ . En $t=0$ se le aplica y se le mantiene una temperatura de 0°C en su superficie. Hallar la temperatura de cualquier punto del cilindro en cualquier punto posterior.

*Figura 1. Cilindro infinitamente largo.*

Solución. Si $(r, \phi, z)$ son las coordenadas cilíndricas de cualquier punto del cilindro y éste tiene como eje al eje $z$ (figura 1), es claro que la temperatura es independiente de $\phi$ y de $z$ ; por consiguiente se puede denotarla por $u(r,t)$ . El problema de valor frontera es

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = k \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} \right)$ donde $0<r<1$

Además,

$u(1,t) = 0$ , $u(r,0) = T$ , $|u(y,t)| < M$

Y sus transformadas de Laplace son

$\mathcal{L} [u(1,t)] = U(1,s) = 0$ y $\mathcal{L} [u(r,t) ] = U(r,s)$

Continuando, la ecuación anterior conviene reemplazar $t$ por $kt$ para tener esta nueva expresión

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r}$

Su transformada de Laplace es

$\displaystyle \mathcal{L} \left[\frac{\partial u}{\partial t} \right] = \mathcal{L} \left[\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} \right] + \frac{1}{r} \left[\frac{\partial u}{\partial r} \right]$

$\displaystyle s U(r,s) - u(r,0) = \frac{d^2 U}{dr^2} + \frac{1}{r} \frac{dU}{dr}$

$\displaystyle s U(r,s) - T = \frac{d^2 U}{dr^2} + \frac{1}{r} \frac{dU}{dr}$

$\displaystyle \frac{d^2 U}{dr^2} + \frac{1}{r} \frac{dU}{dr} - s U(r,s) = - T$

La solución general de esta ecuación diferencial es

$\displaystyle U(r,s) = C_1 J_0 (i \sqrt{s} r) + C_2 Y_0 (i \sqrt{s} r) + \frac{T}{s}$

Como $Y_0 (i \sqrt{s} r)$ está acotada cuando $r \rightarrow 0$ , se tiene que tomar $C_2 = 0$ . Entonces,

$\displaystyle U(r,s) = C_1 J_0 (i \sqrt{s} r) + \frac{T}{s}$

Cuando $U(1,s)=0$ , el valor de $C_1$ es

$\displaystyle U(1,s) = C_1 J_0 (i \sqrt{s}(1)) + \frac{T}{s}$

$\displaystyle 0 = C_1 J_0 (i \sqrt{s}) + \frac{T}{s}$

$\displaystyle C_1 = - \frac{T}{s J_0 (i \sqrt{s})}$

Así que

$\displaystyle U(r,s) = C_1 J_0 (i \sqrt{s} r) + \frac{T}{s}$

$\displaystyle U(r,s) = - \frac{T}{s J_0 (i \sqrt{s})} J_0 (i \sqrt{s} r) + \frac{T}{s}$

$\displaystyle U(r,s) = \frac{T}{s} - \frac{T J_0 (i \sqrt{s} r)}{s J_0 (i \sqrt{s})}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace

$\displaystyle \mathcal{L} ^{-1} [U(r,s)] = T \ \mathcal{L} \left[\frac{1}{s} \right] - T \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{J_0 (i \sqrt{s} r)}{s J_0 (i \sqrt{s})} \right]$

$\displaystyle u(r,t) = T - T \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{J_0 (i \sqrt{s} r)}{s J_0 (i \sqrt{s})} \right]$

Resolviendo el segundo término del segundo miembro por la fórmula de inversión compleja

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{J_0 (i \sqrt{s} r)}{s J_0 (i \sqrt{s})} \right] = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i \infty}^{\gamma + i \infty}{e^{st} \cdot \left[\frac{J_0 (i \sqrt{s} r)}{s J_0 (i \sqrt{s})} \right] ds}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{J_0 (i \sqrt{s} r)}{s J_0 (i \sqrt{s})} \right] = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C}{\frac{e^{st} J_0 (i \sqrt{s} r)}{s J_0 (i \sqrt{s})} \ ds}$

Ahora $J_0 (i \sqrt{s})$ tiene ceros simples cuando $i \sqrt{s} = \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ . Así, el integrando tiene polos simples en $s=- \lambda_n^2$ , $n=1,2,3,\cdots$ y también en $s=0$ . Así que

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{J_0 (i \sqrt{s} r)}{s J_0 (i \sqrt{s})} \right] = \sum{\text{ residuos de } \frac{e^{st} J_0 (i \sqrt{s} r)}{s J_0 (i \sqrt{s})} \ \text{ en los polos } s=0 \text{ y } s=-\lambda_n^2}$

El residuo en $s=0$ es

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow 0}{s \cdot \frac{e^{st} J_0 (i \sqrt{s} r)}{s \ J_0 (i \sqrt{s})}} = \lim_{s \rightarrow 0}{\frac{e^{st} J_0 (i \sqrt{s} r)}{J_0 (i \sqrt{s})}}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow 0}{s \cdot \frac{e^{st} J_0 (i \sqrt{s} r)}{s \ J_0 (i \sqrt{s})}} = 1$

El residuo en $s=-\lambda_n^2$ es

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow - \lambda_n^2}{(s+\lambda_n^2) \cdot \frac{e^{st} J_0 (i \sqrt{s} r)}{s \ J_0 (i \sqrt{s})}} = \lim_{s \rightarrow - \lambda_n^2}{\frac{s+\lambda_n^2}{J_0 (i \sqrt{s})}} \cdot \lim_{s \rightarrow -\lambda_n^2}{\frac{e^{st} J_0 (i \sqrt{s} r)}{s}}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow - \lambda_n^2}{(s+\lambda_n^2) \cdot \frac{e^{st} J_0 (i \sqrt{s} r)}{s \ J_0 (i \sqrt{s})}} = \lim_{s \rightarrow - \lambda_n^2}{\frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{s}} J'_0 (i \sqrt{s})}} \cdot \lim_{s \rightarrow -\lambda_n^2}{\frac{e^{st} J_0 (i \sqrt{s} r)}{s}}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow - \lambda_n^2}{(s+\lambda_n^2) \cdot \frac{e^{st} J_0 (i \sqrt{s} r)}{s \ J_0 (i \sqrt{s})}} = \lim_{s \rightarrow - \lambda_n^2}{\frac{2 \sqrt{s}}{J'_0 (i \sqrt{s})}} \cdot \lim_{s \rightarrow -\lambda_n^2}{\frac{e^{st} J_0 (i \sqrt{s} r)}{s}}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow - \lambda_n^2}{(s+\lambda_n^2) \cdot \frac{e^{st} J_0 (i \sqrt{s} r)}{s \ J_0 (i \sqrt{s})}} = \frac{2 \sqrt{-\lambda_n^2}}{J'_0 (i \sqrt{- \lambda_n^2})} \cdot \frac{e^{- \lambda_n^2 t} J_0 (i \sqrt{-\lambda_n^2} r)}{\lambda_n^2}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow - \lambda_n^2}{(s+\lambda_n^2) \cdot \frac{e^{st} J_0 (i \sqrt{s} r)}{s \ J_0 (i \sqrt{s})}} = \frac{2 e^{-\lambda_n^2 t} J_0 (\lambda_n r)}{\lambda_n J_0 (\lambda_n)}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow - \lambda_n^2}{(s+\lambda_n^2) \cdot \frac{e^{st} J_0 (i \sqrt{s} r)}{s \ J_0 (i \sqrt{s})}} = - \frac{2 e^{-\lambda_n^2 t} J_0 (\lambda_n r)}{\lambda_n J_1 (\lambda_n)}$

Regresando,

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{J_0 (i \sqrt{s} r)}{s J_0 (i \sqrt{s})} \right] = 1 - \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2 e^{-\lambda_n^2 t} J_0 (\lambda_n r)}{\lambda_n J_1 (\lambda_n)}}$

Regresando una vez más,

$\displaystyle u(r,t) = T - T \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{J_0 (i \sqrt{s} r)}{s J_0 (i \sqrt{s})} \right]$

$\displaystyle u(r,t) = T - T \left[1 - \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2 e^{-\lambda_n^2 t} J_0 (\lambda_n r)}{\lambda_n J_1 (\lambda_n)}} \right]$

$\displaystyle u(r,t) = T - T + T \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2 e^{-\lambda_n^2 t} J_0 (\lambda_n r)}{\lambda_n J_1 (\lambda_n)}}$

$\displaystyle u(r,t) = T \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2 e^{-\lambda_n^2 t} J_0 (\lambda_n r)}{\lambda_n J_1 (\lambda_n)}}$

$\displaystyle u(r,t) = 2T \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2 e^{-\lambda_n^2 t} J_0 (\lambda_n r)}{\lambda_n J_1 (\lambda_n)}}$

Reemplazando $t$ por $kt$

$\displaystyle u(r,t) = 2T \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2 e^{-k \lambda_n^2 t} J_0 (\lambda_n r)}{\lambda_n J_1 (\lambda_n)}}$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore u(r,t) = 2T \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2 e^{-k \lambda_n^2 t} J_0 (\lambda_n r)}{\lambda_n J_1 (\lambda_n)}}$

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Introducción

Problema resuelto

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